注冊(cè)設(shè)備工程師10年培訓(xùn)課件3

一、不定積分五、平面曲線積分四、重積分積分學(xué)二、定積分三、廣義積分六、積分應(yīng)用一、不定積分1.不定積分概念定義：

若在區(qū)間I

上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿足則稱F(x)為f(x)在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù).在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為定義：上的不定積分2.基本積分表從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數(shù))或或3.求不定積分方法（1）直接積分法通過簡單變形,利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法(要求記住基本積分公式）.第一類換元的基本思路第一類換元的關(guān)鍵是湊微分，常用的湊微分結(jié)果有（2）

換元積分法第二類換元的解題思路為使用該公式的關(guān)鍵為第二類換元常見類型有三角代換倒代換根式代換等（3.）分部積分法一般經(jīng)驗(yàn):按“反,對(duì),冪,指,三”的順序,排前者取為u.（1）當(dāng)被積函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)時(shí),取被積函數(shù)為u

(2)當(dāng)被積函數(shù)為兩種不同類型函數(shù)乘積時(shí)例3

求積分解（再次使用分部積分法）解兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得2、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)31、定積分定義：二、定積分性質(zhì)5推論：（1）（2）性質(zhì)4性質(zhì)7(定積分中值定理)性質(zhì)6積分中值公式3、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可寫成牛頓—萊布尼茨公式4、牛頓—萊布尼茨公式5、定積分的計(jì)算法換元公式（2）第二類換元法（3）分部積分法分部積分公式（1）湊微分法6、重要結(jié)論為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)三、廣義積分(1)無窮限的廣義積分(2)無界函數(shù)的廣義積分1.二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))

為D的面積,則四、重積分（化為累次積分）特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有7.(二重積分的中值定理)在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使連續(xù),2.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分若D為

X–型區(qū)域

則若D為Y–型區(qū)域則解3.在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分例9.計(jì)算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:

由于積分區(qū)域關(guān)于X軸對(duì)稱，被積函數(shù)為偶函數(shù)，考慮上半圓。再利用極坐標(biāo)原式例10.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則方法1.三次積分法3.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分方法2.截面法（先二后一）

記作在該區(qū)間內(nèi)作2.在柱坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分在柱坐標(biāo)系下化三重積分為三次積分是將積分區(qū)域在某個(gè)坐標(biāo)面上投影，將投影區(qū)域用極坐標(biāo)表示，最后找出另一個(gè)坐標(biāo)的變化范圍。3.在球面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分五、平面曲線積分計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分說明:

積分限必須滿足1.對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算如果曲線L的方程為則有例11.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)

B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)2.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),存在,且有特別是,如果L

的方程為則例12.

計(jì)算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則規(guī)定：封閉曲線沿逆時(shí)針方向?yàn)檎较蛟O(shè)區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L圍成,則有格林公式函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),3.格林公式例13.

計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,

則1.平面圖形的面積設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為六、積分應(yīng)用例14.計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)例15.

求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:所求弧長2.平面曲線的弧長(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:所求弧長連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有3.旋轉(zhuǎn)體體積4.空間立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為9、春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，日子像桃子一樣甜蜜。2月-252月-25Friday,February14,202510、人的志向通常和他們的能力成正比例。10:55:3010:55:3010:552/14/202510:55:30AM11、夫?qū)W須志也，才須學(xué)也，非學(xué)無以廣才，非志無以成學(xué)。2月-2510:55:3010:55Feb-2514-Feb-2512、越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯(cuò)兒。10:55:3010:55:3010:55Friday,February14,202513、志不立，天下無可成之事。2月-252月-2510:55:3010:55:30February14,202514、ThankyouverymuchfortakingmewithyouonthatsplendidoutingtoLondon.ItwasthefirsttimethatIhadseentheToweroranyoftheotherfamoussights.IfI'dgonealone,Icouldn'thaveseennearlyasmuch,becauseIwouldn'thaveknownmywayabout.。14二月202510:55:30上午10:55:302月-2515、會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小。二月2510:55上午2月-2510:55February14,202516、如果一