2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營第7節(jié)-解三角形應(yīng)用舉例

第四單元第7節(jié)解三角形應(yīng)用舉例2023屆1《高考特訓(xùn)營》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識方法解決一些與測量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題1.解三角形的實(shí)際應(yīng)用數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2.正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用3.解三角形的綜合應(yīng)用0102知識特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識特訓(xùn)知識必記拓展鏈接對點(diǎn)訓(xùn)練測量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫作仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫作俯角

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫作方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α

(2)南偏西α

[注意]

1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混．2．解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問題，關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解．[數(shù)學(xué)生活]解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用1．應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟．(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中到一個(gè)三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求得的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解．2．解決解三角形實(shí)際問題時(shí)，要注意正、余弦定理、三角變換、幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用，體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)越性．3．在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．【例】如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝________．

D

【易錯點(diǎn)撥】本題中直線AB與底面垂直，不要誤認(rèn)為AB和平面BCD在同一個(gè)平面．

A

3.[模擬演練](2022·黑龍江模擬)小李在某大學(xué)測繪專業(yè)學(xué)習(xí)，節(jié)日回家，來到村頭的一個(gè)池塘(如圖中陰影部分所示)，為了測量該池塘兩側(cè)C，D兩點(diǎn)間的距離，除了觀測點(diǎn)C，D外，他又選了兩個(gè)觀測點(diǎn)P1，P2，且P1P2＝a，已經(jīng)測得兩個(gè)角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于條件不足，需要再觀測新的角，則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C，D間的距離是(

)①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；③∠P1DC和∠DCP1.A．①和② B．①和③C．②和③ D．①和②和③D

B

02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3考向1測量距離問題典例1

如圖，某旅游景點(diǎn)有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個(gè)小時(shí)的時(shí)間進(jìn)行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時(shí)1250m，請問：兩位登山愛好者能否在2個(gè)小時(shí)內(nèi)徒步登上山峰？(即從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)C點(diǎn))特訓(xùn)點(diǎn)1解三角形的實(shí)際應(yīng)用【多維考向類】[解題指導(dǎo)]在△ABD中，由正弦定理先求出AD的長→在△ACD中，根據(jù)余弦定理求出CD的長→然后比較判定．

◎思維發(fā)散◎(變條件)若將本例條件“BD＝1km，AC＝3km”變?yōu)椤癇D＝200m，CD＝300m”，其他條件不變，求這條索道AC的長．解：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.因?yàn)椤螦DB＝30°，所以∠DAB＝30°.

距離問題的解題思路這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理．在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．[提醒]①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；②選取的三角形及正弦、余弦定理要恰當(dāng)．考向2測量高度問題典例2如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.[解題指導(dǎo)]本題遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題→先畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形、一個(gè)平面圖形→結(jié)合該圖形運(yùn)用正弦定理和直角三角形知識求解．解決高度問題的注意事項(xiàng)(1)在解決有關(guān)高度問題時(shí)，理解仰角、俯角是關(guān)鍵．(2)高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成解三角形問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用．若是空間的問題要注意空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化．[解題指導(dǎo)]先設(shè)出緝私艇在C處截住走私船→構(gòu)造出三角形→結(jié)合正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解．解：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC＝0.5x，AC＝5，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.

解決角度問題的注意事項(xiàng)(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．(2)方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．

特訓(xùn)點(diǎn)2正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【師生共研類】[解題指導(dǎo)](1)利用余弦定理求出BC→利用面積公式求解；(2)求出sin∠DAC，sin∠ACD→利用正弦定理求出AD→求出cos∠BAD→利用余弦定理求出BD.

與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計(jì)算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系．具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果．(2022·山西省太原市模擬)已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C，的對邊分別為a，b，c.且acos

B＋bcos

A＝2ccosC.(1)求角C；解：(1)acos

B＋bcos

A＝2ccosC，由正弦定理得sinAcos

B＋cosAsin

B＝2sinCcos

C，則sin(A＋B)＝2sinCcos

C，A＋B＋C＝π，

(1)求B的大小；(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求出BC邊上的中線的長度．特訓(xùn)點(diǎn)3解三角形的綜合應(yīng)用【師生共研類】[解題指導(dǎo)](1