高三數(shù)學章末綜合測試題

2013屆高三數(shù)學章末綜合測試題（8）數(shù)列一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．已知{an}為等差數(shù)列，若a3＋a4＋a8＝9，則S9＝()

A．24B．27

C．15D．54

2＝9a5＝27.a1＋a9解析B由a3＋a4＋a8＝9，得3(a1＋4d)＝9，即a5＝3.則S9＝9

2．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－13a11的值為()

A．14B．15

C．16D．17

解析C∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－13a11＝(a8＋d)

－13(a8＋3d)＝23a8＝16.

3．已知{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn表示{an}的前n項的和，若a1＝3，a2a4＝144，則S5的值是()

A.692B．69

C．93D．189

解析C由a2a4＝a23＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，又a1＝3，各項均為正數(shù)，則

1－2＝93.1－321－q＝3×1－q5q＝2.所以S5＝a1

4．在數(shù)列1,2，7，10，13，4，…中，219是這個數(shù)列的第幾項()

A．16B．24

C．26D．28

解析C因為a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，a6＝4＝16，…，

所以an＝3n－2.令an＝3n－2＝219＝76，得n＝26.故選C.

5．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，若S13<0，S12>0，則在數(shù)列中絕對值最小的項為()

A．第5項B．第6項

C．第7項D．第8項解析C∵S13<0，∴a1＋a13＝2a7<0，又S12>0，

∴a1＋a12＝a6＋a7>0，∴a6>0，且|a6|>|a7|.故選C.

2－1的值為()n＋16.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1

n＋2A.n＋12n＋2B.34－n＋12

C.34－121n＋1＋1n＋2D.32－1n＋1＋1n＋2

＝121n－1n＋2，n＋22－1＝1n2＋2n＝1nn＋1解析C∵1

∴Sn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2

＝1232－1n＋1－1n＋2＝34－121n＋1＋1n＋2.

7．正項等比數(shù)列{an}中，若log2(a2a98)＝4，則a40a60等于()

A．－16B．10

C．16D．256

解析C由log2(a2a98)＝4，得a2a98＝24＝16，

則a40a60＝a2a98＝16.

8．設f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，則f(n)＝()

A.27(8n－1)B.27(8n＋1－1)

C.27(8n＋3－1)D.27(8n＋4－1)

n＋4]1－23＝27(8n＋4－1)．23解析D∵數(shù)列1,4,7,10，…，3n＋10共有n＋4項，∴f(n)＝2[1－

9．△ABC中，tanA是以－4為第三項，－1為第七項的等差數(shù)列的公差，tanB是以12為

第三項，4為第六項的等比數(shù)列的公比，則該三角形的形狀是()

A．鈍角三角形B．銳角三角形

C．等腰直角三角形D．以上均錯

7－3＝34＞0.－4解析B由題意知，tanA＝－1－

又∵tan3B＝412＝8，∴tanB＝2＞0，∴A、B均為銳角．

又∵tan(A＋B)＝34＋21－34×2＝－112＜0，∴A＋B為鈍角，即C為銳角，

∴△ABC為銳角三角形．

10．在等差數(shù)列{an}中，前n項和為Sn＝nm，前m項和Sm＝mn，其中m≠n，則Sm＋n的值()

A．大于4B．等于4

C．小于4D．大于2且小于4

解析A由題意可設Sk＝ak2＋bk(其中k為正整數(shù))，

則an2＋bn＝nm，am2＋bm＝mn，解得a＝1mn，b＝0，∴Sk＝k2mn，

2mnm＋n∴Sm＋n＝>4mnmn＝4.

11．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n＝1，2,3，…)，若當首項a1

和公差d變化時，a5＋a8＋a11是一個定值，則下列選項中為定值的是()

A．S17B．S18

C．S15D．S14

解析C由a5＋a8＋a11＝3a1＋21d＝3(a1＋7d)＝3a8是定值，可知a8是定值．所以

2＝15a8是定值．a(chǎn)1＋a15S15＝15

，其前n項和為910，則在平面直角坐標系中，直線n＋112．數(shù)列{an}的通項公式an＝1n

(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為()

A．－10B．－9

C．10D．9

解析B∵an＝1n－1n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1，

由nn＋1＝910，得n＝9，∴直線方程為10x＋y＋9＝0，其在y軸上的截距為－9.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)[

13．設Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和，且a1＝1，a4＝7，則S5＝________.

解析∵a1＝1，a4＝7，∴d＝7－14－1＝2.

2d＝5×1＋5×42×2＝25.5－1∴S5＝5a1＋5×

【答案】25

14．若數(shù)列{an}滿足關系a1＝3，an＋1＝2an＋1，則該數(shù)列的通項公式為________．

解析∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，

∴數(shù)列{an＋1}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，

∴an＋1＝4?2n－1，∴an＝2n＋1－1.

【答案】an＝2n＋1－1

15．(2011?北京高考)在等比數(shù)列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，則公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.

解析∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，

∴a4＝12?q3＝－4，q＝－2；an＝12?(－2)n－1，|an|＝12?2n－1，

1－2＝－12＋12?2n＝2n－1－12.1－2n由等比數(shù)列前n項和公式得|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝12

【答案】－22n－1－12

16．給定：an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定義使a1?a2?…?ak為整數(shù)的數(shù)k(k∈N*)叫做數(shù)列{an}的“企盼數(shù)”，則區(qū)間[1,2013]內(nèi)所有“企盼數(shù)”的和M＝________.

解析設a1?a2?…?ak＝log23?log34?…?logk(k＋1)?logk＋1(k＋2)＝log2(k＋2)為整數(shù)m，

則k＋2＝2m，

∴k＝2m－2.

又1≤k≤2013，

∴1≤2m－2≤2013，

∴2≤m≤10.

∴區(qū)間[1,2013]內(nèi)所有“企盼數(shù)”的和為

M＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)

＝(22＋23＋…＋210)－18

1－2－181－29＝22×

＝2026.

【答案】2026

三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17．(10分)已知等差數(shù)列{an}的前三項為a,4,3a，前k項的和Sk＝2550，求通項公式an及k的值．

解析法一：由題意知，

a1＝a，a2＝4，a3＝3a，Sk＝2550.

∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

∴a＋3a＝2×4，

∴a1＝a＝2，公差d＝a2－a1＝2，

∴an＝2＋2(n－1)＝2n.

2?d，k－1又∵Sk＝ka1＋k

2?2＝2550，整理，k－1即k?2＋k

得k2＋k－2550＝0，

解得k1＝50，k2＝－51(舍去)，

∴an＝2n，k＝50.

法二：由法一，得a1＝a＝2，d＝2，

∴an＝2＋2(n－1)＝2n，

2＝n2＋n.2＋2n2＝na1＋an∴Sn＝n

又∵Sk＝2550，

∴k2＋k＝2550，

即k2＋k－2550＝0，

解得k＝50(k＝－51舍去)．

∴an＝2n，k＝50.

18．(12分)(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n，求數(shù)列{an}的通項公式；新課標

(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3＋2n，求an.

解析(1)n＝1時，a1＝S1＝1.

當n≥2時，

an＝Sn－Sn－1

＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)

＝6n－5，

因為a1也適合上式，

所以通項公式為an＝6n－5.

(2)當n＝1時，a1＝S1＝3＋2＝5.

當n≥2時，

an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.

因為n＝1時，不符合an＝2n－1，

所以數(shù)列{an}的通項公式為

an＝5，n＝1，2n－1，n≥2.

19．(12分)有10臺型號相同的聯(lián)合收割機，收割一片土地上的莊稼．若同時投入至收割完畢需用24小時，但現(xiàn)在它們是每隔相同的時間依次投入工作的，每一臺投入工作后都一直工作到莊稼收割完畢．如果第一臺收割機工作的時間是最后一臺的5倍．求用這種收割方法收割完這片土地上的莊稼需用多長時間？

解析設從第一臺投入工作起，這10臺收割機工作的時間依次為a1，a2，a3，…，a10小時，依題意，{an}組成一個等差數(shù)列，每臺收割機每小時工作效率是1240，且有

a1240＋a2240＋…＋a10240＝1，①a1＝5a10，②

由①得，a1＋a2＋…＋a10＝240.

∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

×102＝240，即a1＋a10＝48.③a1＋a10∴

將②③聯(lián)立，解得a1＝40(小時)，即用這種方法收割完這片土地上的莊稼共需40小時．

20．(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1.

(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式；

(3)設3nbn＝n(3n－an)，求|b1|＋|b2|＋…＋|bn|.

解析(1)∵an＋1＝an＋6an－1，

∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)．

又a1＝5，a2＝5，

∴a2＋2a1＝15，

∴an＋an＋1≠0，

∴an＋1＋2anan＋2an－1＝3，

∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，

3為公比的等比數(shù)列．

(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，

即an＋1＝－2an＋5×3n，

∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．

又∵a1－3＝2，

∴an－3n≠0，

∴{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列．

∴an－3n＝2×(－2)n－1，

即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．

(3)由(2)及3nbn＝n(3n－an)，可得

3nbn＝－n(an－3n)＝－n[2×(－2)n－1]＝n(－2)n，

∴bn＝n－23n，

∴|bn|＝n23n.

∴Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|

＝23＋2×232＋…＋n×23n，①

①×23，得

23Tn＝232＋2×233＋…＋(n－1)×23n＋n×23n＋1，②

①－②得

13Tn＝23＋232＋…＋23n－n×23n＋1

＝2－3×23n＋1－n23n＋1

＝2－(n＋3)23n＋1，

∴Tn＝6－2(n＋3)23n.

21．(12分)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)?f(y)且f(1)＝12.

(1)當n∈N*時，求f(n)的表達式；

(2)設an＝n?f(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；

，n∈N*，Sn為{bn}的前n項和，當Sn最大時，求n的值．nfn＋1(3)設bn＝(9－n)f

解析(1)令x＝n，y＝1，

得f(n＋1)＝f(n)?f(1)＝12f(n)，

∴{f(n)}是首項為12，公比為12的等比數(shù)列，

即f(n)＝12n.

(2)設Tn為{an}的前n項和，

∵an＝n?f(n)＝n?12n，

∴Tn＝12＋2×122＋3×123＋…＋n×12n，

12Tn＝122＋2×123＋3×124＋…＋(n－1)×12n＋n×12n＋1，

兩式相減得

12Tn＝12＋122＋…＋12n－n×12n＋1，

整理，得Tn＝2－12n－1－n×12n<2.

(3)∵f(n)＝12n，

nfn＋1∴bn＝(9－n)f

＝(9－n)12n＋112n＝9－n2，

∴當n≤8時，bn>0；當n＝9時，bn＝0；

當n>9時，bn<0.

∴當n＝8或9時，Sn取到最大值．

22．(12分)設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3(n∈N*)．

(1)求數(shù)列{an}的通項；

(2)設bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

解析(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…