2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2講直線與圓的位置關(guān)系第5課時(shí)與圓有關(guān)的比例線段一課后提能訓(xùn)練新人教A版選修4-1

PAGE1-第5課時(shí)與圓有關(guān)的比例線段（一）素養(yǎng)訓(xùn)練1．(2015年天津)如圖，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD，CE分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，N，若CM＝2，MD＝4，CN＝3，則線段NE的長(zhǎng)為()A．eq\f(8,3) B．3C．eq\f(10,3) D．eq\f(5,2)【答案】A【解析】由相交弦定理可得CM·MD＝AM·MB，∴2×4＝AM·2AM.∴AM＝2.∴MN＝NB＝2.又CN·NE＝AN·NB，∴3×NE＝4×2.∴NE＝eq\f(8,3).故選A．2．(2015年衡水校級(jí)期末)如圖所示，⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點(diǎn)，割線PCD經(jīng)過(guò)圓心．已知PA＝6，AB＝eq\f(22,3)，PO＝12，則⊙O的半徑是()A．4 B．8C．6＋eq\r(14) D．6－eq\r(14)【答案】B【解析】設(shè)⊙O的半徑為x，由割線定理得PA·PB＝PC·PD，得6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(22,3)))＝(12－x)(12＋x)，解得x＝8.故選B．3．如圖所示，AD，AE，BC分別與圓O切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G.給出下列三個(gè)結(jié)論：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【答案】A【解析】由過(guò)圓外一點(diǎn)引的兩條切線長(zhǎng)相等，∴AD＝AE，BD＝BF，CF＝CE.故①②正確．連接FD，由同弧所對(duì)圓周角與弦切角相等，∴∠FDA＝∠AGD．∴△AFD∽△ADG，而不是△AFB∽△ADG.故選A．4．如圖所示，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1，若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為______．【答案】eq\f(\r(7),2)【解析】設(shè)BE＝x，則AF＝4x，F(xiàn)B＝2x.由相交弦定理得AF·FB＝DF·FC，∴4x·2x＝(eq\r(2))2＝2.∴x＝eq\f(1,2).由切割線定理，CE2＝BE·AE＝x·7x＝eq\f(7,4)，∴CE＝eq\f(\r(7),2).5．下圖為一根軸的縱斷面圖，則這根軸的全長(zhǎng)是______．【答案】178【解析】如圖所示，弦CD＝24，直徑AB＝26，且AB⊥CD于M，設(shè)BM＝x，由相交弦定理，MC·MD＝MA·MB，∴122＝(26－x)x，解得x＝8(舍去)或x＝18.∴軸全長(zhǎng)是178.6．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，AC＝2eq\r(2)cm，過(guò)C的割線CNM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CN＝MN＝DM，則AD的長(zhǎng)等于________cm.【答案】2eq\r(7)【解析】由切割線定理，AC2＝CN·CM，又CN＝MN，∴CM＝2CN.∴(2eq\r(2))2＝CN·2CN.∴CN＝2.∴DC＝3CN＝6.又∵AC是切線，∴AC⊥AB．∴AD2＝DC2－AC2＝36－8＝28.∴AD＝2eq\r(7).7．如圖所示，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，過(guò)PA的中點(diǎn)M作割線交⊙O于點(diǎn)B和C．求證：∠MPB＝∠MCP.【證明】∵PA是⊙O的切線，∴MA2＝MB·MC．∵M(jìn)是PA的中點(diǎn)，∴MP＝MA．∴MP2＝MB·MC．∴eq\f(MP,MC)＝eq\f(MB,MP).又∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC．∴∠MPB＝∠MCP.8．如圖所示，點(diǎn)P為⊙O的弦上的隨意點(diǎn)，連接PO，PC⊥OP，PC交圓于C．求證：PA·PB＝PC2.【證明】如圖所示，延長(zhǎng)CP與圓相交于點(diǎn)D．∵PC⊥OP，∴PC＝PD．∵PA·PB＝PC·PD，∴PC2＝PA·PB．實(shí)力提升9．如圖所示，PC切⊙O于點(diǎn)C，割線PAB經(jīng)過(guò)圓心O，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，PC＝4，PB＝8，則CD＝________.【答案】eq\f(24,5)【解析】由切割線定理PC2＝PA·PB，即42＝PA·8，∴PA＝2.