新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第11講 導(dǎo)數(shù)綜合問題：證明不等式、恒成立問題、零點(diǎn)問題（解析版）

第11講導(dǎo)數(shù)綜合問題：證明不等式、恒成立問題、零點(diǎn)問題【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、證明不等式常用的方法和思路作差構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題二、不等式恒成立問題常用的方法和思路(1)直接法(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；三、零點(diǎn)問題常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，，解得．?）由（1）可得即證．令，，于是在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以（取等號(hào)）．又令，則，于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以（時(shí)取等號(hào)）．所以，即．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，【詳解】（1）由得知當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即有，，以上各式相加得，例3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對(duì)任意的都有成立，求c的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?令，解得或，當(dāng)，即或；當(dāng)，即，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，.所以，時(shí)，有極大值，.當(dāng)時(shí)，有極小值.（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.又，，.所以時(shí)，，.因?yàn)閷?duì)任意的都有成立，所以.例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若，且在上的最小值為0，求的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，，∴切線方程為，即（2）∵，∴原條件等價(jià)于：在上，恒成立.化為令，則令，則在上，，∴在上，故在上，；在上，∴的最小值為，∴例5．（2021·北京市第八中學(xué)怡海分校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（）（1）求在處的切線方程；（2）當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．【詳解】（1），切點(diǎn)為.，，所以切線方程為：.（2），令，解得，.，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以的極大值為，極小值為.因?yàn)橛袀€(gè)零點(diǎn)時(shí)，所以，解得.例6．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù).（1）若，求曲線在處切線的方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍.【詳解】（1）由已知，，曲線在處切線方程為，即.（2）.①當(dāng)時(shí)，由于，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.②當(dāng)時(shí)，由，得.在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由已知，轉(zhuǎn)化為，由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，所以，解得.例7．（2020·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，函數(shù).（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處的切線互相垂直,求的值；（2）設(shè),若對(duì)任意的,且,都有，求的取值范圍．【詳解】（1）,依題意有,且,可得,解得,或.（2）.不妨設(shè),等價(jià)于.設(shè),則對(duì)任意的,且,都有,等價(jià)于在上是增函數(shù).,可得,依題意有,對(duì)任意,有恒成立.由,可得.【技能提升訓(xùn)練】1．（2021·西藏·拉薩中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)在處的極值為2，其中．（1）求，的值；（2）對(duì)任意的，證明恒有．【答案】（1）；（2）證明見詳解.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合極值存在條件即可求解.（2）由于，要證不等式成立，轉(zhuǎn)化為求解在時(shí)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】（1），由題意可得，解得.（2），令，，則，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減且，所以時(shí)，，所以，即證.2．（2021·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，，曲線與曲線在處的切線互相平行．（1）求的值；（2）求證：在上恒成立．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，可證．【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，，由題意得，所以，解得；證明（2），令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，故，所以．3．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù).（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若且，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則恒成立，分離參變量，利用基本不等式得出最值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）要證，即證：，構(gòu)造，，分別利用導(dǎo)數(shù)判斷出單調(diào)性和最值，即可得原命題成立．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，又在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則恒成立，即恒成立，即，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）∵，則，要證，即證：，設(shè)，其中，則，當(dāng)時(shí)，故在為增函數(shù)，∴，設(shè)，其中，則當(dāng)時(shí)，，又，∴，則，∴恒成立，即原不等式成立.4．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））已知，．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，證明：．【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）分，進(jìn)行討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（Ⅱ）由結(jié)合（Ⅰ）可得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得證．【詳解】（Ⅰ）由題可知，．當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：若，則由（Ⅰ）可知，在處取得極大值，．令．，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．又，，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（Ⅱ）問的關(guān)鍵點(diǎn)是：通過構(gòu)造函數(shù)證得.5．（2021·寧夏·青銅峽市高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍；【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值是，無極大值（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）參變分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得解；（1）解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，令，解得，令，解得，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值是，無極大值.（2）解：因?yàn)?，?設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.6．（2021·福建·莆田第二十五中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在與處都取得極值．（1）求，的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)列方程組求參數(shù)即可.（2）由（1）有，進(jìn)而判斷的單調(diào)性并確定最值，結(jié)合不等式恒成立求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，，又，，解得，．（2）由，知，即，當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：1+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，為極大值，又，則為在上的最大值，要使對(duì)任意恒成立，則只需，解得或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．7．（2021·全國·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：時(shí)，當(dāng)恒成立.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性即可.（2）由分析法：只需證即可，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，∴，，∴當(dāng)或時(shí)，，在，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）要證，只需證，∵，，∴，設(shè)，則，∴在單調(diào)遞增，，∴，得證.8．（2019·山西省平遙中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)存在性問題轉(zhuǎn)化為求，結(jié)合函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴∴.則當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，∴的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）若存在使成立，則，由（1）可知.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021·陜西禮泉·高三開學(xué)考試（文））已知函數(shù)在處取得極值.（1）求在上的最小值；（2）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，即可求出函數(shù)解析式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的最小值；（2）依題意有唯一解，即函數(shù)與只有1個(gè)交點(diǎn)，由（1）可得函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出參數(shù)的取值范圍；（1）解：因?yàn)椋?，在處取得極值，，即解得，，所以，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上的最小值為.（2）解：由（1）知，，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則方程有唯一解，即有唯一解，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，函數(shù)圖象如下所示：或，得或，即b的取值范圍為.10．（2021·安徽安慶·一模（理））函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）求得，分和兩種情況，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，即可求解；（2）由（1）得到當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性和極小值，結(jié)合與的關(guān)系，三種情況討論，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)增函數(shù)，此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，令，解得，所以在上為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，在上為單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，無極大值.綜上所述：當(dāng)時(shí)，無極值，當(dāng)時(shí)，，無極大值.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)，在上為單調(diào)減函數(shù)，且，又由，若時(shí)，；若時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).11．（2019·山東日照·高三期中（理））已知函數(shù)．(1)證明：當(dāng)恒成立；(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）或【分析】（1）令，要證在上恒成立，只需證，；（2）函數(shù)，定義域?yàn)?，．?duì)a分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，以確定圖象與x軸的交點(diǎn)情況.【詳解】（1）證明：令，要證在上恒成立，只需證，，因?yàn)?，所?令，則，因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，，故在上恒成立.（2）函數(shù)，定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，無零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，取，則，（或：因?yàn)榍視r(shí)，所以．）因?yàn)椋?，此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，令，解得．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．所以.若，即時(shí)，取，，即函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則有，，必然存在，使得，即函數(shù)在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.……11分所以當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，必有，即．綜上所述，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則或.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．12．（2020·江西·南昌市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線與曲線在處的切線互相垂直，記.（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）若方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，求的取值范圍；（3）討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】（1）1；（2）；（3）在上單調(diào)遞減.【分析】（1）求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)即可求解.（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得的值域，從而可得，（3）求出，再求導(dǎo)函數(shù)，判斷的符號(hào)即可求解.【詳解】（1），，由題意得，，即，∴（2）由，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，又時(shí)，；時(shí)，，函數(shù)的大致圖像，如圖：若方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，則有.（3）由（1）可知，，，，，易知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以即恒成立，所以在上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程的根，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的值域、單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖像，考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想.13．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若過點(diǎn)可做曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)切線方程可知和，由此構(gòu)造方程組求得；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可得到的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由切線方程知：，，又，，解得：.（2）由（1）知：，則，，不在上，又，可知切點(diǎn)橫坐標(biāo)不為，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，則切線斜率，整理得：，過可作三條不同的切線，有三個(gè)不為的解；令，則，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由此可得圖象如下圖所示：有三個(gè)不為的解等價(jià)于與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到根據(jù)切線方程求解函數(shù)解析式、根據(jù)過某一點(diǎn)曲線切線的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而利用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.14．（2021·陜西·西安一中高三期中（文））已知函數(shù).（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）記的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，由題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為()恒成立，即可求a的取值范圍；（2）由（1）有，是的兩個(gè)根，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系易得，，進(jìn)而可得，即可證結(jié)論.（1）的定義域?yàn)椋?，又單調(diào)，∴對(duì)恒成立，即()恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.（2）由（1）知：，是的兩個(gè)根，則，，且，∴，故，，而，∴，得證.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））證明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．【答案】證明見解析【分析】構(gòu)造f(x)＝ex－x－1(x≥0)，利用導(dǎo)數(shù)判斷f(x)的單調(diào)性，求得最小值，即可得證；構(gòu)造g(x)＝x－sinx(x≥0)，利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，求得最小值，即可得證；【詳解】證明：令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，則f′(x)＝ex－1≥0，∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴對(duì)任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，令g(x)＝x－sinx(x≥0)，則g′(x)＝1－cosx≥0，∴g(x)≥g(0)，而g(0)=0，∴x－sinx≥0，∴x＋1≥sinx＋1