9年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)北師大版第1單元復(fù)習(xí)教案

第1單元特殊平行四邊形

復(fù)習(xí)教案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解菱形、矩形、正方形的概念.

2.掌握菱形、矩形、正方形的性質(zhì)定理及判定定理.

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

一組鄰邊相等、/一個(gè)角是近角

菱形

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、菱形

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

2.性質(zhì)：

(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

(2)四條邊相等；

(3)兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條龍角線平分一組對(duì)角;

(4)中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.

A,----------

O

BC

3.面積：S菱形=底［高=對(duì)角線：對(duì)角線

4.判定：

（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

（3）四邊相等的四邊形是菱形.

要點(diǎn)二、矩形

1.定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.性質(zhì)：

（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

（2）四個(gè)角都是直角；

（3）對(duì)角線互相平分且相等；

（4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.

3.面積：S矩形=長(zhǎng)、寬

4.判定：

（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

要點(diǎn)詮釋：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：

（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

（2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等7斜邊的一半.

要點(diǎn)三、正方形

1.定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.

2.性質(zhì):

（1）對(duì)邊平行；

（2）四個(gè)角都是直角；

（3）四條邊都相等；

（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分布角；

（5）兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；

（6）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.

3.面積：S正方形二邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)=；X對(duì)角線X對(duì)角線

4.判定：

（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；

（2）組鄰邊相等的題形是正方形；

（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；

（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；

要點(diǎn)四、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀

（1）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.

（2）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.

（3）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.

（4）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.

要點(diǎn)詮釋，新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連援而成.

（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形.

（2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形.

（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.

【典型例題】

類型一、菱形的性質(zhì)與判定

▼1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是()

A.對(duì)角相等B.對(duì)邊相等C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角線相等

@2、下列說(shuō)法中正確的是()

A、有兩邊相等的平行四邊形是菱形

B、兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C、兩條對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是菱形

D、四個(gè)角相等的四邊形是菱形

C3.如圖，在菱形ABCD中，力廬6,/力陟30°,則菱形ABCD的面積

是.

C^4.如圖，在菱形ABCD中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E,F分別是邊BC,AD的中點(diǎn).

(1)求證：AABE^ACDF：

(2)若NB=60°,AB=4,求線段AE的長(zhǎng).

1^F5.如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°,BD=BC,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),

射線BE交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CF.

(1)求證：四邊形BCFD是菱形；

(2)若AD=1,BC=2,求BF的長(zhǎng).

D

求證：四邊形BEDF為菱形。

舉一反三:

【變式1】菱形的周長(zhǎng)為32cm,一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是60°,則兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別

是（）

A.8cm和46cmB.4cm和8gemC.8cm和8且cmD.4cm和4j3cm

【變式2】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,AC=8,BD=6,0E

±BC,垂足為點(diǎn)E,則OE=

【變式3】如圖所示，AD是aABC的角平分線，EF垂直平分AD,分別交AB于E,

交AC于F,則四邊形AEDF是菱形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

A

E

BDC

【變式4】如圖，由兩個(gè)等寬的矩形疊合而得到四邊形4成刀.試判斷四邊形，仍⑦

的形狀并證明

【變式5】如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)0作直線MN〃BC,

設(shè)MN交NACB的平分線于點(diǎn)E,交4ABC的外角NACD的平分線于點(diǎn)F.

(1)探究線段0E與OF的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

⑵當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到何處，且AABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？請(qǐng)說(shuō)

明理由.

⑶當(dāng)點(diǎn)0在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE是菱形(填“可能”或“不可

能”).請(qǐng)說(shuō)明理由.

BCD

類型二、矩形的性質(zhì)與判定

01.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

B.AC=BDC.AC1BDD.OA=OC

02.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角相等B.木邊相等C.對(duì)角線相等D.對(duì)角線互相平分

0>3.矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)0,ZA0B=60°,AB=2,則BC的長(zhǎng)是（）

A.2B.4C.2^3D.4小

4.在4ABC中，NC=90°,AC=5,BC=3,則AB邊上的中線CD=.

.如圖，在矩形ABCD中，連接對(duì)角線AC,BD,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E,使BOCE,

連接DE.求證：DE=AC.

CA.如圖，菱形AECD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,且DE〃AC,AE/7BD.求

證：四邊形A0DE是矩形.

?’7、如圖，在AABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC

的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F,且AF=BD,連接BF.

（1）求證：D是BC的中點(diǎn).

（2）如果AB=AC,試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.

RD

?已知：如圖，菱形ABCD,分別延長(zhǎng)AB,CB到點(diǎn)F,E,使得BF=BA,BE=BC,

連接AE,EF,FC,CA.

(1)求證：四邊形AEFC為矩形;

(2)連接DE交AB于點(diǎn)0,如果DE_LAB,AB=4,求DE的長(zhǎng).

舉一反三：

【變式1］矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是()

A.對(duì)角線相等B.兩組對(duì)邊分別平行C.對(duì)角線互相平分D.兩組對(duì)

角分別相等

【變式2】如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)H為AD邊中點(diǎn),

菱形ABCD的周長(zhǎng)為28,則0H的長(zhǎng)等于()

A.3.5B.4C.7D.14

【變式3］矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為2加,兩條鄰邊之比是2:3,則矩形的周長(zhǎng)是

【變式4】如圖，RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)P為AB邊上任一

點(diǎn)，過(guò)P分別作PE1AC于E,PF1BC于F,則線段EF的最小值是

【變式5】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F在BD上,BE=DF.

(1)求證：AE=CF；

(2)若AB=6,ZC0D=60°,求矩形ABCD的面積.

【變式6】如圖，己知在四邊形ABe中，交于O,E、F,G、H分

別是四邊的中點(diǎn)，求證四邊形EEG”是矩形.

【變式7】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片.把

紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊上，折痕為

AF.且AB=10cm、AD=8cm^DE=6cm.

(1)求證：平行四邊形ABCD是矩形;

(2)求BF的長(zhǎng);

(3)求折痕AF長(zhǎng).

【變式8】已知：如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,已知。是AC

的中點(diǎn),AE=CF,DF//BE.

（1）求證：aBOE絲ZXD0F；

類型三、正方形的性質(zhì)與判定

。1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形共有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線相等B.對(duì)角線互相平分

C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)角形互相垂直平分

02.已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）

A.當(dāng)AB二BC時(shí)，四邊形ABCD是菱形

B.當(dāng)AC_LBD時(shí)，四邊形ABCD是菱形

C.當(dāng)NABC=90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形

D.當(dāng)AOBD時(shí)、四邊形ABCD是正方形

03.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,添加下列一個(gè)條件,

能使菱形ABCD成為正方形的是（)

A.BD=ABB.AC=ADC.NABO90。D.OD=AC

C4、如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，AB=2BC,分別以AB,BC為邊做

正方形ABEF和正方形BCMN連接FN,EC.求證：FN=EC.

C5、如圖所示，在RtZXABC中，ZC=90°,ZBAC>NABC的平分線相交于

點(diǎn)D,且DE_LBC于點(diǎn)E,DF_LAC于點(diǎn)F,那么四邊形CEDF是正方形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理

由.

B

舉一反三:

【變式1］如圖,在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE,AC,BE相交于點(diǎn)F,

則/BFC為（)

A.75°B.60°C.55°D.45°

【變式2】如圖，三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，01、。2是其中兩個(gè)正方

形的中心，則陰影部分的面積是_______.

【變式3】有3個(gè)正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次為Si、S2,則SK

S2等于()

【變式4】如圖，在四邊形ABCD中，AB二BC,對(duì)角線BD平分NABC,P是BD上一點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)P作PM_LAD,PN_LCD,垂足分別為M、N.求證：/ADB二NCDB；(2)若NADC=90°,

求證：四邊形MPND是正方形.

【變式5】如圖：在RtAABC44,ZACB=90°,過(guò)點(diǎn)C的直線MN〃AB,D為AB

上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE_BC,交直線MN于點(diǎn)E,垂足為F,連結(jié)CD,BE,

(1)當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由

(2)在(1)的條件下，當(dāng)NA二時(shí)四邊形BECD是正方形.

N

類型四、綜合應(yīng)用

?’8、如圖所示，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、

HE,則四邊形EFGH為形.

(1)當(dāng)四邊形滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形.

(2)當(dāng)四邊形滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形.

(3)當(dāng)四邊形滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形.

在橫線上填上合適的條件，并說(shuō)明你所填條件的合理性.

舉一反三:

【變式】若順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，得到的圖形是一個(gè)矩形，則四邊

形ABCD一定是()

A.矩形B.菱形C.對(duì)角線相等的四邊形D.對(duì)角線互相垂直的四邊形

【課后作業(yè)】

一.選擇題

1.在下列命題中，是真命題的是()

A.兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形

B.兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

D,兩條對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

2.下列說(shuō)法中正確的是（）

A,對(duì)角線相等的四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.平行四邊形的對(duì)角線平分?組對(duì)角

D.矩形的對(duì)角線相等且互相平分

3.在四邊形ABCD中，AC、BD相交于0,能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（）

A.A0;B0=C0=DO,AC1BDB.AB/7CD,AOBD

C.A0=BO,ZA=ZCD.AO=CO,BO=DO,AB=BC

4.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.四條邊相等B.對(duì)角線互相垂直平分

C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線相等

5.菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為60cm和80cm,那么邊長(zhǎng)是（）

A.60cmB.50cmC.40cmD.80cm

6.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH_LAB于H,則DH等于（）

A

A.區(qū)B.A2C.5D.4

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7.如圖，在菱形ABCD中，NADO72。，AD的垂直平分線交對(duì)角線BD于點(diǎn)P,

垂足為E,連接CP,則NCPB的度數(shù)是（）

D

A.108°B.72°C.90°D.100°

8.若矩形對(duì)角線相交所成鈍角為120。，短邊長(zhǎng)3.6c〃z,則對(duì)角線的長(zhǎng)為（）.

A.3.6cmB.7.2cmC.1.8cmD.14.4cm

9.矩形鄰邊之比3：4,對(duì)角線長(zhǎng)為10cm,則周長(zhǎng)為（）.

A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm

10.已知四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,AD〃BC,下列判斷中錯(cuò)

誤的是（）

A.如果AB=CD,AC=BD,那么四邊形ABCD是矩形

B.如果AB〃CD,AC=BD,那么四邊形ABCD是矩形

C.如果AD=RC,ACJLRD,那么四邊形ARCD是菱形

D.如果0A=OC,AC±BD,那么四邊形ABCD是菱形

n.順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

12.如圖,在周長(zhǎng)為12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),

則EP+FP的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

13.如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別

為5，S2,則S+S2的值為（）

A.16B.17C.18D.19

1.已知菱形的周長(zhǎng)為40c7〃，兩個(gè)相鄰角度數(shù)之比為1：2,則較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)

為cm.

2.如圖，在平面直帶坐標(biāo)系中，菱形0ABe的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8,4）,貝I」C點(diǎn)

的坐標(biāo)為_______.

y個(gè)

G-----7及8,4）

O\Ax

3.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2c,〃?，E是AB中點(diǎn),，且DE_LAB,則菱形ABCD的

而積為______cm2.

D

B

4.如圖，延K矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E,使CE=BD,連結(jié)AE,如果NADB=30’,

則NE二______度.

BCE

5.如圖，RtAABC+,ZC=90°,AC=BC=6,三是斜邊AB上任意一點(diǎn)，作EF

_LAC于F,EG_LBC于G,則矩形CFEG的周長(zhǎng)是

6.如圖，矩形紙片ABCD中，己知AD=8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合,

點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE,且EF=3,則AB的長(zhǎng)為.

7.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,若

不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是

8.如圖.邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住其中一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂

點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是.

9.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為15,AG=CH=12,BG=DH=9,連接GH,則線段GH

的長(zhǎng)為______.

10.如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)0,過(guò)0點(diǎn)作0E_L0F,分別交AB、

BC于E、F,若AE=4,CF=3,則EF等于.

11.如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，PE_LAC于點(diǎn)E,

PF±BD于點(diǎn)F,則PE—PF的值為_________.

12.如圖所示，如果以正方形ABCD的對(duì)角線AC為邊作第二個(gè)正方形ACEF,再以

AE為邊作第三個(gè)正方形AEGM,…已知正方形ABCD的面積$二1,按上述方法所作

的正方形的面積依次為S2,S3,-Sn（n為正整數(shù)）,那么第8個(gè)正方形面積S行.

三.解答題

1.如圖，P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE±DC,PF1BC,E、F分別為垂

足.

(