2025屆湖南省九校聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省九校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以或，所以，故選：D.2.若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，其虛部為，故選：B3.圓的圓心到直線的距離為（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則該圓圓心到直線的距離為.故選：A4.某機(jī)器上有相互嚙合的大小兩個(gè)齒輪（如圖所示），大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，若大輪的半徑為，則大輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，得大輪每分鐘轉(zhuǎn)圈數(shù)為，因此大輪每秒鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為，所以大輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是.故選：D5.已知平面向量滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】計(jì)算可得，由，兩邊平方化簡(jiǎn)，得，將代入，可得在上的投影向量為.故選：B.6.甲?乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽甲獲勝的概率為，則甲第一局獲勝并最終以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲第一局獲勝并最終以獲勝，說明甲?乙兩人在5局比賽中，甲勝了4局，輸了1局，并且輸?shù)舻倪@局為第二局或第三局或第四局，故概率為.故選：C7.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.4049 B.4047 C.2025 D.2024【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，即，由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列可知，，又，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，即，則，當(dāng)時(shí)，；所以.故選：A.8.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，，所以，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，又因?yàn)椋渲?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，所以f'x>0，所以在R上單調(diào)遞增則由，可得，記，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為.故選：B二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法中，正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為13B.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，那么數(shù)據(jù)的方差為1C.已知隨機(jī)事件和互斥，且.則D.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，數(shù)據(jù)從小到大排列為，由，故第5個(gè)數(shù)作為第70百分位數(shù)，即A正確；B選項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)；C選項(xiàng)，因?yàn)楹突コ猓瑒t，可得，所以，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖知，，得到，則，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，整理得，，令，得觀察圖象知，和在上共8個(gè)交點(diǎn)，所以Fx在上共有8個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD11.已知矩形中，，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成一個(gè)幾何體，則（）A.該幾何體的體積為B.將該幾何體放入一個(gè)球內(nèi)，當(dāng)球的半徑最小時(shí)，球的表面積為C.將該幾何體削成一個(gè)球，則球的半徑的最大值為D.將該幾何體削成以為軸的圓柱，則圓柱的最大體積為【答案】BCD【解析】如圖1，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)共底面的圓錐，旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)倒立的相同的幾何體，將其體積記為，這兩個(gè)幾何體重疊部分是以圓為底面，為頂點(diǎn)的兩個(gè)小圓錐，其體積記為，則所求幾何體體積故A錯(cuò)誤；該幾何體可以放入的最小的球是以為直徑的球，該球的表面積為，故B正確；C選項(xiàng)中削成的最大的球的軸截面如圖2，設(shè)球的半徑為，則，中，，解得（舍）或，故C正確；D選項(xiàng)中，軸截面圖如圖3，設(shè)，則圓柱的體積為，故時(shí)，體積有最大值，故D正確.故選：BCD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知滿足，則__________.【答案】【解析】，.故答案為：.13.已知分別為雙曲線右支與漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】4【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，的最小值為垂直于漸近線時(shí)，所以的最小值為.故答案為：4.14.從中任意選取四元數(shù)組，滿足，則這樣的四元數(shù)組的個(gè)數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】70【解析】由題意得，將連同右邊的3個(gè)空位捆綁，連同右邊的4個(gè)空位捆綁，連同右邊的5個(gè)空位捆綁，分別看作一個(gè)元素，還剩個(gè)元素.四元數(shù)組的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從8個(gè)元素中選取4個(gè)，故這樣的四元數(shù)組的個(gè)數(shù)是.故答案為：70四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.在中，分別為角的對(duì)邊，.（1）求的值；（2）若的周長(zhǎng)為，求的面積.解：（1）由正弦定理得，，，，，又.由得，，所以.（2），由正弦定理，得，令，則，則，解得，的面積.16.如圖，在四面體中，平面為的重心，點(diǎn)在線段上，.（1）證明：；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）證明：如圖，連接并延長(zhǎng)交于，連接.為的重心，，又.平面，又，且平面，平面，又平面，.（2）如圖，以為軸，為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.解：（1），①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是（），遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，由題意可得，只需證明，方法一：令，則，令，易知在上單調(diào)遞增，，故存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故時(shí)，取得唯一的極小值，也是最小值.，所以，即當(dāng)時(shí)，.方法二：不等式等價(jià)于，只需證，令，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，令代替得到，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故存在，使得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，即當(dāng)時(shí)，.18.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，過作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.設(shè)的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）求的正弦值的最大值.解：（1）由題意，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）顯然的斜率不為0，設(shè)的方程為，聯(lián)立，得，，，，直線的方程為，從而，，若為等腰三角形，則，又，存在直線使得為等腰三角形，此時(shí)的方程為或.（3）由（2）知，，，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最大值時(shí)，取最大值，最大值時(shí)有，，即的正弦值的最大值為.19.若項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的或是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列，，，與數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，是中的任意一項(xiàng)，證明：一定是中的項(xiàng)；（3）若數(shù)列具有性質(zhì)，證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列.解：（1）數(shù)列，，，，則，，，，，，，所以數(shù)列，，，具有性質(zhì)；數(shù)列，，，，，，都不是數(shù)列里的項(xiàng)，所以數(shù)列，，，不具有性質(zhì).（2）證明：由數(shù)列具有性質(zhì)，由，可得，即不是數(shù)列中項(xiàng)，所以為數(shù)列中的項(xiàng)，由，所以是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，所以一定是數(shù)列中的項(xiàng)；綜上，一定是中的項(xiàng)；（3）證明：依題意，所以，由（2）可知一定是中的項(xiàng)，所以，，，，，，所以（*）當(dāng)，則，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，所以是數(shù)列中的項(xiàng)，由，又因?yàn)?，可得，，，，所以，因?yàn)?，由以上可知：且，所以且，所以，?*）由（*）知，，兩式相除，可得，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列.湖南省九校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以或，所以，故選：D.2.若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，其虛部為，故選：B3.圓的圓心到直線的距離為（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則該圓圓心到直線的距離為.故選：A4.某機(jī)器上有相互嚙合的大小兩個(gè)齒輪（如圖所示），大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，若大輪的半徑為，則大輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，得大輪每分鐘轉(zhuǎn)圈數(shù)為，因此大輪每秒鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為，所以大輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)是.故選：D5.已知平面向量滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】計(jì)算可得，由，兩邊平方化簡(jiǎn)，得，將代入，可得在上的投影向量為.故選：B.6.甲?乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽甲獲勝的概率為，則甲第一局獲勝并最終以獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲第一局獲勝并最終以獲勝，說明甲?乙兩人在5局比賽中，甲勝了4局，輸了1局，并且輸?shù)舻倪@局為第二局或第三局或第四局，故概率為.故選：C7.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.4049 B.4047 C.2025 D.2024【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，即，由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列可知，，又，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，即，則，當(dāng)時(shí)，；所以.故選：A.8.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，，所以，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，又因?yàn)?，其中，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，所以f'x>0，所以在R上單調(diào)遞增則由，可得，記，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為.故選：B二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法中，正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為13B.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，那么數(shù)據(jù)的方差為1C.已知隨機(jī)事件和互斥，且.則D.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，數(shù)據(jù)從小到大排列為，由，故第5個(gè)數(shù)作為第70百分位數(shù)，即A正確；B選項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)；C選項(xiàng)，因?yàn)楹突コ猓瑒t，可得，所以，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖知，，得到，則，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，整理得，，令，得觀察圖象知，和在上共8個(gè)交點(diǎn)，所以Fx在上共有8個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD11.已知矩形中，，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成一個(gè)幾何體，則（）A.該幾何體的體積為B.將該幾何體放入一個(gè)球內(nèi)，當(dāng)球的半徑最小時(shí)，球的表面積為C.將該幾何體削成一個(gè)球，則球的半徑的最大值為D.將該幾何體削成以為軸的圓柱，則圓柱的最大體積為【答案】BCD【解析】如圖1，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)共底面的圓錐，旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)倒立的相同的幾何體，將其體積記為，這兩個(gè)幾何體重疊部分是以圓為底面，為頂點(diǎn)的兩個(gè)小圓錐，其體積記為，則所求幾何體體積故A錯(cuò)誤；該幾何體可以放入的最小的球是以為直徑的球，該球的表面積為，故B正確；C選項(xiàng)中削成的最大的球的軸截面如圖2，設(shè)球的半徑為，則，中，，解得（舍）或，故C正確；D選項(xiàng)中，軸截面圖如圖3，設(shè)，則圓柱的體積為，故時(shí)，體積有最大值，故D正確.故選：BCD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知滿足，則__________.【答案】【解析】，.故答案為：.13.已知分別為雙曲線右支與漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】4【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，的最小值為垂直于漸近線時(shí)，所以的最小值為.故答案為：4.14.從中任意選取四元數(shù)組，滿足，則這樣的四元數(shù)組的個(gè)數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】70【解析】由題意得，將連同右邊的3個(gè)空位捆綁，連同右邊的4個(gè)空位捆綁，連同右邊的5個(gè)空位捆綁，分別看作一個(gè)元素，還剩個(gè)元素.四元數(shù)組的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從8個(gè)元素中選取4個(gè)，故這樣的四元數(shù)組的個(gè)數(shù)是.故答案為：70四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.在中，分別為角的對(duì)邊，.（1）求的值；（2）若的周長(zhǎng)為，求的面積.解：（1）由正弦定理得，，，，，又.由得，，所以.（2），由正弦定理，得，令，則，則，解得，的面積.16.如圖，在四面體中，平面為的重心，點(diǎn)在線段上，.（1）證明：；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）證明：如圖，連接并延長(zhǎng)交于，連接.為的重心，，又.平面，又，且平面，平面，又平面，.（2）如圖，以為軸，為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.解：（1），①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是（），遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，由題意可得，只需證明，方法一：令，則，令，易知在上單調(diào)遞增，，故存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故時(shí)，取得唯一的極小值，也是最小值.，所以，即當(dāng)時(shí)，.方法二：不等式等價(jià)于，只需證，令，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取