2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則（）A.0 B. C.1 D.4.隨機(jī)變量的分布列如下表：-101若，則（）A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.6.假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進(jìn)步2%，而乙疏于學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大約需要經(jīng)過（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（參考數(shù)據(jù)：，，）A.85 B.100 C.150 D.2257.某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師.由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（）A.124 B.246 C.114 D.1088.已知函數(shù)（且），若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列運(yùn)算結(jié)果為1的有（）A B. C. D.10.下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為C.函數(shù)與互為反函數(shù)D.函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)11.設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，則（）A.從甲袋中每次任取一個(gè)球不放回，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到紅球的概率為B.從甲袋中隨機(jī)取出了3個(gè)球，恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為C.從乙袋中每次任取一個(gè)球并放回，連續(xù)取6次，則取得紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4D.從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球，則從乙袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在二項(xiàng)式展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.13.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14.定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且不等式的解集為.（1）求的解析式；（2）設(shè)，若在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.甲、乙兩人進(jìn)行知識(shí)答題比賽，每答對(duì)一題加20分，答錯(cuò)一題減20分，且賽前兩人初始積分均為60分，兩人答題相互獨(dú)立.已知甲答對(duì)每題的概率均為，乙答對(duì)每題的概率均為，且某道題兩人都答對(duì)的概率為，都答錯(cuò)的概率為.（1）求，的值；（2）乙回答3題后，記乙的積分為，求的分布列和期望.17.已知函數(shù).（1）試判斷的奇偶性，并說明理由；（2）試判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）求在上的值域.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若最小值為-3，求m的值；（3）在（2）的條件下，若不等式有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.“愛國(guó)，是人世間最深層、最持久的情感，是一個(gè)人立德之源、立功之本.”在中華民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，愛國(guó)主義始終是激昂的主旋律.愛國(guó)汽車公司擬對(duì)“東方紅”款高端汽車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：23468101321222324251322314250565868.5686756666當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為.（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，.）（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大??；（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式；）（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布，公司對(duì)科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率不超過50%，不予獎(jiǎng)勵(lì)；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過50%但不超過53%，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)2萬(wàn)元；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過53%，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)5萬(wàn)元.求每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望.（附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.）

答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【正確答案】B【分析】解指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合A，再利用交集的定義直接求解.【詳解】集合，而，所以.故選：B2.【正確答案】C【分析】對(duì)于ABD：舉反例分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若滿足，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若滿足，則，故D錯(cuò)誤；故選：C.3.【正確答案】D【分析】依題意可得是以4為周期的函數(shù)，則，從而計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，①將①中的替換為得.②因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，③由②③得，則，所以是以4為周期的函數(shù)，故.故選：D4.【正確答案】A【分析】由分布列中概率和為1和期望的值可以計(jì)算出的值，代入方差公式可以計(jì)算方差.【詳解】解：∵，由表中數(shù)據(jù)可知，解得.又，∴.所以.故選：A5.【正確答案】A【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)和特值法對(duì)不符合題意的選項(xiàng)加以排除，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，定義域?yàn)?；因?yàn)?，所以，故，所以為奇函?shù)，排除B，當(dāng)逼近于，逼近于0，排除D，由，，則，排除C，故選：A.6.【正確答案】B【分析】根據(jù)給定信息，列出方程，再利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系求解即可.【詳解】令甲和乙剛開始的“日能力值”為1，天后，甲、乙的“日能力值”分別、，依題意可得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，因此，所以大約需要經(jīng)過100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故選：B7.【正確答案】C【分析】利用分布乘法計(jì)數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計(jì)算.【詳解】設(shè)學(xué)校為，先把甲乙兩人安排到不同學(xué)校，有種，不妨設(shè)甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用間接法計(jì)算，有種不同安排方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6×19=114種不同安排方法.故選：C8.【正確答案】B【分析】分析可知當(dāng)時(shí)，，由題意可知當(dāng)時(shí)，則的值域包含，分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，且，所以，若函數(shù)的值域?yàn)?，可知?dāng)時(shí)，則的值域包含，若，則在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，不合題意；若，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【正確答案】選：CD.10.【正確答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值為1，所以函數(shù)的值域?yàn)?；B選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，且，，所以其零點(diǎn)所在區(qū)間為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，即，可得，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：函數(shù)與函數(shù)的定義域均為，，，不為同一函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.11.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)古典概型公式，結(jié)合組合公式，依次判斷選項(xiàng).【詳解】A.在第一次取到白球的條件下，則甲袋中還有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，所以第二次取到紅球的概率為，故A正確；B.從甲袋中隨機(jī)取出了3個(gè)球，恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率，故B錯(cuò)誤；C.設(shè)紅球個(gè)數(shù)為，，則數(shù)學(xué)期望，故C正確；D.第一種情況，若是從甲袋中取到2個(gè)白球放入乙袋，則概率，第二種情況，若是從甲袋中取到1個(gè)白球和1個(gè)紅球放入乙袋，則概率，第三種情況，若是從甲袋中取到2個(gè)紅球放入乙袋，則概率，所以從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球，則從乙袋中取出的是2個(gè)紅球的概率，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【正確答案】60【分析】求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，可得，即展開式的常數(shù)項(xiàng)為60.故60.13.【正確答案】【分析】令，由題設(shè)易知在上為增函數(shù)且恒大于零，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，令，而為增函數(shù)，∴要使在上是增函數(shù)，即在上為增函數(shù)且恒大于零，，可得，∴的取值范圍是.故14.【正確答案】【分析】利用給定定義構(gòu)造不等式，按分類討論并結(jié)合函數(shù)大致圖象，建立關(guān)系式求解即得.【詳解】由給定的定義知，為滿足的整數(shù)解的和，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的大致圖象，如圖：，，，，因此的解集包含，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由，解得或，在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解1，2，3，即，因此，符合題意；當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的大致圖象，如圖，若，又，且，所以不等式的整數(shù)解為1，2，3.只需滿足，即，解得.所以時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，即可求出函數(shù)解析式；（2）首先表示出，從而確定其對(duì)稱軸，依題意得到或，解得即可【小問1詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以?為關(guān)于的方程的兩根，且二次函數(shù)的開口向上，則可設(shè)，，即，由的圖象過點(diǎn)，可得，解得，所以，即.【小問2詳解】因?yàn)椋瑢?duì)稱軸，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)函數(shù)，所以或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍.16.【正確答案】（1），（2）分布列見解析，【分析】（1）借助相互獨(dú)立事件的乘法公式可得方程組，解出該方程組即可得；（2）得出的所有可能取值后計(jì)算相應(yīng)概率即可得分布列，借助分布列計(jì)算即可得其期望.【小問1詳解】由題意可得，解得；【小問2詳解】的可能取值為0，40，80，120，，，，，則其分布列為：04080120.17.【正確答案】（1）偶函數(shù)，理由見解析（2）單調(diào)遞增，證明見解析（3）【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；（2）根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷；（3）根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】是偶函數(shù).易得，其定義域?yàn)?因?yàn)?，所以是偶函?shù).【小問2詳解】在上單調(diào)遞增.證明如下，任取，則，因?yàn)椋裕瑒t，所以，則，故在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由（2）得在上單調(diào)遞增，所以，，故在上的值域?yàn)?18.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間求值域問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）利用分離參數(shù)法將問題轉(zhuǎn)化為有解，利用基本不等式計(jì)算的最小值解不等式即可.【小問1詳解】設(shè)，∵，∴，，其對(duì)稱軸方程為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故所求值域?yàn)?；【小?詳解】∵函數(shù)的最小值為-3，，若，在上單調(diào)遞增，沒有最小值；若時(shí)，可知時(shí)，y取得最小值；即，解得或（舍去），綜上，；【小問3詳解】由題意，有實(shí)數(shù)解，即，可得，要使此不等式有解，只需即可，∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，∴，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20.【正確答案】（1）回歸模型②刻畫的擬合效果更好，72.93億元；（2）答案見解析；（3）2.4305萬(wàn)元.【分析】（1）根據(jù)公式比較可得模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好.根據(jù)模型②的回歸方程計(jì)算可得結(jié)果；（2）用最小二乘法求出當(dāng)時(shí)，y與x滿足的線性回歸方程，再通過計(jì)算比較可得答案；（3）根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性和兩個(gè)特殊區(qū)間的概率求出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>