2023年華師版九年級數學新編教案全冊

第22章二次根式

22.1二次根式

教學日日勺

1、理解二次根式的概念、

2、掌握二次根式R勺基本性質、

教學過程

1.設疑自探

上一節(jié)我們學習了平方根和算術平方根的意義，引進了一種新的記號,，目前請同學

們思索并回答下面兩個問題：

1、期表達什么？

2、a需要滿足什么條件?為何？

2.解疑合探

讓學生合作交流，然后回答問題（可以補充），歸納為；

1、當a是正數時，S表達a的算術平方根，即正數a的兩個平方根中的一種正數；

2、當a是零時，g表達零，也叫零的算術平方根；

3、a20,由于任何一種有理數的平方都不小于或等于零、

三、歸納特點，引入二次根式概念

1,基木性質、

問題1你能用一句話概括以上3個結論嗎?

讓一種學生回答、其他學生補充，概括為：,(a20)表達非負數a的算術平方根，也

就是說，Va(a20)是一種非負數，即也20(a20)。

問題2)匕20)等于什么?說說你的理由并舉例驗證。

讓學生小組討論或自主探索得出結論：(g)2=a(a20),如(S>=4,(色六2等、

以上兩個問題H勺結論就是基本性質，尤其是)2=a(a20)可以當公式使用，直接應用

于計算。反過來，把(也y=a(a2O)寫成a二(或加20州勺形式，這闡明：任何一種非負數a

都可以寫成一種數的平方的形式、例如：3=(小產，0.3=(國)2

提問：

(1)0=(^0I對不對?

(2)-5=(7^5尸對不對?假如不對，錯在哪里？

2、二次根式概念

形如版(a20)口勺式子叫做二次根式、

闡明:二次根式必須具有如下特點；

(1)有二次根號；

(2)被開方數不能不不小于0。

讓學生舉出二次根式的幾種例子，并判斷尸，G(a<0)、/、Q(a<o)是不是

二次根式。

3.質疑再探

例1、要使式子聲口故意義，字母x的取值必須滿足什么條件？

提問:

若將式子后力改為后G,則字母xH勺取值必須滿足什么條件？

4.運用拓展

（一）根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

（二）檢測

P10頁練習1、2、

思索提高

我們已經研究了（黃產（a20）等于a,目前研究對等于什么、

提問：

1、對于抽象問題日勺研究，常常采用什么方略？

2、在信中，a的取值有無限制？

3、取某些數值來驗記。通過驗證，你能發(fā)現什么規(guī)律？

因此，此后我們碰到江時，可先改寫成a的絕對值lai,再按照a取正數值，0還

是負數值來取值、例如當x<0時，=I4xI=-4x

4、2P與聲是同樣的嗎?說說你H勺理由，并與同學交流。

5.課堂小結

1、什么叫做二次根式?你們能舉出幾種例子嗎？

2、二次根式有哪兩個形式上的特點？

3、二次根式有哪些性質?

6.作業(yè)

習題22.1第1、2、3、4題、

教學后記：

22.2二次根式的乘除法

第一課時二次根式的乘除法

教學目日勺

1、使學生掌握二次根式的乘法運算法則，會用它法行簡樸日勺二次根式的乘法運算。

2、使學生掌握積口勺算術平方根口勺性質、會根據這一性質純熟地化簡二次根式、

3、培養(yǎng)學生合情推理能力。

教學過程

1.設疑自探

1、什么叫做二次根式?下列式子哪叫是二次根式，哪些不是二次根式？

4160y/—130yj27,

2、二次根式有哪些性質?計算下列各題：

^/(0.5)2V>44(市產叱-51

提出問題，導入新知

1、試一試

計算：(1)木X^25=()=()

14X25=()=()

(2)回x木=()=()

\16義9=()=()

提問：觀測以上計算成果，你能發(fā)現什么？

2、思索

啦X小與叵Q與否相等？

提問：（1）你將用什么措施計算？

（2）通過計算，你發(fā)現了什么?與否與前面試一試的成果同樣？

2.解疑合探

讓學生觀測以上計算成果、歸納得出結論：,x#個西（a20,b20）

注意，a,b必須都是非負數，上式才能成立。

舉例應用

例1、計算。

市x#\4xy[32

闡明：二次根式運算H勺成果，應當盡量化簡、如（2）成果不要寫成灰，而應化簡成4。

等式x冊=y[aXb（a20,b20）,也可以寫成，S=y/ax加（a20,b20）

運用它可以進行二次根式日勺化簡，例如：硒個便x的力研小=a\/b

例2、化簡

y[\2^4?

闡明：（1）假如一種二次根式的被開方數中有的因式（或因數）能開得盡方，可以運用積的

算術平方根H勺性質，將這些因式（或因數）開出來，從而將二次根式化簡；（2）在化簡時，一般

先將被開方數進行因式分解或因數分解，然后就將能開得盡方的因式（偶次方因式）或因數用

它們的算術平方根替代，移到根號外，也就是開出方來。

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

(一)根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

(二)檢測

1、計算下列各式，將所得成果化簡：

小x#x，15a

2、P12頁練習1(1)、(2)、2

五、想一想

1、y[ax木x#與m,b?c與否相等?a、b、c有什么限制?請舉一種例子加以闡明。

2、y/ti,b,c等于由x冊xy[c嗎？

3、化簡：V4a,be*

5.小結

這節(jié)課我們學習了如下知識：

1、二次根式的乘法運算法則，即,X#=正大(a20,b20)

2、積的算術平方根，等于積中各因式口勺算術平方根內積，即必=,X#(a20,

b20)……)

要尤其注意，以上(1)、(2)中，a、b必須都是非負數，假如a、b中出現了負數，等式就

不成立、想一想，-\/(-4)X(-9)=V-4x^9成立嗎?為何？

3、應用(1)、(2)進行計算和化簡，在計算和化簡中，復習了性質聲=a(a>0),加深

了對非負數a日勺算術平方根口勺性質日勺認識、

6.作業(yè)

習題22.2第2、(1),(2)題，第3、⑴、(2)題、第4題

教學后記；

第二課時二次根式的乘除法

教學目日勺

1、使學生掌握二次根式的除法運算法則，會用它進行簡樸的二次根式的除

法運算。

2、使學生理解兩個二次根式日勺商仍然是一種二次根式或有理式。

3、使學生會將分母中具有一種二次根式日勺式子進行分母有理化、

40經歷探索二次根式口勺除法運算法則過程，培養(yǎng)學生的探究精神和合作交

流口勺習慣。

教學過程

1.設疑自探

問題1上一節(jié)課，我們采用什么措施來研究二次根式的乘法法則？

問題2與否也有二次根式的除法法則呢？

問題3兩個二次根式相除，怎樣進行呢？

2.解疑合探

讓抽象的問題詳細化，這是我們研究抽象問題的一種重要措施、請同學們參

照二次根式日勺乘法法則日勺研究，分組討論兩個二次根式相除，會有什么結論，并

提出你口勺見解，然后其他小組同學補充，歸納為：

?=回

4bNb

提問：

1、a和b有無限制?假如有限制，其取值范圍是什么?

2、歸=①

Nb4b(a20,b>0)成立嗎?為何?請舉例。

范例

例1、計算。

V15V24

方而

教學規(guī)定：(1)對于(1)可由教師解答示范；(2)對于(2)可由學生自己計算。

提問:

1、除了書本中日勺解答外，與否尚有其他解法?假如有，請給出此外解法。

2、哪種措施更簡便?

例2、化簡白：

(規(guī)定分母不帶根號)

闡明：二次根式的化簡規(guī)定滿足如下兩條:

(1)被開方數的因數是整數，因式是整式，也就是說“被開方數不含分母”。

(2)被開方數中不含能開得盡的因數或因式，也就是說“被開方數的每一種

因數或因式的指數都不不小于2”。

把一種二次根式化簡日勺詳細措施是：化去根號下時分母；并把被開方數中能

開得盡方的因數或因式用它日勺算術平方根替代后移到根號外面。

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

(一)根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌!

（二）檢測

化簡：

1瓜

V5720

教學要點：（1）叫兩位同學板演，其他同學做完練習進行評價、（2）可用提問

的方式引導學生探索其他解法。

5.小結

4ci_

本節(jié)課，我們學習了二次根式的除法法則，即布=(a>(),b>())r并

運用它進行計算和化簡?；喴龅健氨婚_方數不含分母”和“被開方數的每一

種因數或因式H勺指數都不不小于2”。詳細措施是：化去根號下的分母；并把被

開方數中能開得盡方的因數或因式用它H勺算術平方根替代后移到根號外面、化簡

的詳細措施可用于計算。

6作業(yè)

P14頁習題22.22（3）、3（3）

教學后記:

22.3二次根式附加減法

教學目日勺

1、使學生懂得什么是同類二次根式，會辨別兩個根式與否同類二次根式.

2、使學生會通過合并同類二次根式，進行二次根式附加法與減法運算.

3、使學生通過二次根式H勺加減，深入理解歸類的思想措施.

教學過程

1.設疑自探

1、化簡：

行業(yè)行世

2.試一試計算：

3V5-2小3^/a+2g

做一做

1.觀測以上兩道計算題，你聯想到什么？

讓學生類比、聯想，討論、交流，然后舉手回答，老師歸納，評價.

2.你能試著處理它嗎?

讓學生動手計算，鼓勵學生加強合作，同桌，上下桌同學可以互相交流，并

請兩位同學上臺板演，教師進行講評.

上面兩個例子表明.碰到兩個二次根式相加(或加減)時，我們但愿運用分派

律.這里運用分派律的實質是規(guī)定這兩個二次根式的被開方數相似.這種類似的

狀況我們過去也碰到過：將兩個單項式相加，假如想運用分派律H勺話，那就應當

規(guī)定兩個單項式除了系數以外，其他部分完全相似.這就啟發(fā)我們，類似在整式

附加減中依托“同類項”那樣，能不能在二次根式口勺加減中，也依托一種“同類

二次根式”呢？

3.同類二次根式

像3小和一23，3版和入。這樣日勺兩個二次根式，稱為同類二次根式.

闡明：(1)被開方數相似.問：,?小與況歷是不是同類二次根式？

(2)二次根式不能再化簡.

(3)與二次根式的系數無關.

(4)你還能說出幾種與3小同類日勺二次根式嗎？

2.解疑合探

二次根式日勺加減，與整式日勺加減相類似，只需對同類二次根式進行合并.

例1：計算3也十小一2也一3小

例2.計算行+皿

提問:

1.這里三個加項中有同類二次根式嗎？

2.能否將它們化簡？

化簡狀況詳見上面，可以發(fā)現，有些二次根式是同類二次根式，而有些不是,

將同類二次根式合并，就可以得到最終H勺成果。

小結：先化簡，再合并同類二次根式。

例3.計算：

(1)啊+母(2)^27-2^3+^45

讓學生試試看，完畢例3日勺計算.

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

(一)根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

(二)檢測

P14頁練習1、2；思索：P14頁打開計算黑盒。

5.小結

這節(jié)課，我們學習了同類二次根式概念，同類二次根式必須滿足兩個條件：

⑴它們都是最簡二次根式，⑵它們被開方數必須完全相似.同步，我們還學習

了二次根式日勺加法與減法運算。通過運算我們懂得，二次根式相加減的實質就是

合并同類二次根式。為了確認哪些二次根式是同類二次根式，我們先要把被確認

的二次根式都化成最簡二次根式，再按它們日勺被開方數與否完全相似去判斷.

6.作業(yè)

習題22.33(4)(5)

教學后記：

第23章一元二次方程

23.1一元二次方程

教學目的：

1、懂得一元二次方程的定義，能純熟地把一元二次方程整頓成一般形式

ax2+bx+c=0（。#0）

2、在分析、揭示實際問題的數量關系并把實際問題轉化為數學模型（?元二次方程）

的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界數量關系H勺工具，增長對一元二次方程的感性認

識。

3、會用試驗的措施估計一元二次方程的解。

重點難點：

1.一元二次方程的意義及一般形式，會對的識別一般式中的“項”及“系數”。

2.理解用試驗的措施估計一元二次方程時解日勺合理性。

教學過程：

1.設疑自探

1.問題一綠苑小區(qū)住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊

長方形綠地，并且長比寬多10米，那么綠地日勺長和寬各為多少？

分析：設長方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x(x+10)=900

整頓可得x2+lOx-900=0.(1)

2.問題2

學校圖書館去年年終有圖書5萬冊，估計到明年年終增長到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長

率.

解：設這兩年日勺年平均增長率為x,我們懂得，去年年終的圖書數是5萬冊，則今年年終的

圖書數是5(14-x)萬冊；同樣，明年年終日勺圖書數又是今年年終日勺(l+x)倍，即5(1

+x)(l+x)=5(l+x)2萬冊.可列得方程

5(l+x)2=7.2,

整頓可得5x2+lOx-2.2=0.(2)

2.解疑合探

這樣，問題1和問題2分別歸結為解方程(1)和(2).顯然，這兩個方程都不是一元一次

方程.那么這兩個方程與一元一次方程的J區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點呢？

(學生分組討論，然后各組交流)共同特點：

(I)都是整式方程

(2)只具有一種未知數

(3)未知數FI勺最高次數是2

一元二次方程"勺概念

上述兩個整式方程中都只具有一種未知數，并且未知數的最高次數是2,這樣的方程叫做一

元二次方程).一般可寫成如下的I一般形式:

ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數，aWO）。其中辦？叫做二次項，。叫做二次項系數；/叫

做一次項，力叫做一次項系數，。叫做常數項。.

例題講解與練習鞏固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？試闡明理由。

X-2_]=

（1）3x+2=5x-3（2）x2=4（3）x+1（4）x-4=（x4-2）2

2.例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們H勺二次項系數、一次項系數和常數項:

I）6y2=y2）（x-2）（x+3）=83）U+3X3X-4）=U+2）2

闡明：一元二次方程的一般形式ad+6x+c=（）（?工0）具有兩個特性：一是方程的J

右邊為0；二是左邊的二次項系數不能為0。此外要使學生意識到：二次項、二次項系數、

一次項、一次項系數、常數項都是包括符號的。

3.例3方程（2a-4）x2-2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下

此方程為一元一次方程？

本題先由同學討論，再由教師歸納。

解：當〃N2時是一元二次方程；當"=2,"H0時是一元一次方程；

4.例4已知有關x日勺元二次方程（ni-l）x?+3X-5III十4二0有根為2,求in。

分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

(一)根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

(二)檢測

練習一將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項

2/=2—3x2X(X-1)=3(X-5)-4(2y-l)2-(y+1)2=(y+3XJ-2)

練習二有關勺方程(〃-3),+以+〃7=°,在什么條件下是一元二次方程？在什么

條件下是一元一次方程？

5.小結

1、只具有一種未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式為，a2+〃氏+。=°(〃W0),一元二次方程的項及系數都是根

據一般式定義口勺，這與多項式中日勺項、次數及其系數日勺定義是一致的。

3、在實際問題轉化為數學模型(一元二次方程)的過程中，體會學習一元二次方程日勺必

要性和重要性。

6作業(yè)

書本習題23.11、2、3

教學后記:

23.2一元二次方程的解法

第一課時一元二次方程的解法

教學目的h

I、會用直接開平措施解形如"（X一幻2=”（aN0,ah20）的方程：

2、靈活應用因式分解法解一元二次方程。

3、使學生理解轉化日勺思想在解方程中口勺應用，滲透換遠措施。

重點難點：

合理選擇直接開平措施和因式分解法較純熟地解一元二次方程，理解一元二次方程無實根的

解題過程。

教學過程：

1.設疑自探

問：怎樣解方程("+D=256的？

讓學生說出作業(yè)中的J解法，教師板書。

解：1、直接開平方，得x+l=±16

因此原方程H勺解是xl=lf,x2=-17

2、原方程可變形為

(x+1)2-256=0

方程左邊分解因式，得

(x+1+16)(x+1—16)=0

即可(x+I7)(x-15)=0

Siltx+17=0,x-15=o

原方程日勺蟹xl=15,x2=-17

2.解疑合探

1、例1解下列方程

(1)(x+1)2—4=0；(2)12(2-x)2—9=0.

分析兩個方程都可以轉化為“。一"廠="(a#0,ab20)

的形式，從而用直接開平措施求解.

解(1)原方程可以變形為

(x+1)2=4,

直接開平方，得

x+1=±2.

因此原方程的解是xl=l,x2=-3.

原方程可以變形為

有.

因此原方程口勺解是xl=,x2=.

2、闡明：(1)這時，只要把(X+D看作一種整體，就可以轉化為X?二人(〃20)型的措

施去處理，這里體現了整體思想。

3、練習一解下列方程：

(1)(x+2)2-16=0；(2)(X-1)2-18=0；

(3)(l-3x)2=l；(4)(2X+3)2-25=0.

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

(一)根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

(二)檢測

解下列方程

(1)(X+2)2=3(X+2)(2)2y(y-3)=9-3y(3)(x-2)2—x+2=0

(4)(2X+1)2=(X-1)2(5)/—2.*+1=49。

5.小結

1、對于形如〃0一.2="(aW0,a〃20)的方程，只要把。一口看作一種整體，就可轉

化為一二〃520)的形式用直接開平措施解。

2、當方程出現相似因式［單項式或多項式)時，切不可約去相似因式，而應用因式分解法

解。

6.作業(yè)

書本第37頁習題1(5、6)、P38頁習題2(1、2)

教學后記:

第二課時一元二次方程的解法

教學目的：

I、掌握用配措施解數字系數口勺一元二次方程.

2、使學生掌握配措施的I推導過程，純熟地用配措施解一元二次方程。

3.在配措施的應用過程中體會“轉化”的思想，掌握某些轉化的技能。

重點難點：

使學生掌握配措施，解一元二次方程。

把一元二次方程轉化為

教學過程：

1.設疑自探

解下列方程，并闡明解法的根據：

2X+126=0

（D3-2X=\（2）（）-（3）（x-2『T=。

通過復習提問，指出這三個方程都可以轉化為如下兩個類型:

x2=/?(/?>O)ff(x-tz)2=b(b>0)

根據平方根的意義，均可用“直接開平措施”來解，假如bvO,方程就沒有實數解。

如(X-1)2=-2

請說出完全平方公式。

(x+a)2=x2+2辦+/

(x-tz)2=x2-Icix+a1

o

引入新課

我們懂得，形如Y—A二°時方程，可變形為'=4AN°),再根據平方根的意義，

用直接開平措施求解.那么，我們能否將形如f+、E+c=°H勺一類方程，化為上述形式求

解呢？這正是我們這節(jié)課要處理的問題.

2.解疑合探

1、例1、解下列方程：

X2+2X=5；(2)"2—4X+3=0.

思考

能否通過合適變形，將它們轉化為

()二a的形式，應用直接開措施求解？

解(1)原方程化為1+2x+l=6,(方程兩邊同步加上I)

（2）原方程化為廣—4x+4=-3+4（方程兩邊同步加上4）

歸納

上面，我們把方程V-4x+3=0變形為（"-2）=i,它的左邊是一種具有未知數的完全平

方式，右動是一種非負常數.這樣，就能應用直接開平方的措施求解，文種解一亓二次方程時

措施叫做配措施.

注意到第一步在方程兩邊同步加上了一種數后，左邊可以用完全平方公式從而轉化為用直接

開平措施求解。

那么，在方程兩邊同步加上的這個數有什么規(guī)律呢？

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

（一）根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

（二）檢測

對下列各式進行配方:

x2+8x=(x+)2.x2-lOx=(x+)2

x2-5x+=(x-)2.x2-9x+=(x-)2

23.、2

?V~X+=(-￥—)~2,J/.\2

2--------.x+bx+=(x+)

通過練習,使學牛認識到：配方的關鍵是在方程兩邊同步添加H勺常數項等干一次項系數二分

之一的平方。

例題講解與練習鞏固

1、例2、用配措施解下列方程:

(1)x—6x—7=0：(2)+3x+1=0.

2、練習：

①.填空：

22

⑴X+6X+()=()(2)V—8x+()=(x-)2

(3)+x+()=(x+)2；(4)4/—6x+()=4(x—)

②用配措施解方程：

(1)J+8x-2=0/-5x-6=0.

(3)X2+7=-6x

試一試

用配措施解方程x2+px+q=0(p2-4q>0).

先由學生討論探索，教師再板書講解。

解：移項，得X'+px=—q,

p_p_p_

配方，得X2+2?x?2+(2)2=(2)2—q.

P_P?-4q

即(X+2)2=4

由于p2-4qX)時，直接開平方，得

P_J/4q

x+2=±2

pJ/-4q

因此x=-2土2,

一夕±-4q

即x=2.

思考：這里為何要規(guī)定p2-4qK)?

討論

1、怎樣用配措施解下列方程？

4X2-12X-1=0;

請你和同學討論一下：當二次項系數不為1時，怎樣應用配措施？

2、關鍵是把當二次項系數不為1的一元二次方程轉化為二次項系數為1的一元二次方程。

先由學生討論探索，再教師板書講解。

解：(1)將方程兩邊同步除以4,得X2-3X--=0

4

移項，得X2-3X=-

4

313

配方，得X2-3X+(-)2=-+(-)2

242

直接開平方，得--=±-

x22

3+麗3-麗

因此xi=2,X2=2

3,練習：用配措施解方程：

(1)2A-2-7X-2=0(2)3X2+2X-3=0.

⑶2X2-4X+5=0(原方程無實數解)

5.本課小結：

讓學生反思本節(jié)課的解題過程，歸納小結出配措施解??兀二次方程的環(huán)節(jié)：1、把常數

項移到方程右邊，用二次項系數除方程的兩邊使新方程的二次項系數為1；2、在方程日勺兩

邊各加上一次項系數的二分之一H勺平方，使左邊成為完全平方；

假如方程小J右邊整頓后是非負數，用直接開平措施解之，假如右邊是個負數，則指出原方程

無實根。

6.布置作業(yè)：

P38頁習題2.(3)、(4)、(5)、(6),3,4.(1)、(2)

教學后記:

第三課時一元二次方程的解法

教學目的：

1、使學生純熟地應用求根公式解一元二次方程。

2、使學生經歷探索求根公式H勺過程，培養(yǎng)學生抽象思維能力。

3、在探索和應用求根公式中，使學生深入認識特殊與一般的關系，滲透辯證唯物廣義觀點。

重點難點：

1、難點：掌握一元二次方程的求根公式，并應用它純熟地解一元二次方程：

2、重點：對文字系數二次三項式進行配方；求根公式的構造比較復雜，不易記憶；系數和

常數為負數時，代入求根公式常出符號錯誤。

教學過程：

1.設疑自探

1、用配措施解下列方程：

,3X2-\2X+-=0

（1）r+15=10x（2）3

2、用配方解一元二次方程的環(huán)節(jié)是什么？

3、用直接開平措施和配措施解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的措施,

迅速求得一元二次方程的實數根呢？

2.解疑合探

問題I：能否用配措施把一般形式的一元二次方程62+"x+c=°（a*°）轉化為

h2-4ac

（X+-）2=

a呢？

教師引導學牛.回憶用配措施解數字系數II勺一元二次方程的過程，讓學牛.分組討論交流，到達

共識:

由于方程兩邊都除以'J得

abc八

廠+-x+-=0

aa

移項，得

配方，得

2cb/b\2/〃、2c

X+2大五十（五廠二（五）、工

/b、）lr-4ac

（x+—）-=----：—

即2a4a-

--4ac

問題2：當^一4。。2°,且時，4/不小于等于零嗎？

讓學生思索、分析，刊登意見，得出結論：當a?-4acN°時，由于〃工（），因此

…,從而當。

問題3：在研究問題1和問題2中，你能得出什么結論？

讓學生討論、交流，從中得出結論，當加-4址之°時，一般形式的一元二次方程

b,yjb2-4ac-b±yjb2-4ac

公2+法+c=o（〃*。）的根為2a2a,即2a

由以上研究的成果,得到了一元二次方程以、法十仁=。.,。）的求根公式：

-b±ylb2-4ac

X=------------）

2a（“一4〃c>0）

這個公式闡明方程H勺根是由方程的系數。、b、c所確定的，運用這個公式，我們

可以由一元二次方程中系數。、人、°的值，直接求得方程的解，這種解方程的措施叫做公

式法。

思索：當尸一4次：2°時，方程有實數根嗎？

例題

例1、解下列方程：

1、2x2+x-6=0.2、x2+4x=2.

3、5X2-4X-12=0,4、4X2+4X+10=1-8^

教學要點：（1）對于方程（2）和（4）,首先要把方程化為一般形式；

（2）強調確定。、b、c值時，不要把它們口勺符號弄錯；

（3）先計算〃一4次?時值，再代入公式。

例2、（補充）解方程/一%+1=0

解：這里《=1,b=-l,c=l,

b2-4ac=（-1）2-4xlxl=-3<0

由于負數不能開平方，因此原方程無實數根。

讓學生反思以上解題過程，歸納得出：

當4〃c>°時，方程有兩個不相等日勺實數根;

當4ac二°時，方程有兩個相等的實數根；

當〃2—4acv°時，方程沒有實數根。

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

（一）根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

（二）檢測

1、P35練習。

2、閱讀P39“閱讀材料”,

5.小結：

根據你學習H勺體會，小結一下解一元二次方程一般有哪幾種措施？一般你是怎樣選擇的？和

同學交流一下。

6.作業(yè)：

P38習題4.（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）,5。

教學后記:

第四課時一元二次方程的解法

教學目的：

I、使學生能根據量之間的關系，列出一元二次方程的應用題。

2、提高學生分析問題、史埋問題的能力。

3、培養(yǎng)學生數學應用的意識。

重點難點：

認真審題，分析題中數量關系，合適設未知數，尋找等量關系，布列方程是本節(jié)課的重點,

也是難點。

教學過程：

1.設疑自探

1、論述列一元一次方程解應用題的環(huán)節(jié)。

2、用多種措施解方程SI)=八29

讓學生嘗試用多種措施解方程，歸結為:

解法I：將方程化為（3XT）2=（X+3）2,直接開平方，得3x-l=±（x+3）

1

V-2x2

解得M-N,2。

、3

0AA-1=0

解法2：將方程化為一般形式2r-3工-2=°,進而轉化為2,用配措施可

求方程的解。

解法3：將方程化為一般形式2f-3工-2二°,用公式法求解，其中

b2-4ac=（一3y-4x2x（-2）=25

提問：用哪種措施解方程（3xT）2=￡+6x+9更簡便？

3、目前，你能處理§22.1的問題1了嗎？

2.解疑合探

請同學們先看看P26頁問題1,要想處理§22.1的問題1,首先要解方程f+l°x-900=0,

同學傘能解這個方程嗎？

讓學生動手解題并口答成果：X=-5-5歷百=-5+5歷

提問：

1、所求王、/都是所列方程的解嗎？

2、所求玉、々都符合題意嗎？

讓學生思索、分析，真正理解負數根不符合題意，應舍去符合題意的解是：

電=-5+5歷=25.4

x+10=35.4

3.1和2闡明了什么問題？

讓學生交流討論、體會到把實際問題轉化為數學問題來處理，求得方程日勺解，不一定是原問

題的解答，因此，要注意是檢查解與否符合題意。

作為應用題，還應作答。

例題

例1.如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相

等的小正方形，折成一種無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方米.求截去正方形的

邊長。

解.：設截去正方形的邊長x厘米，底面(圖中虛線線部分)長等于厘米，寬等

于厘米，S底面二o

請同學們自己列出方程并解這個方程，討論它的解與否符合題意?！酢?/p>

由學生回答解題過程，教師板書：；：

解設截去正方形的邊長為x厘米，根據題意，得

(60-2x)(40-2x)=800

解方程得

Xj=10x2=40

經檢查，W=4°不符合題意，應舍去，符合題意的解是玉二10

答：截去正方形的邊長為10厘米。

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

（一）根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

（二）檢測

P36練習1、2

5.小結：

讓學生反思、歸納、總結，應用一元二次方程解實際問題，要認真審題，要分析題意，找出

數量關系，列出方程，把實際問題轉化為數學問題來處理。求得方程的解之后，要注意檢查

與否任命題意，然后得到原問題"勺解答。

6.作業(yè)：

P38習題5、6、7

教學后記：

第五課時一元二次方程的解法（六）

教學目的:

1、使學生會列出一元二次方程解有關變化率日勺問題O

2、培養(yǎng)學生分析問題、史理問題的能力，提高數學應用的意識。

重點難點：

本節(jié)課的重點和難點都是列出一元二次方程，處理有關變化率的實際問題。

教學過程：

1.設疑自探

百分數的概念在生活中常常見到，而量的變化率更是經濟活動中常常接觸，下面，我們就來

研究這樣的問題。

問題：某商品經兩次降價，零售價降為本來的二分之一，已知兩次降價的百分率同樣。求每

次降價的百分率。（精確到0.1%）

2.解疑合探

分析:“兩次降價的I百分率同樣”，指H勺是第一次和第二次降價的百分數是一種相似的值,

即兩次按同樣的百分數減少，而減少口勺絕對數是不相似的，設每次降價的百分率為x,若原

價為〃，則第一次降價后的零售價為“一次二。（1一外，又以這個價格為基礎，再算第二次

降價后的零售價。

思索：原價和目前的價格沒有詳細數字,怎樣列方程？請同學們聯絡已經有H勺知識討論、

交流。

解設原價為1個單位，每次降價的百分率為x.根據題意，得

1

（LX）27=5

解這個方程，得

2士企

x=2

2+叵

由于降價日勺百分率不也許不小于1,因此x=2不符合題意，因此符合本題規(guī)定的x

為

2-立

2-29.3%.

答：每次降價的百分率為29.3%.

拓展引申

某藥物兩次升價，零售價升為本來的1.2倍，已知兩次升價的百分率同樣，求每次升價

的百分率（精確到0.1%）

解，設原價為〃元，每次升價口勺百分率為工，根據題意，得

a（l4-x）2=1.2a

解這個方程，得

土畫

5

.叵

由于升價日勺百分率不也許是負數，因此5不符合題意，因此符合題意規(guī)定的x為

x=-l+—?9.5%

5

答：每次升價H勺百分率為9.5%。

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

（一）根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編道題，考考同桌!

（二）檢測

P37練習1、2

5.小結：

有關量的變化率問題，不管是增長還是減少，都是變化前的數據為基礎，每次按相似的百分

數變化，若原始數據為。.設平均變化率為X，經第一次變化后數據為〃（1±幻：經第二次

變化后數據為〃0±幻。在依題意列出方程并解得X值后，還要根據°<X<1的條件，做

符合題意的解答。

6.作業(yè)：

P38習題8、9

教學后記：

23.3實踐與探索（一）

教學目的：

1、學生在已經有的?一元二次方程的學習基礎上，可以走生活中的實際工資問題進行數學建

模處理問題，從而深入體會方程是刻畫現實世界歐?一種有效數學模型。

2、讓學生積極積極參與課堂自主探究和合作交流，并在其中體驗發(fā)現問題、提出問題及處

理問題的全過程，培養(yǎng)學生的數學應用能力。

3、學生感受數學的嚴遂性，形成實事求是H勺態(tài)度及進行質疑和激發(fā)思索H勺習慣；獲得成功

的體驗和克服困難R勺經歷，增進應用數學的自信心。

重點難點：

1、重點：運用一元二次方程對實際問題進行數學建模，從而處理實際問題。

2、難點：學生分析方程的解，自主探索得到處理實際問題日勺最佳方案。

教學過程：

1.設疑自探

1、解方程/一70工+825=°,并論述解一元二次方程的解法。

2、說說你對實踐問題口勺史理時，有何經驗，有何體會？

創(chuàng)設問題情境

小明把一張邊長為的正方形硬紙板的四面剪去一種同樣大小的正方形，再折合

成一種無蓋U勺長方形盒子，

（1）假如規(guī)定長方體U勺底面面積為81cm2,那么剪去的正方形邊長為多少？

（2）假如按下衣列出的長方體底面面積U勺數據規(guī)定，那么剪去的正方形邊長會發(fā)生什么樣

的變化？折合成的長方體內體積又會發(fā)生什么樣的變化?

2.解疑合探

1、長方形的底面、正方形的邊長與正方形硬紙板中的什么量有關系？

（長方形日勺底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長有關系）

2、長方形的底面正方形H勺邊長與正方形硬紙板的邊長存在什么關系？

（長方形日勺底面正方形的邊長等于正方形硬紙板日勺邊長減去剪去H勺小止方形邊長的2倍）

3、你能否用數量關系表達出這種關系呢？并求出剪去的小正方形口勺邊長。

解：設剪去歐I正方形邊長為枇加，依題意得：

（10-x）2=81

10-x=±9

=1X2=9

由于正方形硬紙板的邊長為

因此剪去的正方形邊長為lc〃2o

4、請問長方體的高與正方形硬紙板中的什么量有關系？求出此時長方體的體積。

（長方體的高與正方形硬紙板式剪去的小正方形I付邊長同樣；體積為81x1=815、

5、完畢表格，與你口勺同伴一起交流，并討論剪去的正方形邊長發(fā)生什么樣的變化？折合成

的長方體日勺體積又會發(fā)生什么樣日勺變化？

6、在你觀測到的變化中、你感到折合而成的長方體的體積會不會有最大R勺狀況？以剪去的

正方形的邊長為自變量，折合而成的長方體體積為函數，并在直角坐標系中畫出對應的點，

看看與你H勺感覺與否一致。

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

（一）根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

（二）檢測

1.如圖，AABC的）邊BC=8c〃z,高AM=6cm,長方形DEFG的J一邊EF落在BC上，

頂點D、G分別落在AB和AC上，假如這長方形面積12cm,試求這長方形的邊長。

2.什么狀況下，長方形的面積最大。

5.小結：

1、談談本節(jié)的收獲。

2、談談本節(jié)的體會。

3、談談本節(jié)的疑惑。

6.作業(yè)：

P42習題1

教學后記：

23.3實踐與探索（二）

教學目的：

1、使學生運用一元二次方程的知識處理實際問題，學會將實際問題轉化為數學模型。

2、讓學生經歷由實際問題轉化為數學模型的過程，領悟數學建模思想，體會怎樣尋找實際

問題中等量關系來建立一元二次方程。

3、通過合作交流深入感知方程的應用價值，培養(yǎng)學生日勺創(chuàng)新意識和實踐能力，通過交流互

動，逐漸培養(yǎng)合作的意識及嚴謹日勺治學精神。

重點難點：

I、重點：列一元二次方程處理實際問題。

2、難點：尋找實際問題中的相等關系。

教學過程：

1.設疑自探

1、有一種兩位數，它的十位上的數學字比個位上的數字大3,這兩個數位上的數字之積等

2

于這兩位數的,，求這個兩位數。（這個兩位數是63）

2、如圖，一種院子長1°。〃，寬8c777,要在它的里沿三邊辟出寬度相等的花圃，使花圃的

面積等于院子面積的j30%,試求這花圃的寬度。（花圃的寬度為1〃7）

創(chuàng)設問題情境

陽江市市政府考慮在兩年后實現市財政凈收入翻一番，那么這兩年中財政凈收入的平

均年增長率應為多少？

2.解疑合探

1、翻一番，你是怎樣理解日勺？

（翻一番，即為原凈收入口勺2倍，若設原值為I,那么兩年后的值就是2）

2、“平均年增長率"你是怎樣理解日勺。

（“平均年增長率”指的是每一年凈收入增長的百分數是一種相似H勺值。即每年按同

樣的百分數增長，而增長的絕對數是不相似的）

3、獨立思索后，小組交流，討論。

4、展示成果，互相補充。

解：設平均年增長率應為工，依題意，得

（1+4=2

l+x=±V2

%=\/2—14=-\/2—1

%=0.414%=-3.414

9-

由于增長率不能為負數

因此增長率應為414%。

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

（一）根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

（二）檢測

1.若調整計劃，兩年后的財政凈收入值為原值的1.5倍、1.2倍、…，那么兩年中日勺平均年

增長率對應地調整為多少？

又若次年的增長率為第一年的2倍,那么第一年口勺增長率為多少時可以實現市財政凈收入翻

一番？

獨立思索完畢后，與同伴交流，教師分析示范與學生交流。

2、某鋼鐵廠去年1月某種鋼產量為5000噸，3月上升到7200噸，這兩個月平均每月增長

的百分率是多少？

3、某種藥物，本來每盒售價96元，由于兩次降價；目前每盒售價54元。平均每次降價百

分之幾？

5.小結：

談談你對本節(jié)所探討的I知識有何體會，你能否結合你歐I體會編制一道應用題，在小組內交流。

請某些小組展示成果。

6.作業(yè)：

P42習題2、3、4、5

教學后記；

23.3實踐與探索（三）

教學目的:

1、引導學生在已經有口勺一元二次方程解法H勺基礎上，探索出一元二次方程根與系數的關系,

及其此關系的運用。

2、通過觀測、實踐、討論等活動，經歷從發(fā)現問題，發(fā)現關系日勺過程。

3、在積極參與數學活動口勺過程中，初步體驗發(fā)現問題，總結規(guī)律的態(tài)度以及養(yǎng)成質疑和獨

立思索的習慣。

重點難點：

1、重點：啟發(fā)學生，觀測數字系數的一元二次方程的兩個根之和，及兩個根之積與原方程

系數之間的關系，猜測一般性質、指導學生用求根公式加以確證。

2、難點：對根與系數這一性質進行應用。

教學過程：

1.設疑自探

解下列方程，將得到的解填入下面的J表格中，你發(fā)現表格中兩個解日勺和與積和本來的方程有

什么聯絡？

(1)X2—2x=0；(2)x2+3x—4=0；(3)x2—5x+6=0

方程+/2

XIX2x\-x2

2.解疑合探

1、完畢如上表格。

2、猜測一元二次方程的兩個解的和與積和本來H勺方程有什么聯絡？小組交流。

同學各抒已見后，老師總結：兩個根口勺和等于一元二次方程的一次項系數H勺相反數，兩個根

的積等于一元二次方程的常數項。

3、一般地，對于有關x方程V+X+夕=°（〃應為己知常數，〃2-4920）,試用求根公

式求出它日勺兩個解xl、x2,算一算xl+x2、xl?x2的值，你能得出什么成果？與上面發(fā)現

的現象與否一致。

h2-4ac=p2-4q

一〃±J〃，4q

-P+Jp2_4q「P7P2-4q

---

2■2

P+Jp2-4g-p-_（-P）2+（卜-4q）2

3=22=4

因此與上面猜測的結論一致。

知識應用

1、范例：

（1）不解方程，求方程兩根的I和兩根的積：

@x2+3x-l=0（g）2x2-4X+1=0

解：①M+七二-3=

②芭+W=2%.龍2="2

（2）已知方程5/+丘-6=（）的一.種根是2,求它的另一種根及％的值。

（3）不解方程，求一元二次方程2丁+3工-1=（）兩個根的①平方和；②倒數和。

-3-,2-

（4）求一元二次方程，使它的兩個根是3'2。

解：所求方程是

d-（-3!+2/+（-33X（23=0

3232

525八

X-2+-X---=0,

即63或6x+5%-50=0

3.質疑再探

學完本節(jié)課，你尚有什么疑問？

4.運用拓展

（一）根據本節(jié)學習內容，自編習題

請你來當小老師，編一道題，考考同桌！

（二）檢測

（1）下列方程兩根附和與兩根的枳各是多少？

@x2-3x+l=0.（2）3x2-2x=2.@2x2+3x=0.④3x?=l；

（2）已知方程3寸-19工+根二°|向一種根是i,求它的另一種根及〃71］勺值。

（3）設禮電是方程2/+4%-3二°的兩個根，不解方程，求下列各式的值。

三十五

①（芯+1）*2+1）；②EX?

（4）求一種一元次方程，使它的兩個根分別為：

①4-7；②1+6,1-G

（5）已知兩個數的和等于一6,積等于2,求這兩個數

5.小結：

本節(jié)通過探索得出一元二次方程口勺解與系數存在的關系“并能靈活地用其處理措施處理某些

問題。

6.作業(yè)?P42習題6

教學后記:

第24章圖形的相似

24.1相似的（圖形

【教學目的】

一、知識目的

通過生活中H勺實例讓學生經歷、觀測、操作、欣賞認識圖形的相似，探索它

口勺基本特性，理解“充應線段成比例但不?定相等，對應角相等”等基本性質

二、能力目的

1.能根據移動兩個相似日勺圖形精確的找出對應角、對應線段.

2.能根據規(guī)定作出簡樸H勺平面圖形的相似圖形.

三、情感態(tài)度目的

學生通過經歷、觀測、操作、欣賞，感受圖形的相似，讓學生自己去體會生

活中的相似，從而理解相似的概念，探索它的基本特性.學會在實踐中發(fā)現規(guī)律.

【重點難點】

重點：相似的基本特性是形狀相似。

難點：找出相似圖形平移的對應角與對應邊。

【教學設想】

課型：新授課

教學思緒：：觀測情境圖入手（激發(fā)學生的學習愛好，初步理解本章內容：探究

相似的圖形日勺特性與性質，并運用相似日勺性質處理實際生活中的某些問題）一觀

看生活實例（比例不一樣H勺兩張植物照片，