工程力學簡明教程 課件 8 平面彎曲

1§8–1引言§8–2剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖第八章平面彎曲2§8–1引言1.彎曲變形:直桿在垂直其軸線的外力作用下，桿的軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。受力特點：外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線。變形特點：直桿變成曲桿，橫截面發(fā)生相對轉動。一、彎曲的概念和實例彎曲內力33.工程實例彎曲內力4彎曲內力54.平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內。

對稱彎曲（如下圖）——

平面彎曲的特例縱向對稱面MP1P2q彎曲內力6非對稱彎曲——

若梁不具有縱向對稱面，或者，梁雖具有縱向對稱面但外力并不作用在對稱面內，這種彎曲則統(tǒng)稱為非對稱彎曲。下面幾章中，將以對稱彎曲為主，討論梁的應力和變形計算。P彎曲內力7

梁的支承條件與載荷情況一般都比較復雜，為了便于分析計算，應進行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1.構件本身的簡化通常取梁的軸線來代替梁。2.載荷簡化作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。3.支座簡化集中載荷分布載荷集中力偶Meq二、

受彎桿件的簡化彎曲內力8①固定鉸支座

2個約束，1個自由度。彎曲內力9②可動鉸支座（輥軸支座）

1個約束，2個自由度。彎曲內力10③固定端

3個約束，0個自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA4.梁的三種基本形式①簡支梁M—集中力偶q(x)—分布力②懸臂梁彎曲內力11③外伸梁—集中力Pq—均布力5.靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。彎曲內力12[例1]貯液罐如圖示，試求貯液罐的計算簡圖。解：q—均布力彎曲內力13彎曲內力14PPPPPPPP彎曲內力15§8–2剪力和彎矩剪力圖與彎矩圖一、彎曲內力：彎曲內力[例2]已知：如圖，P，a，l。

求：距A端x處截面上內力。PYAXARBAB解：①求支座約束力PalABx16ABPYARBmmx彎曲內力②求內力——截面法AYAFSMRBPMFS∴彎曲構件內力剪力彎矩1.彎矩：M

構件受彎時，垂直于橫截面的分布內力系的合力偶矩。CC17彎曲內力2.剪力：FS

構件受彎時，切于橫截面的分布內力系的合力。3.內力的正負規(guī)定:①剪力FS:繞研究對象順時針轉為正剪力；反之為負。②彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負彎矩。FS(+)FS(–)FS(–)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)“上壓下拉”為正，反之為負18彎曲內力1.剪力方程和彎矩方程：

內力與截面位置坐標（x）間的函數(shù)關系式。2.剪力圖和彎矩圖：剪力方程)(xMM=彎矩方程剪力圖的圖線表示)(xMM=彎矩圖的圖線表示繪制方法：類似于其他內力圖的畫法，截面法求內力，先設為正二、剪力方程與彎矩方程：19彎曲內力[例4]求下列各圖示梁的內力方程并畫出內力圖。解：（1）求支反力（2）列內力方程（3）畫內力圖20彎曲內力在集中力或者有約束力作用的位置，剪力有突然變化，應作為剪力方程的分界。在集中力偶或者有約束反力偶作用的位置，彎矩有突然變化，應作為彎矩方程的分界。21解：（1）求支反力（2）列內力方程（3）畫內力圖xMql2/8xFSql/2ql/2彎曲內力22彎曲內力解：（1）求支反力

(本題可省略此步)（2）列內力方程（3）畫內力圖xlqABRAMAql2/223彎曲內力解：（1）求支反力（2）列內力方程（3）畫內力圖lABl/2CPl/2PlDRCRAx243.載荷集度、剪力和彎矩的微分關系dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAy剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。

彎曲內力25彎矩與荷載集度的關系是：彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。彎曲內力261.

若q(x)=0，則FS(x)為常量，對應FS圖為平行于x

軸的直線；M(x)是

x的一次函數(shù)，對應M圖為斜直線。幾個重要結論：2.

若q(x)=常數(shù)，則FS(x)是

x的一次函數(shù)，對應FS圖為斜直線；M(x)是

x的二次函數(shù)，對應M圖為拋物線。

若q(x)=常數(shù)>0，即向上作用，則FS圖中斜直線的斜率為正，而M圖中拋物線的開口向上；若q(x)=常數(shù)<0，即向下作用，則FS圖中斜直線的斜率為負，而M圖中拋物線的開口向下。彎曲內力27還不算完哦！3.

M的極值（極大或極?。┌l(fā)生于FS為零的截面上。4.

在集中力作用截面的左右兩側，F(xiàn)S圖有突變，突變值等于此集中力的大小，M圖在此發(fā)生轉折；在集中力偶作用截面的左右兩側，F(xiàn)S圖無變化，M圖有突變，突變值等于此集中力偶的數(shù)值。優(yōu)點：快速、準確、當場可以檢驗！彎曲內力28外力無外力段q=0FS圖特征M圖特征集中力CP集中力偶Cm水平直線xFSC無變化斜直線彎曲內力自左向右突變與m反x

MM1M2FS<0xxFSFS>0FS降函數(shù)xx增函數(shù)MM均布載荷段q>0q<0斜直線增函數(shù)xFSxFS降函數(shù)曲線墳狀xMxM盆狀xFSCFS1FS2FS1–FS2=P自左向右突變自左向右折角xM折向與P反向29二、應用微分關系做內力圖（簡易作圖法）驗證一下！比前一種做內力圖的方法如何？彎曲內力30[例5]

用簡易作圖法畫圖示梁的內力圖。aaqaqA分界約束反力???彎曲內力31aaqaqAqa2–xMFSxqa–彎曲內力32[例6]改內力圖之錯。a2aaqqa2ABFSx––+qa/4qa/43qa/47qa/4xMqa2/449qa2/323qa2/25qa2/4+彎曲內力33總結一下，這次課學會了什么？彎曲內力34作業(yè)：試用簡易作圖法畫下列圖示梁的內力圖。qqa2/2qaACD（1）（2）l/2lABmFC彎曲內力35TheEnd!ThankYou!彎曲內力36§8–3彎曲正應力及強度條件

§8–4提高彎曲強度的措施第八章平面彎曲§8－3

彎曲正應力及強度條件彎曲應力一、彎曲構件橫截面上的（內力）應力內力剪力FS

切應力t彎矩M

正應力smmFSMmmFS

mmM

在梁的橫截面上只有彎矩Ｍ沒有剪力ＦＳ，梁的這種受力狀態(tài)稱為純彎曲。如AB段。彎曲應力PPaaABFSx１．純彎曲二、純彎曲和橫力彎曲的概念MxCD２．橫力彎曲

某段梁的內力既有彎矩Ｍ又有剪力ＦＳ時，該段梁的變形稱為橫力彎曲或剪切彎曲。如CA、BD段。三、

純彎曲時的正應力彎曲應力實驗實施變形幾何關系觀察變形提出假設變形的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律物理關系建立公式靜力關系正應力的研究路線401、實驗（1）變形現(xiàn)象縱向線且靠近頂端的縱向線縮短，靠近底端的縱向線段伸長相對轉過了一個角度,

仍與變形后的縱向弧線垂直各橫向線仍保持為直線，各縱向線段彎成弧線，橫向線彎曲應力41（2）提出假設

平面假設變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線(b)單向受力假設縱向纖維不相互擠壓,只受單向拉壓彎曲應力42推論：必有一層變形前后長度不變的纖維——中性層中性層橫截面對稱軸中性軸橫截面對稱軸⊥

中性層彎曲應力43dx圖（b）yzxo應變分布規(guī)律直梁純彎曲時縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比圖（a）dx2、變形幾何關系圖（c）yρzyxo’o’b’b’ybboo彎曲應力443、物理關系所以胡克定律MyzOx直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力，與它到中性軸的距離成正比應力分布規(guī)律?待解決問題中性軸的位置中性層的曲率半徑ρ??彎曲應力45yzxOMdAzyσdA4、靜力關系橫截面上內力系為垂直于橫截面的空間平行力系這一力系簡化，得到三個內力分量FNMzMy內力與外力相平衡可得(1)(2)(3)彎曲應力46將應力表達式代入(1)式，得將應力表達式代入(2)式，得將應力表達式代入(3)式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足彎曲應力EIz稱為抗彎剛度47彎曲應力橫截面上某點正應力該點到中性軸距離該截面彎矩該截面慣性矩代入，可得直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力：48(1)應用公式時,一般將M,y

以絕對值代入。根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正負號.以中性層為界，梁在凸出一側σ為拉應力為正；在凹入一側σ為壓應力為負。(2)最大正應力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠的點處則公式改寫為引用記號——抗彎截面系數(shù)彎曲應力49（3）當中性軸為對稱軸時矩形截面實心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdy彎曲應力50zy（4）對于中性軸不是對稱軸的橫截面M應分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離和直接代入公式求得相應的最大正應力彎曲應力彎曲應力四、

橫力彎曲時的正應力

橫力彎曲時，由于存在切應力橫截面不再保持為平面；同時，橫力彎曲下，也不能保證縱向纖維之間沒有正應力。但是用純彎曲時的正應力公式計算橫力彎曲時的正應力，不會引起很大誤差，能夠滿足工程問題需要的精度。因此橫力彎曲時的正應力公式引用純彎曲時的正應力公式。

zIMy=s公式的應用范圍：在彈性范圍內，具有切應力的梁，平面彎曲，直梁。、校核強度：①校核強度：②設計截面：③確定載荷：彎曲應力★

★梁的正應力強度條件例1受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，[

]=140MPa，試求：（1）1—1截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）試校核梁的正應力強度。彎曲應力q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax12120180zy解：畫M圖求截面彎矩30xM+彎曲應力AB1m2m11M1Mmax12120zy

求應力18030xM+（壓應力）q=60kN/m彎曲應力AB1m2m11Mx+M1Mmax1212018030③試校核梁的正應力強度。強度足夠。q=60kN/my1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內力例3T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[

t]=30MPa，[

c]=60MPa，其截面形心位G點，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？4彎曲應力

畫危面應力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm4kNmM

校核強度

T字頭在上面合理。彎曲應力y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x2.5kNm4kNmM588-4

提高彎曲強度的措施

彎曲正應力是控制梁的主要因素，所以彎曲正應力的強度條件往往是設計梁的主要依據(jù)。因此，要提高梁的承載能力應考慮兩方面的因素：一是合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高Wz的數(shù)值，充分利用材料的性能。1、合理安排梁的受力情況（1）合理布置梁的支座彎曲應力59xM+qlql0.2l0.2lxM彎曲應力60彎曲應力61（2）合理布置載荷xM+FxM+彎曲應力62彎曲應力632、選用合理的截面形狀矩形木梁的合理高寬比

北宋李誡于1100年著?營造法式?一書中指出:矩形木梁的合理高寬比(h/b=)1.5RbhWz越大越有利！另一方面，使用材料的多少和自重的大小，與截面面積A成正比，面積越小越經(jīng)濟，越輕巧。因而合理的截面形狀應該是截面面積較小，而抗彎截面系數(shù)Wz較大。彎曲應力64（1）在面積相等的情況下，選擇抗彎截面系數(shù)大的截面zDzaa彎曲應力65zD0.8Da12a1z彎曲應力66問題1：相同橫截面的梁，在材料、載荷和約束相同情況下，抗彎能力一樣嗎？所以，選對了截面，還得合理的放置！Fbhbh請查閱教材后的型鋼表，確認還有哪些參數(shù)需要關注？彎曲應力67問題2：為什么屋頂?shù)哪玖菏菆A形的？工藝成本+結構+成本+……為什么有彎曲變形的齒輪軸是實心圓的？彎曲應力68工字形截面與框形截面類似。0.8a2a21.6a22a2z彎曲應力69

因此，工字鋼或槽鋼比矩形截面經(jīng)濟合理，矩形截面比圓形截面經(jīng)濟合理。所以橋式起重機的大梁以及其它鋼結構中的抗彎桿件，經(jīng)常采用工字形截面、槽形截面或箱形截面等。彎曲應力70

原理：使材料盡量遠離中性軸，充分利用材料！問題3：對于抗彎截面系數(shù)，為什么空心圓比實心圓大？為什么工字形比矩形大？彎曲應力71（2）根據(jù)材料特性選擇截面形狀拉壓性能相等拉壓性能不等中性軸對稱截面中性軸偏拉截面彎曲應力72zGzy1y2zx對這類截面，當：時，最大拉應力和最大壓應力同時接近許用應力。彎曲應力73

梁各橫截面上的最大正應力都相等,并均達到材料的許用應力,則稱為等強度梁.bh(x)zFl/2l/2梁任一橫截面上最大正應力為求得3、等強度梁彎曲應力74按上確定的梁的外形,就是廠房建筑中常用的魚腹梁.F彎曲應力75彎曲應力76TheEnd!ThankYou!彎曲應力§8–5撓曲線的微分方程§8–6用積分法求彎曲變形

第八章平面彎曲§8－5撓曲線的微分方程彎曲變形主軸變形，影響嚙合，磨損，噪音，加工精度下降！如果這是車床主軸，會有什么影響？彎曲變形運行困難，噪音，爬坡，磨損，振動！等等！如果吊車梁變形，會有什么影響？彎曲變形避免彎曲利用彎曲彎曲變形①對梁變形計算，作剛度校核；②解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。以上為剛度問題，甚至依然是彈性變形！遠未達到破壞?。?！本章研究目的是……彎曲變形撓曲線wAB

x轉角

w撓度（C'C一、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓曲線。其方程為：三、轉角與撓曲線的關系：彎曲變形2.轉角：橫截面繞其中性軸轉動的角度。用

表示，逆時針轉動為正，反之為負。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用

表示。與y同向為正，反之為負。二、度量梁變形的兩個基本位移量四、撓曲線近似微分方程彎曲變形xρdxydsdθdθ這是撓曲線的微分方程，適用于彎曲變形的任意情況。彎曲變形由于撓曲線極其平坦，很小，與1相比可以省略，于是————撓曲線近似微分方程（2）1.微分方程的積分彎曲變形

§8–6用積分法求彎曲變形一次積分：———轉角方程二次積分：———撓曲線方程積分常數(shù)C、D可由邊界條件和連續(xù)光滑條件確定。如何實現(xiàn)？彎曲變形2.位移邊界條件：梁截面的已知位移條件。①在固定端：AB③在彎曲變形的對稱點上：②在鉸支座處：AB④在彈簧約束處：彎曲變形3.位移連續(xù)性條件：撓曲線是一條連續(xù)的光滑曲線，所以在撓曲線的任意點上，有唯一確定的撓度和轉角，稱為連續(xù)性條件。①連續(xù)梁：②在中間鉸處：例1求圖示工件（等截面直梁）在車削開始時的撓曲線、最大撓度及最大轉角。彎曲變形PL力學簡圖是？

建立坐標系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分

應用位移邊界條件求積分常數(shù)彎曲變形解：PLxx

寫出撓曲線方程并畫出曲線

最大撓度及最大轉角彎曲變形xPL彎曲變形如果載荷不在端部，而在中間某個位置，會怎樣？如果載荷不止一種類型，會怎樣？如果梁的形式改變，會怎樣？解：

建立坐標系并寫出彎矩方程

寫出微分方程的積分并積分彎曲變形xPLa例2求圖示等截面直梁的撓曲線