2025屆湖南省名校教育聯(lián)盟高三上學期12月大聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省名校教育聯(lián)盟2025屆高三上學期12月大聯(lián)考數(shù)學試題（滿分：150分時量：120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，，則.故選：B．2.等比數(shù)列的前項和為，，，則（）A.27 B.24 C.21 D.18【答案】C【解析】在等比數(shù)列中，其公比，所以，所以，故選：C．3.已知復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第一象限，且，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第一象限，設，∵，∴，，，∴復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第四象限，故選：D．4.已知向量，，若，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴.故選：C.5.已知是偶函數(shù)，則（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，由是偶函數(shù)，得，而不恒等于0，則恒成立，即恒成立，所以.故選：A6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A.6 B.5 C.3 D.2【答案】B【解析】由題可知，，時，．因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，的最大值為5．故選：B7.已知，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓相交于另一點，且，橢圓的離心率為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，由題意知，，，∴，∴點為橢圓的上（下）頂點，∴直線的斜率的絕對值．故選：A8.定義的實數(shù)根為的“堅定點”，已知，且，則下列函數(shù)中，不存在“堅定點”的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對選項A：，令，則，解得，，存在“堅定點”；對選項B：，f'x在0,+時，，時，；在0,+∞上單調(diào)遞增，時，，時，，所以關于的方程在0,+∞上有一解，存在“堅定點”；對選項C：，令，則，即，顯然是“堅定點”；對選項D：，令，則，因為且，所以不存在“堅定點”．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.已知，則下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由，同除以得，A選項正確；由基本不等式，又，所以等號不成立，所以，B選項正確；由在R上單調(diào)遞減，因，所以，C選項不正確；取，，得，，得，D選項不正確．故選：AB.10.如圖，在棱長為1的正方體中，，分別為線段，上的動點（包括端點），點在底面內(nèi)運動（包括邊界），則下列說法正確的有（）A.存在唯一的，，使得B.存在唯一的，，使得C.若為線段的中點，且平面，則動點的軌跡的長度為D.若為線段的中點，則的最小值為【答案】ACD【解析】對于A選項，當時，因為平面，所以在平面內(nèi)或與平面平行，故當且僅當與重合，且與重合時，，A選項正確；對于B選項，過在平面內(nèi)作的平行線，與底面內(nèi)（包括邊界）沒有公共點，故不存在，，使得，B選項不正確；對于C選項，當為線段的中點時，過作與平面平行的截面，與底面的交線為中的中位線，即為動點的軌跡，其長度為，C選項正確；對于D選項，設關于平面的對稱點為，則，D選項正確．故選：ACD11.在平面直角坐標系中，已知，，為原點，為平面內(nèi)的動點，且垂直于軸，垂足為，則滿足下列條件的動點的軌跡為橢圓的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，，由橢圓定義可知動點的軌跡為橢圓，故A正確；對于B，設Px,y則，∴，∴動點的軌跡為橢圓，故B正確；對于C，設Px,y則，∴，即，這樣的點的軌跡不存在，故C錯誤；對于D，設Px,y則，∴，即，動點的軌跡為橢圓，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.寫出一個半徑為，且與直線相切于點的圓的方程：_____．【答案】或（寫1個即可）【解析】設圓心坐標為，半徑為，且與直線相切于點，由直線，可得該直線斜率為，所以，解得或，所以所求圓的方程為或．故答案為：或（寫1個即可）.13.已知，，成等差數(shù)列，若直線與曲線相切，則________．【答案】【解析】由題意得，直線，故直線過定點，且曲線過點，故直線與曲線（無拐點）相切于點.∵，∴直線的斜率，∴直線的方程為，∴，∴.故答案為：.14.如圖，在平行四邊形中，已知，，，現(xiàn)將沿折起，得到三棱錐，且，則三棱錐外接球的表面積為________．【答案】【解析】如圖，過作，且，過作，且，連接，，，根據(jù)題意可知，，因為，，，所以，，所以，，，所以，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，所以三棱柱為直三棱柱．則三棱錐與直三棱柱的外接球相同．在中，，，∴．在中，，，，所以．設的外接圓半徑為，由正弦定理得，故的外接圓半徑，設三棱柱外接球半徑為，由勾股定理，則三棱錐外接球的表面積．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，，分別是角，，的對邊，的面積．（1）證明：；（2）若為的平分線，交于點，且，，求的長．（1）證明：因為，化簡得，由正弦定理，得，又，所以，整理得．又，為的內(nèi)角，所以，即．（2）解：因為為的平分線，且，所以，所以，在等腰三角形中，．①又，∴，則，化簡得，又，∴．②①代入②，得，解得或（舍去），∴，在中，由余弦定理得，∴．16.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面．（1）作出點在平面的射影，并證明；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）在中，作，垂足為，點即為點在平面的射影．下面證明平面：因為四邊形為等腰梯形，所以，在，中，，，解得，．又，，∴，∴．又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴．又，，平面，∴平面．（2）連接點與的中點，則．又平面平面，平面平面，平面，∴平面．如圖，以為原點，過點且平行于的方向為軸，直線，分別為軸，軸建立空間直角坐標系，則，，．設平面的法向量為，易知，，則取，則，，則．設平面的法向量為，，，則取，則，，則．∴，故平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知為坐標原點，橢圓的左、右頂點分別為，，點在橢圓上，直線，的斜率分別為，，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）若過的直線交于另一點，且由點，，，組成的以為一邊的四邊形的面積為，求的方程．解：（1）由題可知，，.∵點橢圓上，且，，解得，，故橢圓的標準方程為.（2）設點，①若點在軸下方，則，如圖1所示，則.因為點，，，組成的四邊形的面積為，所以，解得，代入橢圓方程得，故點，所以直線的方程為或.②若點在軸上方，則，，如圖2所示，設點到直線的距離為，則，則，解得.易知直線的方程為，由，得或.聯(lián)立得（舍去）或（舍去）聯(lián)立得，所以直線的方程為.綜上，直線的方程為或或.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）關于的方程有兩個不相等的正實數(shù)解，，且，求證：．（1）解：由，求導可得，令f'x>0，得或，令f'x所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）解：當時，等價于，設，則，所以在上單調(diào)遞減，所以．（3）證明：當時，，由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的大致圖象，如圖：因為，所以，所以．由，且切點，則曲線y=fx在處的切線為，同理可得曲線y=fx在處的切線為，設，所以，設，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以時，；時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當且僅當時取等號，所以在上恒成立，設直線與直線交點的橫坐標為，則，則，則，所以．同理可得，所以，得證.19.某商場舉行活動，充值積分若干后，可以用積分購買特定商品．參與此活動的商品有1積分的簽字筆，2積分的草稿本和2積分的便利貼．要求每天必須用積分購買商品且每天只能購買一次．花2積分購買草稿本或者購買便利貼算不同的用完積分的方式．（1）假設梅菊同學充值4積分，則該同學有多少種方式用完積分（只寫出答案，不用寫過程）；（2）假設代仕同學有點積分，該同學用完點積分的方式種數(shù)記為，求表達式；（3）設，記的前項和為，證明：．（1）解：記用1積分購買簽字筆為，用2積分購買草稿本為，用2積分購買便利貼為，由枚舉可知，該同學用完積分的方式如下：，共有11種．（2）解：對第一天使用積分購買的商品進行分類：①第一天買簽字筆，使用1積分，余下的積分在以后用完，種數(shù)為，②第一天買草稿本或便利貼，使用2積分，余下的積分在以后用完，種數(shù)為，所以，所以，因為，，所以，所以，因為，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以．（3）證明：由題可知，法一：易知當時，．當時，因為，所以，所以．法二：易知當時，．當時，因為，所以．湖南省名校教育聯(lián)盟2025屆高三上學期12月大聯(lián)考數(shù)學試題（滿分：150分時量：120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，，則.故選：B．2.等比數(shù)列的前項和為，，，則（）A.27 B.24 C.21 D.18【答案】C【解析】在等比數(shù)列中，其公比，所以，所以，故選：C．3.已知復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第一象限，且，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第一象限，設，∵，∴，，，∴復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于第四象限，故選：D．4.已知向量，，若，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴.故選：C.5.已知是偶函數(shù)，則（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，由是偶函數(shù)，得，而不恒等于0，則恒成立，即恒成立，所以.故選：A6.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A.6 B.5 C.3 D.2【答案】B【解析】由題可知，，時，．因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，的最大值為5．故選：B7.已知，分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓相交于另一點，且，橢圓的離心率為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，由題意知，，，∴，∴點為橢圓的上（下）頂點，∴直線的斜率的絕對值．故選：A8.定義的實數(shù)根為的“堅定點”，已知，且，則下列函數(shù)中，不存在“堅定點”的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對選項A：，令，則，解得，，存在“堅定點”；對選項B：，f'x在0,+時，，時，；在0,+∞上單調(diào)遞增，時，，時，，所以關于的方程在0,+∞上有一解，存在“堅定點”；對選項C：，令，則，即，顯然是“堅定點”；對選項D：，令，則，因為且，所以不存在“堅定點”．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．9.已知，則下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由，同除以得，A選項正確；由基本不等式，又，所以等號不成立，所以，B選項正確；由在R上單調(diào)遞減，因，所以，C選項不正確；取，，得，，得，D選項不正確．故選：AB.10.如圖，在棱長為1的正方體中，，分別為線段，上的動點（包括端點），點在底面內(nèi)運動（包括邊界），則下列說法正確的有（）A.存在唯一的，，使得B.存在唯一的，，使得C.若為線段的中點，且平面，則動點的軌跡的長度為D.若為線段的中點，則的最小值為【答案】ACD【解析】對于A選項，當時，因為平面，所以在平面內(nèi)或與平面平行，故當且僅當與重合，且與重合時，，A選項正確；對于B選項，過在平面內(nèi)作的平行線，與底面內(nèi)（包括邊界）沒有公共點，故不存在，，使得，B選項不正確；對于C選項，當為線段的中點時，過作與平面平行的截面，與底面的交線為中的中位線，即為動點的軌跡，其長度為，C選項正確；對于D選項，設關于平面的對稱點為，則，D選項正確．故選：ACD11.在平面直角坐標系中，已知，，為原點，為平面內(nèi)的動點，且垂直于軸，垂足為，則滿足下列條件的動點的軌跡為橢圓的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對于A，，由橢圓定義可知動點的軌跡為橢圓，故A正確；對于B，設Px,y則，∴，∴動點的軌跡為橢圓，故B正確；對于C，設Px,y則，∴，即，這樣的點的軌跡不存在，故C錯誤；對于D，設Px,y則，∴，即，動點的軌跡為橢圓，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.寫出一個半徑為，且與直線相切于點的圓的方程：_____．【答案】或（寫1個即可）【解析】設圓心坐標為，半徑為，且與直線相切于點，由直線，可得該直線斜率為，所以，解得或，所以所求圓的方程為或．故答案為：或（寫1個即可）.13.已知，，成等差數(shù)列，若直線與曲線相切，則________．【答案】【解析】由題意得，直線，故直線過定點，且曲線過點，故直線與曲線（無拐點）相切于點.∵，∴直線的斜率，∴直線的方程為，∴，∴.故答案為：.14.如圖，在平行四邊形中，已知，，，現(xiàn)將沿折起，得到三棱錐，且，則三棱錐外接球的表面積為________．【答案】【解析】如圖，過作，且，過作，且，連接，，，根據(jù)題意可知，，因為，，，所以，，所以，，，所以，是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，所以三棱柱為直三棱柱．則三棱錐與直三棱柱的外接球相同．在中，，，∴．在中，，，，所以．設的外接圓半徑為，由正弦定理得，故的外接圓半徑，設三棱柱外接球半徑為，由勾股定理，則三棱錐外接球的表面積．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，，分別是角，，的對邊，的面積．（1）證明：；（2）若為的平分線，交于點，且，，求的長．（1）證明：因為，化簡得，由正弦定理，得，又，所以，整理得．又，為的內(nèi)角，所以，即．（2）解：因為為的平分線，且，所以，所以，在等腰三角形中，．①又，∴，則，化簡得，又，∴．②①代入②，得，解得或（舍去），∴，在中，由余弦定理得，∴．16.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面．（1）作出點在平面的射影，并證明；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）在中，作，垂足為，點即為點在平面的射影．下面證明平面：因為四邊形為等腰梯形，所以，在，中，，，解得，．又，，∴，∴．又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴．又，，平面，∴平面．（2）連接點與的中點，則．又平面平面，平面平面，平面，∴平面．如圖，以為原點，過點且平行于的方向為軸，直線，分別為軸，軸建立空間直角坐標系，則，，．設平面的法向量為，易知，，則取，則，，則．設平面的法向量為，，，則取，則，，則．∴，故平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知為坐標原點，橢圓的左、右頂點分別為，，點在橢圓上，直線，的斜率分別為，，且．（1）求橢圓的標準方程；（2）若過的直線交于另一點，且由點，，，組成的以為一邊的四邊形的面積為，求的方程．解：（1）由題可知，，.∵點橢圓上，且，，解得，，故橢圓的標準方程為.（2）設點，①若點在軸下方，則，如圖1所示，則.因為點，，，組成的四邊形的面積為，所以，解得，代入橢圓方程得，故點，所以直線的方程為或.②若點在軸上方，則，，如圖2所示，設點到直線的距離為，則，則，解得.易知直線的方程為，由，得或.聯(lián)立得（舍去）或（舍去）聯(lián)立得，所以直線的方程為.綜上，直線的方程為或或.18.已知