橢圓的性質(zhì)與特點(diǎn)課件-人教A版選修

橢圓的性質(zhì)與特點(diǎn)本節(jié)課將深入探討橢圓的性質(zhì)和特點(diǎn)，并結(jié)合實(shí)際應(yīng)用和例題，幫助同學(xué)們更深入地理解橢圓的概念及其在生活中的應(yīng)用。概述橢圓的定義橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)。橢圓的性質(zhì)橢圓擁有許多獨(dú)特的性質(zhì)，如長(zhǎng)軸、短軸、離心率等，這些性質(zhì)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。橢圓的基本定義定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2的距離之和為常數(shù)2a(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2稱為橢圓的焦點(diǎn)，常數(shù)2a稱為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)。示意圖橢圓的坐標(biāo)表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)方程以橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸為x軸，短軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c^2=a^2-b^2。橢圓的基本性質(zhì)對(duì)稱性橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱。長(zhǎng)軸和短軸橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b。離心率橢圓的離心率e=c/a(0焦距橢圓的焦距為2c。橢圓的中心和焦點(diǎn)中心橢圓的中心是指長(zhǎng)軸和短軸的交點(diǎn)。在標(biāo)準(zhǔn)方程中，中心坐標(biāo)為(0,0)。焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn)是兩個(gè)定點(diǎn)，它們的位置決定了橢圓的形狀。焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c^2=a^2-b^2。橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)軸橢圓的長(zhǎng)軸是指過兩個(gè)焦點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)的線段。長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a。短軸橢圓的短軸是指垂直于長(zhǎng)軸并與橢圓交于兩點(diǎn)的線段。短軸長(zhǎng)為2b。橢圓的離心率定義橢圓的離心率e定義為橢圓的半焦距c與半長(zhǎng)軸a的比值，即e=c/a。意義離心率反映了橢圓的扁平程度。離心率越小，橢圓越接近圓形；離心率越大，橢圓越扁。橢圓的周長(zhǎng)公式橢圓的周長(zhǎng)是一個(gè)復(fù)雜的積分，無法用簡(jiǎn)單的公式表示。常用的近似公式為：C≈π(a+b)(1+3(a-b)^2/(10(a+b)^2))計(jì)算可以通過數(shù)值積分或近似公式計(jì)算橢圓的周長(zhǎng)。橢圓的面積公式橢圓的面積公式為：S=πab計(jì)算可以使用面積公式直接計(jì)算橢圓的面積。橢圓的性質(zhì)1:點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和點(diǎn)到中心的距離性質(zhì)橢圓上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，即PF1+PF2=2a。示意圖橢圓的性質(zhì)2:任意兩條切線的夾角性質(zhì)過橢圓上一點(diǎn)作兩條切線，則這兩條切線與過該點(diǎn)且平行于短軸的直線的夾角相等。示意圖橢圓的性質(zhì)3:切線和法線的性質(zhì)性質(zhì)過橢圓上一點(diǎn)作切線和法線，則切線和法線互相垂直，且法線過橢圓的中心。示意圖橢圓的性質(zhì)4:共軛直徑的性質(zhì)性質(zhì)過橢圓中心作任意兩條互相垂直的弦，如果這兩條弦的端點(diǎn)都在橢圓上，則這兩條弦被稱為共軛直徑。橢圓的共軛直徑具有以下性質(zhì)：1.兩條共軛直徑的長(zhǎng)度之積為常數(shù)，等于a^2-b^2；2.兩條共軛直徑的斜率之積為-b^2/a^2。示意圖橢圓的應(yīng)用1:煙囪和帳篷的設(shè)計(jì)煙囪煙囪的形狀通常為圓形或橢圓形。橢圓形的煙囪能夠更好地防止風(fēng)力的影響，保證煙氣順利排出。帳篷帳篷的設(shè)計(jì)也常利用橢圓形，橢圓形的帳篷空間更大，更穩(wěn)定，能夠更好地抵抗風(fēng)力。橢圓的應(yīng)用2:反射鏡和聚光鏡的設(shè)計(jì)反射鏡橢圓反射鏡可以將來自一個(gè)焦點(diǎn)的光線匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)。這種特性在天文望遠(yuǎn)鏡、探照燈等設(shè)備中都有應(yīng)用。聚光鏡橢圓形的聚光鏡可以將平行光匯聚到焦點(diǎn)上，這種特性在太陽能收集、光學(xué)儀器等領(lǐng)域都有應(yīng)用。橢圓的應(yīng)用3:建筑中的應(yīng)用拱形建筑橢圓拱形建筑結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，能夠承受較大的壓力，在橋梁、隧道、體育館等建筑中都有應(yīng)用。裝飾元素橢圓形也常作為裝飾元素應(yīng)用于建筑設(shè)計(jì)中，比如窗戶、門洞、裝飾線條等。例題1:求橢圓的長(zhǎng)軸和短軸題目已知橢圓方程為x^2/9+y^2/4=1，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)。解答根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，a^2=9，b^2=4，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=6，短軸長(zhǎng)為2b=4。例題2:求橢圓的離心率題目已知橢圓方程為x^2/16+y^2/9=1，求橢圓的離心率。解答根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，a^2=16，b^2=9，所以c^2=a^2-b^2=7，因此離心率e=c/a=√7/4。例題3:求橢圓的周長(zhǎng)和面積題目已知橢圓方程為x^2/25+y^2/16=1，求橢圓的周長(zhǎng)和面積。解答根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，a^2=25，b^2=16，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=10，短軸長(zhǎng)為2b=8。橢圓的面積為S=πab=40π，橢圓的周長(zhǎng)可以用近似公式計(jì)算，C≈π(a+b)(1+3(a-b)^2/(10(a+b)^2))≈29.63。例題4:求橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和到中心的距離題目已知橢圓方程為x^2/16+y^2/9=1，求橢圓上點(diǎn)P(4,3/2)到兩焦點(diǎn)的距離和到中心的距離。解答根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，a^2=16，b^2=9，所以c^2=a^2-b^2=7，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-√7,0)和F2(√7,0)。點(diǎn)P到F1的距離PF1=√((4+√7)^2+(3/2)^2)，點(diǎn)P到F2的距離PF2=√((4-√7)^2+(3/2)^2)。點(diǎn)P到中心的距離OP=√(4^2+(3/2)^2)。例題5:求橢圓上任意一點(diǎn)的切線方程題目已知橢圓方程為x^2/4+y^2/1=1，求橢圓上點(diǎn)P(2,0)的切線方程。解答橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/4+y^2/1=1，求導(dǎo)得到y(tǒng)'=-x/(2y)。點(diǎn)P(2,0)在橢圓上，代入導(dǎo)數(shù)公式得到y(tǒng)'=-∞，說明切線垂直于y軸，因此切線方程為x=2。綜合應(yīng)用1:設(shè)計(jì)煙囪外殼需求設(shè)計(jì)一個(gè)橢圓形的煙囪外殼，要求能夠有效防止風(fēng)力的影響，保證煙氣順利排出。解決方案利用橢圓的性質(zhì)，選擇合適的長(zhǎng)軸和短軸比例，并通過計(jì)算確定煙囪的尺寸和形狀，能夠最大程度地減少風(fēng)力對(duì)煙囪的影響。綜合應(yīng)用2:設(shè)計(jì)聚光燈反射鏡需求設(shè)計(jì)一個(gè)橢圓形的反射鏡，要求能夠?qū)碜怨庠吹墓饩€匯聚到一個(gè)焦點(diǎn)上。解決方案利用橢圓的反射性質(zhì)，將光源放置在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，反射鏡的形狀可以根據(jù)光源的類型和需要匯聚的光線進(jìn)行設(shè)計(jì)。綜合應(yīng)用3:設(shè)計(jì)橢圓拱形建筑需求設(shè)計(jì)一個(gè)橢圓拱形的建筑，要求結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，能夠承受較大的壓力。解決方案利用橢圓的幾何性質(zhì)，選擇合適的長(zhǎng)軸和短軸比例，并通過計(jì)算確定拱形的尺寸和形狀，能夠保證建筑結(jié)構(gòu)的穩(wěn)固性和安全性。課后思考1:如何利用橢圓性質(zhì)設(shè)計(jì)反射鏡思考方向利用橢圓的反射性質(zhì)，將光源放置在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，反射鏡的形狀可以根據(jù)光源的類型和需要匯聚的光線進(jìn)行設(shè)計(jì)。案例天文望遠(yuǎn)鏡的反射鏡就是根據(jù)橢圓的反射性質(zhì)設(shè)計(jì)的，可以將來自遠(yuǎn)處的光線匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)上，從而形成清晰的圖像。課后思考2:橢圓在工程中有哪些其他應(yīng)用思考方向除了反射鏡和拱形建筑，橢圓在工程中還有許多其他應(yīng)用，比如機(jī)械加工、橋梁設(shè)計(jì)、航空航天等。案例橢圓形齒輪可以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)的傳動(dòng)，橢圓形機(jī)翼可以提高飛機(jī)的升力，橢圓形衛(wèi)星天線可以接收來自不同方向的信號(hào)。課后思考3:如何通過橢圓性質(zhì)解決實(shí)際問題思考方向通過理解橢圓的性質(zhì)，可以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為橢圓模型，從而用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解決。案例比如，可以用橢圓的性質(zhì)來設(shè)計(jì)橋梁的形狀，保證橋梁的穩(wěn)定性和安全性。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)定義橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。性質(zhì)橢圓具有對(duì)稱性、長(zhǎng)軸、短軸、離心率、焦點(diǎn)等性質(zhì)。應(yīng)用橢圓在工程、建筑、光學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。本節(jié)課重點(diǎn)回顧橢圓的定義橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。橢圓的性質(zhì)橢圓具有對(duì)稱性、長(zhǎng)軸、短軸、離心率、焦點(diǎn)等性質(zhì)。橢圓的應(yīng)用橢圓在煙囪、帳篷、反射鏡、拱形建筑等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。課后作業(yè)習(xí)題1.練習(xí)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)。2.設(shè)計(jì)一個(gè)橢圓形的反射鏡，并說明設(shè)計(jì)思路。思考題1.如何利用橢圓的性質(zhì)解決實(shí)際問題？2.橢圓在工程、建筑、光學(xué)等領(lǐng)域還有哪些應(yīng)用？知識(shí)擴(kuò)展:其他二次曲線的性質(zhì)雙曲線平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線