2023-2024學(xué)年陜西省西安市鄠邑區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省西安市鄠邑區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?為生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線l經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則l的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由斜率公式得，l的斜率為．故選：B2.已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)，后面分?jǐn)?shù)部分正負(fù)相間，首項(xiàng)的分?jǐn)?shù)部分為負(fù)，分母為，分子為，故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為，故選：D3.已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得雙曲線離心率，解得，（負(fù)值舍），則，故雙曲線的漸近線方程為.故選：D4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.5.拋物線的焦點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將拋物線的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式得，可知該拋物線的焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，即，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.6.若數(shù)列滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，可得，則；令，可得，則.故選：D.7.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且橢圓上的點(diǎn)與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以.又因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值為，所以，結(jié)合，可得，故橢圓的方程為.故選：A.8.在三棱錐中，平面分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槠矫?，都在面?nèi)，所以，又，所以，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則所以取，得．設(shè)直線與平面所成的角為，所以．故選：B二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)斜率分別為，結(jié)合題意易得：，因?yàn)?，所以因?yàn)榍?，所?故選：BD.10.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；，，C，D正確.故選：ACD11.已知，在同一個(gè)坐標(biāo)系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)椋郧€為，直線為，當(dāng)時(shí)，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負(fù)，則D正確．故選：BD．12.已知拋物線，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，則（）A.B.C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】BC【解析】將代入，得．設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得．由，得或，所以，則．因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，且或，所以．故選：BC.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】6【解析】由圓，可得圓心，半徑.所以圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：6.14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題可知，解得，所以，故的焦距為.故答案為：15.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)________．【答案】【解析】在長(zhǎng)方體中，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，則，即.且，可知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，即，所以.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.符合，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求l的方程．解：（1）依題意，該動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)與到直線的距離相等．又點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義可知，該動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，由題意知直線l斜率存在，則，則，兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即．19.已知圓過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.解：（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.20.如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng);（2）求二面角的正弦值.解：（1）因?yàn)槠矫?，，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，由，得，，，．因?yàn)镕是中點(diǎn)，所以，則，．又，所以，解得，故．（2）由（1）可知，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．所以，故二面角正弦值為．21.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．解：（1）因?yàn)?，且，所以，所以，即，所以．?dāng)時(shí)，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．也符合上式，所以．?dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)的常數(shù)列，即（），所以（），所以通項(xiàng)公式為（2）因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以．22.已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．（1）求橢圓和雙曲線的離心率；（2）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作軸交雙曲線于點(diǎn)P（P在第一象限），A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，與橢圓交于另一點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．解：（1）橢圓的焦距，雙曲線的焦距，則，整理得，從而，，故橢圓的離心率，雙曲線的離心率．（2）由（1）可知，橢圓，因?yàn)?，所以直線的方程為．聯(lián)立方程組，整理得，則，則，可得，即，因?yàn)?，，，則，，故．陜西省西安市鄠邑區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?為生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線l經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則l的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由斜率公式得，l的斜率為．故選：B2.已知數(shù)列的前4項(xiàng)分別為，，，，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)，后面分?jǐn)?shù)部分正負(fù)相間，首項(xiàng)的分?jǐn)?shù)部分為負(fù)，分母為，分子為，故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為，故選：D3.已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得雙曲線離心率，解得，（負(fù)值舍），則，故雙曲線的漸近線方程為.故選：D4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.5.拋物線的焦點(diǎn)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將拋物線的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式得，可知該拋物線的焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，且，即，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.6.若數(shù)列滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，令，可得，則；令，可得，則.故選：D.7.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且橢圓上的點(diǎn)與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為，所以.又因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)與長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積的最大值為，所以，結(jié)合，可得，故橢圓的方程為.故選：A.8.在三棱錐中，平面分別是棱的中點(diǎn)，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槠矫?，都在面?nèi)，所以，又，所以，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，．設(shè)平面的法向量為，則所以取，得．設(shè)直線與平面所成的角為，所以．故選：B二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)斜率分別為，結(jié)合題意易得：，因?yàn)椋砸驗(yàn)榍遥?故選：BD.10.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.【答案】ACD【解析】設(shè)的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯(cuò)誤；，，C，D正確.故選：ACD11.已知，在同一個(gè)坐標(biāo)系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以曲線為，直線為，當(dāng)時(shí)，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負(fù)，則D正確．故選：BD．12.已知拋物線，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，則（）A.B.C.的取值范圍為D.的取值范圍為【答案】BC【解析】將代入，得．設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得．由，得或，所以，則．因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋一?，所以．故選：BC.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】6【解析】由圓，可得圓心，半徑.所以圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.故答案為：6.14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題可知，解得，所以，故的焦距為.故答案為：15.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)________．【答案】【解析】在長(zhǎng)方體中，，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，則，即.且，可知是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，即，所以.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.符合，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，則，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18.一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求l的方程．解：（1）依題意，該動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)與到直線的距離相等．又點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義可知，該動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，由題意知直線l斜率存在，則，則，兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即．19.已知圓過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.解：（1）設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.