山西省陽泉市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

陽泉市2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題高三數(shù)學(xué)（考試時長：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試題答題卡相應(yīng)的位置．3．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效．4．考試結(jié)束后，將本試題的答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先確定兩個集合中元素，再根據(jù)交集的定義求解，【詳解】因?yàn)?，所?故選：A．2.已知復(fù)數(shù)（其中虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助復(fù)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合模長定義計算即可得.【詳解】，故.故選：C.3.在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則算出即可.【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用角的變換，代入兩角差的正切公式即可求解.【詳解】．故選：B.5.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求得集合，可得結(jié)論.【詳解】由，可得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，由，可得，所以，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理求的外接圓半徑，再求點(diǎn)到平面的距離，設(shè)三棱錐外接球半徑為，根據(jù)勾股定理列方程求出，進(jìn)一步計算球的表面積.【詳解】如圖：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圓半徑為，即.在直角三角形中，，，所以.設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，解得：.所以球的表面積為：.故選：A7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的投影為點(diǎn)，則的最小值是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)拋物線上點(diǎn)設(shè)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，配方后求最值即可.【詳解】由拋物線可知，焦點(diǎn)為，設(shè)，則，則，所以，當(dāng)時，的最小值是，故選：B8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用偶函數(shù)，把自變量為負(fù)數(shù)的等價到相反數(shù)來比較，利用對數(shù)運(yùn)算估計和比較對數(shù)值的大小，再利用函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，就可以比較各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，即，又，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.故選:A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分．）9.隨著科技的發(fā)展和燃油車成本的上升，人們對新能源汽車的需求逐步增加，從而推動了廠商產(chǎn)品力的提升和新能源汽車銷量的快速增長，如圖為某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計的2017-2025年中國新能源汽車市場規(guī)模及預(yù)測數(shù)據(jù)，則（）A.2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模逐年增長B.2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模的中位數(shù)為3.4千億元C.逐年比較，預(yù)計2025年中國新能源汽車市場規(guī)模的增長量最大D.2017-2025年中國新能源汽車市場規(guī)模與年份的關(guān)系可以用指數(shù)型函數(shù)模型進(jìn)行擬合【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)分析判斷.【詳解】對A：從2017-2023年中國新能源汽車市場規(guī)模數(shù)據(jù)看新能源汽車市場規(guī)模逐年增長，故A正確；對B：數(shù)據(jù)從小到大排列為1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7個數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)3.4，故B正確；對C：2021年增長是為，2022年增長1.6，2023年增長6.9，2024年增長4.7，從增長量上看并不是逐年增加，故無法預(yù)計2025年的增長量最大，故C錯誤；對D：從數(shù)據(jù)上看，市場規(guī)模前期增長緩慢，后期增長較快，故可用指數(shù)型函數(shù)模型進(jìn)行擬合，故D正確；故選：ABD10.已知函數(shù)滿足，函數(shù)圖象上距原點(diǎn)最近的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.C.為函數(shù)圖象的一條對稱軸D.為函數(shù)圖象的一個對稱中心【答案】BC【解析】【分析】先根據(jù)題意可得，，，，進(jìn)而可得，進(jìn)而根據(jù)其圖象和性質(zhì)可得.【詳解】由函數(shù)圖象上距原點(diǎn)最近的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，，，由得，得，又，故，故由得，由，得，故，故，故，故A錯誤；，故B正確；由得函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)?shù)?，故C正確；由得函數(shù)的對稱中心為，令得，故D錯誤，故選：BC11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.是函數(shù)的極值點(diǎn)C.過原點(diǎn)僅有一條直線與曲線相切D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可得出函數(shù)的單調(diào)性以及極值，進(jìn)而判斷A、B項(xiàng)；設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知列出關(guān)系式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出，整理即可構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，由已知可得，令，則.解可得，，所以在上單調(diào)遞增；解可得，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，恒成立，即恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；對于B項(xiàng)，由A可知，在上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)C，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率，所以過的切線方程為.又切線經(jīng)過原點(diǎn)，所以有，整理為.令，有，當(dāng)時，，有；當(dāng)時，，有.所以恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增.又由，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn).故過原點(diǎn)僅有一條直線與曲線相切，選項(xiàng)C正確；對于D選項(xiàng)，若，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，有，.令，有．令，有（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），可得恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增.又由，所以時，，，所以在上單調(diào)遞減；時，，，所以在上單調(diào)遞增.所以，在處取得唯一極小值，也是最小值，所以，故成立，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，列式即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，所以，所以.故答案：.13.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)化簡得到，再根據(jù)，，構(gòu)成等比數(shù)列即可求解.【詳解】①，∴當(dāng)時，②，①②得，即.∵數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，即數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.∵，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)，，解得，.故答案為：5.14.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長度都是5且落在整點(diǎn)處.則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)所跳躍次數(shù)的最小值是__________.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量分析運(yùn)算，列出方程求解，即可得到結(jié)果.【詳解】每次跳躍的路徑對應(yīng)的向量為，因?yàn)榍筇S次數(shù)的最小值，則只取，設(shè)對應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為，其中，可得則，兩式相加可得，因?yàn)?，則或，當(dāng)時，則次數(shù)為；當(dāng)，則次數(shù)為；綜上所述：次數(shù)最小值為10.故答案為：10.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知△ABC的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，.（1）求cosC；（2）若，，求b.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由余弦定理及面積公式可求得；（2）由正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和正弦公式變形可求得，然后由正弦定理求得邊b．【小問1詳解】由已知，由余弦定理，得，得，所以，所以【小問2詳解】由正弦定理得，則，又所以，又，所以，即又，所以，由，得，所以，由正弦定理：.16.習(xí)總書記在十九大報告中提出鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，廈門市政府貫徹落實(shí)實(shí)施這一戰(zhàn)略，形成了“一村一品一業(yè)”的新格局．同安區(qū)郭山村是全國科教興村計劃試點(diǎn)村，也是廈門市第一批科技示范村，全村從事以紫長茄為主的蔬菜種植受種植條件、管理水平、市場等因素影響，每年紫長茄的平均畝產(chǎn)量和統(tǒng)一收購價格會有波動，畝產(chǎn)量與收購價格互不影響．根據(jù)以往資料預(yù)測，該村紫長茄今年的平均畝產(chǎn)量X（單位：噸）的分布列如下：X1012P0.50.5紫長茄今年的平均統(tǒng)一收購價格Y（單位：萬元／噸）的分布列如下：Y0.50.6P0.80.2（1）某農(nóng)戶種植三個大棚紫長茄，每個大棚1畝，每個大棚產(chǎn)量相互獨(dú)立，求這三個大棚今年總產(chǎn)量不低于34噸的概率；（2）紫長茄今年每畝種植成本約1.5萬元，設(shè)Z表示該村紫長茄今年平均每畝的利潤（單位：萬元），求Z的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）05（2）萬元，分布列見解析【解析】【分析】（1）先判斷隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式求結(jié)果；（2）先確定隨機(jī)變量取法，再分別求對應(yīng)概率,列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)事件A表示一個大棚畝產(chǎn)量為12噸，事件A發(fā)生的次數(shù)為，因?yàn)槊總€大棚產(chǎn)量相互獨(dú)立，所以這三個大棚總產(chǎn)量不低于34噸的概率（2）設(shè)事件B表示畝產(chǎn)量為10噸，事件C表示市場價格為0.5萬元／噸，則，每畝利潤Z的所有可能取值為：，，，，所以Z的分布列為Z3.54.55.7P0.40.50.1利潤Z的數(shù)學(xué)期望（萬元）．【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件的概率、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力與應(yīng)用意識；考查轉(zhuǎn)化與化歸、概率與統(tǒng)計思想.17.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且D為棱AB的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【小問1詳解】證明：由三棱柱的性質(zhì)可知．因?yàn)槠矫?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且是等邊三角形，所以．因?yàn)槠矫妫?，所以平面．【小?詳解】取的中點(diǎn)，連接．由題意可得兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，故．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．18.已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為橢圓C上異于A，B的動點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交橢圓C于點(diǎn)Q，直線AP，AQ的斜率分別為，．（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線PQ：，證明：直線PQ過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)和離心率即可求解；（2）（i）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式即可代入化簡求解，（ii）聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得韋達(dá)定理，即可結(jié)合化簡求解定點(diǎn).【小問1詳解】由橢圓C過點(diǎn)得，又離心率為，即，則，∴．∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】（i）設(shè)，，，由（1）知，，顯然，，而，則．，又，即，∴為定值．（ii）由消去x，得，①，由①得，，又，則，解得（舍）或，滿足，因此直線PQ的方程為，∴直線PQ過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點(diǎn)或動線特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).19.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．定義：若存在，使得對任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若，且為“2數(shù)列”，求．（2）若，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)的平方和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，求的值和的通項(xiàng)公式．（3）若，，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2），（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“2數(shù)列”的定義計算即可；（2）根據(jù)題意得到，然后結(jié)合“數(shù)列”的定義列方程得到，最后寫通項(xiàng)即可；（3）根據(jù)“數(shù)列”的定義得到，然后構(gòu)造函數(shù)得到，最后利用累加法證明即可.【小問1詳解】由，且為“2數(shù)列”，得，即，則，，，．【小問2詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由