高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修二）第03講412指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像提升版

4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像（拔高版）TOC\o"13"\h\z\u題型1指數(shù)（指數(shù)型復(fù)合）函數(shù)的值域 ③弄清最終結(jié)果取并還是交.【例題7】（2023上·四川成都·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)fx=2?ax+2,x<1,aA．32,2 B．2,4 C．32【答案】A【分析】由分段函數(shù)在R上為增函數(shù)的性質(zhì)列式可求得結(jié)果.【詳解】因為fx是在R上的增函數(shù)，所以2?a>0故選：A.【變式71】1.（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2?aA．1,2 B．1,2 C．0,54 【答案】D【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】由題意2?a>0a>12?a+12≤a故選：D【變式71】2.（2022上·新疆烏魯木齊·高一新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)fx=3?aA．1,3 B．2,3 C．73,3 【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的形式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可列式求解.【詳解】因為函數(shù)fx在R上是增函數(shù)，所以y=3?ax?3且在x=6時，滿足3?a×6?3≤所以3?a>0a>163?a故選：D【變式71】3．(多選)（2023上·廣西玉林·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)fxA．13 B．3 C．14【答案】AC【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.【詳解】因為函數(shù)fx是R上的增函數(shù)，則解得0<a<1a<12結(jié)合選項可知：實數(shù)a的值可以是13或1故選：AC．【變式71】4.（2023上·上?！じ咭恍？计谥校┮阎瘮?shù)fx=a?2x+2,x≤2a【答案】a≥3【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，判斷兩段函數(shù)的單調(diào)性以及分界點處的函數(shù)值情況，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】∵fx是R∴fx需滿足a?2>0a>1故答案為：a≥3【變式71】5.（2022上·新疆昌吉·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx=?x2?2x+a,x≤?12x?3,x>?1.(1)若a=4時，求ff(2)若a=4時，且fx=1，求(3)若fx在R上是增函數(shù)，求a【答案】(1)?1；(2)?3或2；(3)a≤?7【分析】（1）根據(jù)解析式，將自變量代入求函數(shù)值；（2）討論a=4,x≤?1、a=4,x>?1，結(jié)合fx（3）由分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由f?3=?9+6+4=1，則（2）當(dāng)a=4,x≤?1時，fx=?x當(dāng)a=4,x>?1時，fx=2綜上x的值是?3或2；（3）由解析式知：fx在?∞,?1要使fx在R上是增函數(shù)，則?(?1)2題型8與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的恒成立與存在性有解問題【方法總結(jié)】恒成立和存在性問題類型（1）單變量的恒成立問題①?x∈D，f（x）<a恒成立，則f（x）max<a②?x∈D，f（x）>a恒成立，則f（x）min>a③?x∈D，f（x）<g（x）恒成立，則F（x）=f（x）g（x）<0，∴F（x）max<0④?x∈D，f（x）>g（x）恒成立，則F（x）=f（x）g（x）>0，∴F（x）min>0（2）單變量的存在性問題①?xo∈D，使得f（xo）<a成立，則f（x）min<a②?xo∈D，使得f（xo）>a成立，則f（x）max>a③?xo∈D，使得f（xo）<g（xo）恒成立，則F（x）=f（x）g（x）<0，∴F（x）min<0④?xo∈D，使得f（xo）>g（xo）恒成立，則F（x）=f（x）g（x）>0，∴F（x）max>0（3）雙變量的恒成立與存在性問題①?x1∈D，?x2∈E，使得f（x1）<g（x2）恒成立，則f（x）max<g（x）max；②?x1∈D，?x2∈E，使得f（x1）>g（x2）恒成立，則f（x）min>g（x）min；③?x1∈D，?x2∈E，f（x1）<g（x2）恒成立，則f（x）max<g（x）min；④?x1∈D，?x2∈E，使得f（x1）<g（x2）恒成立，則f（x）min<g（x）max.（4）相等問題①?x1∈D，?x2∈E，使得f（x1）=g（x2），則兩個函數(shù)的值域的交集不為空集；②?x1∈D，?x2∈E，使得f（x1）=g（x2），則f（x）的值域?g（x）的值域.【例題81】（2021·上海市建平中學(xué)高一期中）不等式2x?a【答案】a【分析】由題設(shè)知a≤2x【詳解】由題設(shè)，a≤2x對任意x所以a≤0.故答案為：【變式81】1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)不等式4x?m4x【答案】(?∞,【分析】參變分離可得m≤11+【詳解】解：由4x?m4x∵x∈0,1，∴∴11+12x+【變式81】2．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知m2?m2x【答案】?2,3【分析】m2?m2x?12x≤1對任意x∈【詳解】依題意，m2?mm2?m≤1令t=12x∈∴m2?m≤6，解得?2≤m≤3，∴【變式81】3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)fx=2(1)求a的值；(2)求函數(shù)fx(3)當(dāng)x∈1,2時，【答案】(1)a=2(2)?1,1(3)【分析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)f(0)=0求解a（2）利用指數(shù)函數(shù)的值域以及不等式的性質(zhì)求解即可．（3）利用函數(shù)恒成立，參變分離，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解最大值，推出結(jié)果即可．（1）因為fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以f0=當(dāng)a=2時，fx=2x?12所以a=2（2）由（1）可得fx=2x?12x所以?2<?22x+1<0，所以?1<1?（3）由2+mfx?2x>0可得mfx>2x?2，即m?2x?12x+1>【例題82】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若存在正數(shù)x，使得關(guān)于x的不等式3xA．[3,+∞) B．[?1,+∞) C．(?1,+∞) D．(0,+∞)【答案】C【分析】問題轉(zhuǎn)化為a>x?【詳解】由題意知x?a<(13)x成立，即a>x?(1【變式82】1．（2022·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)fx=1921x2?2021x?1949x【答案】1949,2049【分析】分析可得fx在1949,+∞上遞增，再將原問題轉(zhuǎn)換為f【詳解】二次函數(shù)y=1921x2?2021x在區(qū)間20212×1921，+∞上遞增，反比例函數(shù)y=?1949x在0，+∞上增函數(shù)，指數(shù)函數(shù)y=2049x在R上遞增，綜上函數(shù)fx在1949,+∞上遞增，又原問題等價于：所以，m的取值范圍是1949,2049．故答案為：1949,2049【變式82】2．（2018·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室高一期末）已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)fx有最小正周期2，且當(dāng)x∈0,1(1)求函數(shù)fx在?1,1(2)判斷fx在0,1(3)當(dāng)λ取何值時，方程fx=λ【答案】(1)fx=?2x4【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的奇偶性求得正確答案.（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.（3）求得fx在區(qū)間0,1（1）依題意，fx是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，所以f0=0，當(dāng)x∈?1,0（2）當(dāng)x∈0,1時，f(x)=2x4x+1，fx在0,1上為減函數(shù)，證明如下：任取0<x1（3）由（2）可知fx在0,1上為減函數(shù)，所以2141+1<f(x【變式82】3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知a>0且a≠1，函數(shù)fx(1)求f（(2)若對于任意x1∈?1,1，總存在x0∈(3)若對于任意x0∈?1,1，任意x1∈【答案】(1)函數(shù)的遞增區(qū)間為0，1，遞減區(qū)間為－1，0，2，a+1a【分析】（1）先判斷函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可求f(（2）若對于任意x1∈－1，1，總存在x0∈－1，1，使得g(（3）若對于任意x0∈－1，1，任意x1∈－1，1，都有(1)∵fx=ax設(shè)t=ax，則函數(shù)f（x）等價為y=t+1t若a>1，當(dāng)0≤x若0<a<1，當(dāng)0≤x≤1時，t=ax單調(diào)遞減，且0<t≤1，此時函數(shù)y∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)－1≤x≤0∴函數(shù)的值域為[2，a(2)∵a>0且a≠1，∴∴函數(shù)g(x)在x∈?1，1即4－2a≤g(x)≤4+2a，若對于任意x1∈?1，1，總存在x0∈?1，1∵a>0且a≠1，∴a>1(3)若對于任意x0∈－1，1，任意x即gxmin≥fxmax則4－2a≥a+【變式82】4．（202