高考復(fù)習專題練習專題19基本不等式小題(學生版+解析)

專題19基本不等式小題解題秘籍解題秘籍基本不等式，當且僅當時取等號其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)通常表達為：（積定和最?。?yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論1（和定積最大）當且僅當時取等號基本不等式的推論2當且僅當時取等號其他結(jié)論①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．③已知a，b，x，y為正實數(shù)，若ax＋by＝1，則有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.注意1．使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可．注意2．“當且僅當a＝b時等號成立”的含義是“a＝b”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重要，忽略它往往會導致解題錯誤．注意3．連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致．模擬訓練模擬訓練一、單選題1．（22·23下·湖北·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．2．（22·23·邯鄲·一模）已知，，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．93．（22·23下·湖北·二模）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．44．（22·23上·重慶·一模）已知a，b為非負實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（22·23下·長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．6．（22·23下·安康·二模）若，，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．7．（22·23·滁州·二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．8．（22·23·湛江·二模）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（22·23下·遼寧·二模）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．10．（22·23下·菏澤·一模）設(shè)實數(shù)滿足，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．11．（22·23·江西·二模）實數(shù)，，滿足：，則的范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題12．（22·23·汕頭·三模）若，則下列不等式對一切滿足條件恒成立的是（

）A． B．C． D．13．（22·23·白山·一模）若正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．14．（22·23·惠州·一模）若，則（

）A． B．C． D．15．（22·23下·煙臺·三模）已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為416．（22·23下·江蘇·二模）已知，，且，則（

）A． B．C． D．17．（22·23·濟寧·二模）已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．18．（22·23上·寧波·一模）已知正實數(shù)、滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最大值為19．（23·24上·長春·一模）設(shè)，為正實數(shù)，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．20．（22·23·福建·一模）已知正實數(shù)x，y滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為8C．的最大值為 D．沒有最大值21．（22·23上·山西·一模）設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為9 D．的最小值為22．（22·23下·江蘇·一模）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題23．（22·23·南開·一模）已知實數(shù)，則的最小值為.24．（22·23下·崇明·二模）已知正實數(shù)a、b滿足，則的最小值等于．25．（22·23·金山·二模）已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.26．（22·23·沈陽·二模）已知，則的最小值是．27．（22·23·安慶·三模）已知非負數(shù)滿足，則的最小值是.28．（22·23下·邵陽·二模）若，，，則的最小值為．29．（22·23·延邊·二模）設(shè)，，若，則取最小值時a的值為．30．（22·23下·貴陽·一模）正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為．31．（22·23·太原·一模）已知，，，則的最小值為.32．（22·23·四川·一模）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是.33．（22·23下·渭南·二模）設(shè)，若，則的最小值是.34．（22·23下·浙江·二模）已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為．35．（2023·遼陽·二模）若，則的值可以是．36．（22·23上·重慶·一模）已知，則的最小值是.37．（22·23·哈爾濱·一模）已知，且，則的最小值為．38．（23·24上·長春·一模）已知，，，則的最小值為．39．（23·24·鞍山·二模）設(shè)且，則的最小值是．40．（22·23上·江西·一模）已知，，是正實數(shù)，且，則最小值為.專題19基本不等式小題解題秘籍解題秘籍基本不等式，當且僅當時取等號其中叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)通常表達為：（積定和最?。?yīng)用條件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推論1（和定積最大）當且僅當時取等號基本不等式的推論2當且僅當時取等號其他結(jié)論①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab＞0)．②eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)．③已知a，b，x，y為正實數(shù)，若ax＋by＝1，則有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則有x＋y＝＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.注意1．使用基本不等式求最值時，“一正”“二定”“三相等”三個條件缺一不可．注意2．“當且僅當a＝b時等號成立”的含義是“a＝b”是等號成立的充要條件，這一點至關(guān)重要，忽略它往往會導致解題錯誤．注意3．連續(xù)使用基本不等式求最值，要求每次等號成立的條件一致．模擬訓練模擬訓練一、單選題1．（22·23下·湖北·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式及不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為正數(shù)滿足，所以.所以,當且僅當，即時，取等號，當時，取得的最小值為.故選：A.2．（22·23·邯鄲·一模）已知，，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．9【答案】C【分析】根據(jù)“乘1法”，運用基本不等式即可求解.【詳解】依題意，因為，所以，則，當且僅當，時，等號成立．故選：C.3．（22·23下·湖北·二模）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由題意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【詳解】因為，，，則.當且僅當即時取等.故選：C.4．（22·23上·重慶·一模）已知a，b為非負實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先根據(jù)題意求出，，然后將原式變形得，最后利用1的妙用即可求出其最值.【詳解】，且,為非負實數(shù)，，則則，解得，，解得，，當且僅當即，時,即時等號成立，故，故選：B.5．（22·23下·長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的運算判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】，即，即.對于A，成立.對于B，，成立.對于C，，即.故C錯誤；對于D，成立.故選：C.6．（22·23下·安康·二模）若，，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由基本不等式可判斷A、B、C；因為，再由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：∵，∴，故B錯誤；對于C：，當且僅當時取等號，故C錯誤；對于D：，故D錯誤．故選：A．7．（22·23·滁州·二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進行求解即可.【詳解】，因為a，b，c均為正數(shù)，所以有，當且僅當時取等號，即時取等號，故選：C8．（22·23·湛江·二模）當，時，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將左側(cè)分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的結(jié)論進行計算即可以得到結(jié)果.【詳解】當，時，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為．所以，即．故選：A.9．（22·23下·遼寧·二模）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判斷.【詳解】解：由圖知：，在中，，所以，即，故選：C10．（22·23下·菏澤·一模）設(shè)實數(shù)滿足，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分為與，去掉絕對值后，根據(jù)“1”的代換，化簡后分別根據(jù)基本不等式，即可求解得出答案.【詳解】當時，，當且僅當，即，時等號成立，此時有最小值；當時，.當且僅當，即，時等號成立，此時有最小值.所以，的最小值為.故選：A.11．（22·23·江西·二模）實數(shù)，，滿足：，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用立方和公式和完全平方公式將用與表示，再分離出，使用基本不等式求解即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，，令，則易知與均不為且符號相同，∴，解得或.（此時，可通過驗證時，滿足題意，，結(jié)合選項確定選項D正確.）又∵，，，，∴由基本不等式，，當且僅當時，等號成立，∴，又∵，∴，（當時，），∴解得，即，當且僅當時，等號成立.∴綜上所述，的取值范圍是.故選：D.【點睛】易錯點睛：本題若忽視中的與同號，直接使用基本不等式求解，就容易錯解，而優(yōu)先考慮與同號，并結(jié)合選項進行特值驗證，則可以很輕松的選出正確選項.二、多選題12．（22·23·汕頭·三模）若，則下列不等式對一切滿足條件恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；對于C，利用，求出，結(jié)合的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.【詳解】對于A，，即，當且僅當時等號成立，所以A正確；對于B，，，又，則，當且僅當時等號成立，所以B錯誤；對于C，，，所以，則，并且時等號成立.，所以C正確；對于D，，所以，則，當且僅當，即時等號成立，所以D正確.故選：ACD.13．（22·23·白山·一模）若正數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由不等式的性質(zhì)和基本不等式，驗證各選項是否正確.【詳解】因為，，所以，所以，則，當且僅當時，等號成立，故A錯誤；因為，所以，則，同理可得，因為，所以，當且僅當時，等號成立，則B正確；因為，所以，所以，所以，則C錯誤；因為，當且僅當時，等號成立，所以D正確．故選：BD14．（22·23·惠州·一模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用條件進行指對數(shù)轉(zhuǎn)換，得到，從而有，再對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，則，選項A，，故正確；選項B，因為，且，所以，故B正確；選項C，因為，故C錯誤；選項D，因為，故D正確，故選：ABD．15．（22·23下·煙臺·三模）已知且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為2C．的最小值為6 D．的最小值為4【答案】BC【分析】利用基本不等式可判斷AB；先將化為，再妙用“1”可判斷C；取特值可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故錯誤；對于B，因為，所以，即，，當且僅當時，等號成立，故B正確；對于C，由得，所以，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，令，則，所以的最小值不是4，D錯誤.故選：BC.16．（22·23下·江蘇·二模）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A利用基本不等式可判斷；對于B利用不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于C可用特殊值法判斷；對于D直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可．【詳解】，，且，，，當且僅當取等號，故A正確；，，且，，故B正確；則，故D正確；取，則，故C錯誤.故選：ABD．17．（22·23·濟寧·二模）已知，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用基本不等式可得，可判斷A，C選項,特殊值法判斷B，D選項錯誤.【詳解】因為，，，，所以，當且僅當?shù)忍柍闪?，故A正確，當,,則,故B錯誤；因為，所以，故C正確;當時,則，故D錯誤；故選：AC.18．（22·23上·寧波·一模）已知正實數(shù)、滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最大值為【答案】AC【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，可判斷AB選項；由已知可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合的取值范圍，可得出的取值范圍，可判斷CD選項.【詳解】因為正實數(shù)、滿足，則，因為，解得，當且僅當時，取最大值，則A對B錯；因為，所以，，令，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，C對D錯.故選：AC.19．（23·24上·長春·一模）設(shè)，為正實數(shù)，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用基本不等式以及其變形以及不等式性質(zhì)一一判斷各選項，即可得答案.【詳解】對于A，，為正實數(shù)，則，故，即，故，A錯誤；對于B，由于，當且僅當即時取等號，，當且僅當即時取等號，故，B正確；對于C，因為，為正實數(shù)，，故，故，即，C正確；對于D，因為，為正實數(shù)，則，當且僅當時，等號成立，故，即，D錯誤，故選：BC20．（22·23·福建·一模）已知正實數(shù)x，y滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為8C．的最大值為 D．沒有最大值【答案】AC【分析】將代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)及基本不等式可判斷B；，根據(jù)基本不等式可判斷C；，，根據(jù)基本不等式可判斷D.【詳解】因為x，y為正實數(shù)，且，所以.所以，當時，的最小值為，故A正確；，當且僅當時等號成立，故B錯誤；，當且僅當時等號成立，故，即的最大值為，故C正確；，，當且僅當，即時等號成立，所以.所以有最大值，故D錯誤.故選:AC.21．（22·23上·山西·一模）設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為9 D．的最小值為【答案】ABC【分析】對于AD，利用基本不等式判斷即可；對于B，利用不等式判斷即可，對于C，利用基本不等式“1”的妙用判斷即可.【詳解】對于A，因為，，，則，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，因為，故，當且僅當時取等號，即的最小值，故B正確；對于C，，當且僅當且，即，時取等號，所以的最小值為9，故C正確；對于D，，故，當且僅當時取等號，即的最大值，故D錯誤．故選：ABC.22．（22·23下·江蘇·一模）已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】AC【分析】利用基本不等式結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】對于A，，當且僅當時成立，A正確；對于B，，即，可得，所以，當且僅當時成立，B錯誤；對于C，，當且僅當時成立，C正確；對于D，由，當且僅當，即，等號成立，所以，此時，不能同時取等號，所以D錯誤.故選：AC.三、填空題23．（22·23·南開·一模）已知實數(shù)，則的最小值為.【答案】【分析】運用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】∵，，，∴，當且僅當即時取等號.故答案為：.24．（22·23下·崇明·二模）已知正實數(shù)a、b滿足，則的最小值等于．【答案】4【分析】直接利用基本不等式計算得到答案.【詳解】，當，即，時等號成立，則的最小值為4．故答案為：4．25．（22·23·金山·二模）已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.【答案】【分析】因為，展開利用基本不等式求解即可.【詳解】因為正實數(shù)滿足,所以,當且僅當即時等號成立,所以的最小值為.故答案為:.26．（22·23·沈陽·二模）已知，則的最小值是．【答案】【分析】變形條件等式得，然后展開，利用基本不等式求最小值.【詳解】，，，當且僅當，即時等號成立，的最小值是.故答案為：.27．（22·23·安慶·三模）已知非負數(shù)滿足，則的最小值是.【答案】4【分析】根據(jù)題意，再構(gòu)造等式利用基本不等式求解即可.【詳解】由，可得，當且僅當，即時取等號.故答案為：428．（22·23下·邵陽·二模）若，，，則的最小值為．【答案】8【分析】由已知條件變形，然后利用基本不等式求解.【詳解】若，，，則，當且僅當時取等號，則的最小值為8.故答案為：8.29．（22·23·延邊·二模）設(shè)，，若，則取最小值時a的值為．【答案】/0.75【分析】根據(jù)題意可得、，結(jié)合基本不等式中“1”的用法計算即可求解.【詳解】由，，得，由，得，∴，當且僅當即，時等號成立.故當，時取得最小值16.故答案為：.30．（22·23下·貴陽·一模）正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為．【答案】/【分析】由結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：由題得.當且僅當時，取等號，所以的最小值為.故答案為：31．（22·23·太原·一模）已知，，，則的最小值為.【答案】【分析】由已知條件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由可得，則，由可得，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.32．（22·23·四川·一模）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是.【答案】【分析】將轉(zhuǎn)化為，然后利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以，即，因為正實數(shù)，所以，，所以，當且僅當?shù)忍柍闪?故答案為：.33．（22·23下·渭南·二模）設(shè)，若，則的最小值是.【答案】/【分析】利用基本不等式中“1”的代換法求最小值．【詳解】∵，若