2025新華師大版七年級數(shù)學下教案6.2 第5課時　二元一次方程組與實際問題（帶反思）

第6章一次方程組6．2二元一次方程組的解法第5課時二元一次方程組與實際問題1．會根據(jù)問題情境及條件列出二元一次方程組，正確解方程組并檢驗其解是否合理．2．體會運用二元一次方程組求多項式中的待定系數(shù)，感受方程思想的廣泛應用．3．經(jīng)歷和體驗利用方程組解決實際問題的過程，掌握應用二元一次方程組解決實際問題的步驟，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中有多個未知數(shù)的有效數(shù)學模型．重點：列出二元一次方程組解決實際問題．難點：從實際問題中抽象出二元一次方程組．一、情境導入古算題：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．問有幾客幾房中？”題目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每間房住7人，就會有7人沒地方?。蝗裘块g房住9人，就會空一間房．問有多少間房？多少客人？你能解答這個問題嗎？二、合作探究探究點：利用二元一次方程組解決實際問題【類型一】和差倍分問題某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩種貨物應各裝多少噸？解析：已知量：(1)甲種貨物每噸體積為6立方米；(2)乙種貨物每噸體積為2立方米；(3)船的載重量為300噸；(4)船的容積為1200立方米．未知量：甲、乙兩種貨物應裝的質量各為多少噸．若以x，y表示它們的噸數(shù)，則甲種貨物的體積為6x立方米，乙種貨物的體積為2y立方米．相等關系：“充分利用這艘船的載重量和容積”的意思是“貨物的總質量等于船的載重量”且“貨物的體積等于船的容積”．即甲種貨物質量x＋乙種貨物質量y＝船的總載重量300甲種貨物體積6x＋乙種貨物體積2y＝船的總容積1200.解：設甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸．由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝300，,6x＋2y＝1200，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝150，,y＝150.))答：甲、乙兩種貨物各裝150噸．方法總結：列方程組解應用題一般都要經(jīng)歷“審、設、找、列、解、答”這六個步驟，其關鍵在于審清題意，找相等關系．設未知數(shù)時，一般是求什么，設什么，并且所列方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等．【類型二】變化率問題今年初，某企業(yè)積極制定規(guī)劃，爭取通過增收減支，到今年年底使企業(yè)利潤翻一番，該企業(yè)的具體目標是：保證今年總產(chǎn)值比去年增加10%，總支出比去年減少10%.已知該企業(yè)去年的利潤(利潤＝總產(chǎn)值－總支出)為200萬元，求今年的總產(chǎn)值、總支出分別是多少萬元.解析：設去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則今年的總產(chǎn)值為(1＋10%)x萬元，總支出為(1－10%)y萬元，根據(jù)“利潤＝總產(chǎn)值－總支出”可列出關于x，y的二元一次方程組，解之可得出x，y的值，再將其代入(1＋10%)x，(1－10%)y中，即可求出結論．解：設去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則今年的總產(chǎn)值為(1＋10%)x萬元，總支出(1－10%)y萬元．根據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝200，,（1＋10%）x－（1－10%）y＝200×2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1100，,y＝900.))∴(1＋10%)x＝(1＋10%)×1100＝1210，(1－10%)y＝(1－10%)×900＝810.答：今年的總產(chǎn)值為1210萬元，總支出為810萬元．方法總結：在解決增長相關的問題中，應注意原來的量與增加后的量之間的換算關系：增長后的量＝原量×(1＋增長率).【類型三】方案選擇問題某物流公司計劃用兩種車型運輸救災物資，已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸物資，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿．(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿物資一次可分別運多少噸？(2)請你幫該物流公司設計租車方案；(3)若A型車每輛需租金每次100元，B型車租金每次120元，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．解析：(1)設1輛A型車裝滿物資一次可運x噸，1輛B型車裝滿物資一次可運y噸，根據(jù)“用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運11噸”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；(2)根據(jù)要一次運送31噸貨物，即可得出關于a，b的二元一次方程，結合a，b均為正整數(shù)即可得出各租車方案；(3)根據(jù)總租金＝每輛車的租車費用×租車輛數(shù)，分別求出三種租車方案所需費用，比較后即可得出結論．解：(1)設1輛A型車裝滿物資一次可運x噸，1輛B型車裝滿物資一次可運y噸，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝10，,x＋2y＝11，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))答：1輛A型車裝滿物資一次可運3噸，1輛B型車裝滿物資一次可運4噸．(2)依題意，得3a＋4b＝31，∴a＝eq\f(31－4b,3).又∵a，b均為正整數(shù)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝7.))∴該物流公司共有3種租車方案，方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；方案3：租用1輛A型車，7輛B型車．(3)方案1所需租金為100×9＋120×1＝1020(元)；方案2所需租金為100×5＋120×4＝980(元)；方案3所需租金為100×1＋120×7＝940(元).∵1020＞980＞940，∴最省錢的租車方案為租用1輛A型車，7輛B型車，最少租車費為940元．方法總結：(1)找準等量關系，正確列出二元一次方程組；(2)結合題意a，b均為正整數(shù)即可得出各租車方案；(3)根據(jù)各數(shù)量之間的關系，分別求出三種租車方案所需費用．三、板書設計列方程組解決問題eq\b\lc\{(\a\vs4\al\c