浙江省杭金湖四校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)第六次聯(lián)考試卷（含答案）

浙江省杭金湖四校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)第六次聯(lián)考試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四五六七八總分評分一、單選題1．已知集合N={x∈N|1<x<3}，則集合N有（）個子集．A．0 B．1 C．2 D．42．已知向量b與直線x+2y+3=0平行且|b|=5，a=(3，A．a(chǎn) B．?b C．10b 3．已知z1、z2∈C滿足z1?A．?1 B．0 C．1 D．34．函數(shù)f(x)=(x?1A．B．C．D．5．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記an為圖中所選數(shù)1，1，2，3A．252 B．426 C．462 D．9246．銳角△ABC滿足tanA=A．cos2A+sinB=0 B．cos2A+cosB=0 7．已知橢圓x2a2+y2b2=1的左頂點為A，右焦點為F2，過右焦點作x軸垂線交橢圓于B、C兩點，連結(jié)A．12 B．22 C．238．已知|a?b|=3，A．12 B．22 C．3二、多選題9．某地區(qū)高三男生的身高X服從正態(tài)分布N(170，A．P(X>170)=0B．若σ越大，則P(165<X<175)越大C．P(X>180)=P(x<160)D．P(160<X<165)=P(65<X<170)10．函數(shù)f(A．f(x)是周期函數(shù) C．f(x)圖像至少有一條對稱軸 11．已知x+y=1，A．y?x的取值范圍為(0B．x2+C．yx+D．sinx+sin12．在空間直角坐標(biāo)系中，有以下兩條公認(rèn)事實：①過點P0(x0，y0②過點P(x0，y0，z現(xiàn)已知平面α：x+2y+3z=6，l1：2x?y=1A．l1//α B．l2//α C．三、填空題13．已知函數(shù)f(x)=sinx，曲線y=f(x)在點(0，14．用4種不同顏色給一個正四面體涂色，每個面涂一種顏色，4個顏色都要用到，共有種涂色的方法．15．直線y=2x+1與直線y=(16．若正四面體SABC的棱長為3，平面ABC內(nèi)有一動點P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距離依次成等差數(shù)列，則點P在面ABC內(nèi)的軌跡的長度為.四、解答題17．直角三角形ABC斜邊上一點D滿足cos2B+sin∠CAD=0，（1）求證：AB=AD；（2）若AC=3CD，求角18．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足（1）求{a（2）若bn=(?1)n+1a五、證明題19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠DAB=90°，AB=BC=4，（1）求證：PB⊥AC；（2）若平面PBD⊥平面PBC，且△PAD中，AD邊上的高為3，求AD的長.六、解答題20．隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學(xué)習(xí)小組對某社區(qū)隨機抽取了5人進行調(diào)查，將調(diào)查情況進行整理后制成下表：年齡[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）人數(shù)45853年齡[45，50）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）人數(shù)67354年齡在[25，30），[55，60）的被調(diào)查者中贊成人數(shù)分別是3人和2人，現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調(diào)查．（1）求年齡在[25，30）的被調(diào)查者中選取的2人都是贊成的概率；（2）求選中的4人中，至少有3人贊成的概率；（3）若選中的4人中，不贊成的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．七、證明題21．已知橢圓C：x2a2+（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓C的左、右兩個頂點分別為A1，A2，T為直線l：x=4上的動點，且T不在x軸上，直線TA1與C的另一個交點為M，直線TA2與C的另一個交點為八、解答題22．已知函數(shù)f(x)=axln（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若x>1時，f(x)>?1，求實數(shù)a的取值范圍；（3）對任意n∈N*，證明：

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由題意得N={2}，∴N的子集有{2}，?，有2個.故答案為：C.

【分析】先求出集合N，再判斷其子集數(shù).2．【答案】B【解析】【解答】解：直線x+2y+3=0的方向向量為l→=1，-12，

∵向量b與直線x+2y+3=0平行，∴b→=λl→，又|b|=5，∴λ=±2，∴b→=-2，1或故答案為：B.

【分析】求出直線x+2y+3=0的方向向量l→，所以b→=λl→，結(jié)合|b|=5得到3．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)z1=a+bi、z2=c+di，a，b，c，d∈R，

∵z1+z2=a+bi+c+di=a+c+b+di=?1，∴a+c=-1，b+d=0，∴c=-a-1，d=-b，

∵z1?z2=a+bi故答案為：B.

【分析】設(shè)z1=a+bi、z2=c+di，a，b，c，d∈R，由z1+z2=?1得c=-a-1，d=-b，由z4．【答案】C【解析】【解答】解：∵f(-x)=(-x?1-x)cos-x=-(x?1故答案為：C.

【分析】求f(-x)判斷函數(shù)奇偶性，再求f(π5．【答案】C【解析】【解答】解：由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣得第n行第i列的數(shù)滿足Cn-1i，當(dāng)n奇數(shù)時an=C故答案為：C.

【分析】根據(jù)“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣數(shù)字的構(gòu)成規(guī)律，得當(dāng)n奇數(shù)時an=Cn-1n+16．【答案】A【解析】【解答】解：由tanA=tanB+1sin2A，?sinAcosA-12sinAcosA=sinBcosB，?2sin2故答案為：A.

【分析】由tanA=tanB+1sin2A得7．【答案】A【解析】【解答】解：當(dāng)x=c時，求得y=±b2a

不妨設(shè)Bc，b2a，Cc，-b2a，又A-a，0，M為AC的中點，∴M-a+c2，-b22a故答案為：A.

【分析】當(dāng)x=c時，求出B，C坐標(biāo)，再根據(jù)中點公式求M坐標(biāo)，利用kOM8．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)|a→|=OA→=2m，|b→|=OB→=m，m>0則點A在以O(shè)為原點，2m為半徑的圓上運動，點B在以O(shè)為原點，m為半徑的圓上運動，

如圖，則a→=故答案為：C.

【分析】設(shè)|a→|=OA→9．【答案】A,C【解析】【解答】解：ACD、∵某地區(qū)高三男生的身高X服從正態(tài)分布N(170，σ2)(σ>0)，∴正態(tài)分布曲線的對稱軸為X0=170，∴P(X>170)=0.5，P(X>180)=P(x<160)，故答案為：AC.

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性判斷ACD，B若σ越大，則數(shù)據(jù)越分散，越不集中在對稱軸附近.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、假設(shè)函數(shù)f(x)是周期為TT>0的周期函數(shù)，則f(x+T)=sinx+T2?x+T=sinx2+2T-1x+T2-T=sin(x2?x)=f(x)對任意x恒成立，∴2T-1=-1T2-T=2kπ，T無解，∴f(故答案為：BC.

【分析】A根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷；B根據(jù)三角函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)判斷；C根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的對稱性定義判斷；D根據(jù)函數(shù)對稱中心的定義判斷.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：∵x+y=1，x，y>0，∴y=1-x>0，∴x∈0，1，

A、y?x=1-2x∈-1，1，A錯誤；

B、x2+y2=x2+1-x2=2x2-2x+1=2x-故答案為：BCD.

【分析】由x+y=1，x，y>0，得y=1-x，x∈0，1，代入y=1-x12．【答案】C,D【解析】【解答】解：平面α：x+2y+3z=6，可化為α：x-6+2y-0+3z-0=0，∴平面α過點(6，0，0)，法向量為n→=1，2，3，

l1：2x?y=13y?2z=1，可化為l1：2x=y+1=23z+43，即l1：x12=y+11=z+232，∴直線l1過點(0，-1，-2)，方向向量為l1→=12，1，32，

l2：x=y=2?z，可化為l2：x1故答案為：CD.

【分析】根據(jù)公認(rèn)事實求出直線的方向向量與平面的法向量，用空間向量判斷它們之間的位置關(guān)系.13．【答案】y=x【解析】【解答】解：∵f(x)=sinx，∴f'(x)=cosx，

∴f(0)=sin0=0，f'(0)=cos0=1，

故答案為：y=x.

【分析】求出f(0)，f'(0)的值，利用點斜式寫出曲線y=f(x)在點(0，14．【答案】2【解析】【解答】解：假設(shè)底面(固定)涂了其中一種顏色，其它面可以旋轉(zhuǎn)，涂其他三種顏色共有A33故答案為：2.

【分析】先固定底面涂了其中一種顏色，其它面可以旋轉(zhuǎn)，進而結(jié)合排列組合知識求解.15．【答案】4【解析】【解答】解：直線y=2x+1的方向向量為l1→=1，2，直線y=(3?22)x+2故答案為：45

【分析】先求出兩直線方向向量l1→，16．【答案】2【解析】【解答】解：設(shè)動點P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距離分別為d1，d2，d3，正四面體SABC的高為h，

則VSABC=13hS?ABC=13d1S?SAB+13d2S?SBC+13d3S?SAC，即h=d1+d2+d3，

又∵d1，d2，d3成等差數(shù)列，∴d1+d故答案為：2.

【分析】根據(jù)題意，動點P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距離分別為d1，d2，d3，正四面體SABC的高為h，則d2=13h，所以取AB靠近B，AC靠近C的三等分點17．【答案】（1）解：∵cos2B+sin∠CAD=0∴cos2B=?sin∠CAD=cos∴2B=∴2B+∠BAD=π=B+∠BAD+∠BDA∴B=∠BDA∴AB=AD；（2）解：∵AC∴AC∴?3cos2B=sinB，sinB=32或因為角B為銳角，所以B=60°.【解析】【分析】(1)由cos2B+sin∠CAD=0利用誘導(dǎo)公式得cos2B=cos(π2+∠CAD)，所以2B=π2+∠CAD=π2+π2?∠BAD，進而求得18．【答案】（1）解：由nSn+1?(n+1)而S11=所以Snn=1+(n?1)×1=n當(dāng)n≥2時，an=S所以an（2）解：由（1）知，Sn=n因此bn所以T20【解析】【分析】(1)由nSn+1?(n+1)Sn=n(n+1)得Sn+1n+1?Snn=119．【答案】（1）證明：設(shè)線段AC的中點為E，連接EB，因為AB=BC，所以BE⊥AC，又因為PA=PC，所以PE⊥AC，因為EB∩PE=E，EB，所以AC⊥平面PBE，PB?平面PBE，所以PB⊥AC；（2）解：過點P作PO垂直直線AD于O，則有OP=3，因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，連接OC，因為PA=PC=5，OP=3，所以可得OC=OA=4，而AB=BC=4，所以四邊形OABC是菱形，而∠DAB=90°，所以四邊形OABC是正方形，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OD=a，則P(0，PD=(0設(shè)平面PBD的法向量為m=(m?同理可得平面PBC的法向量為n=(n?因為平面PBD⊥平面PBC，所以m?【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進行證明即可；

（2）過點P作PO垂直直線AD于O，則有OP=3，以O(shè)為原點，OC方向為x軸，OA為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PBD的法向量m→=(a?44，20．【答案】（1）解：設(shè)“年齡在[25，30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成”為事件A，所以（2）解：設(shè)“選中的4人中，至多有3人贊成”為事件B，所以P(B)=C（3）解：X可以取值0，1，2，3所以P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=C所以X的分布列是：X0123P12131∴E(【解析】【分析】(1)年齡在[25，30)被調(diào)查者中人數(shù)為5人，贊成人數(shù)為3人，進而利用古典概型求“年齡在[25，30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成”的概率；

(2)設(shè)“選中的4人中，至多有3人贊成”為事件B，則贊成人數(shù)可為1人，2人，3人，進而利用古典概型求事件B的概率；21．【答案】（1）解：∵e=ca=∵橢圓C：x2a2+∴c=1，∴a=2b=3，（2）解：解法一：證明：由題意可知，A1(?2，0)，A直線A1T的方程為y=t6(x+2)聯(lián)立方程組y=t6(x+2)，可得?2?x1=則y1=t由y=t2(x?2)，x24+則y2=t所以kMN故直線MN的方程為y+6t即y=?6tt2故直線MN過定點(1，0)，所以△FMN的周長為定值8．當(dāng)t=±3時，M(1，32)，N(1，?32經(jīng)過焦點(1，0)，此時△FMN的周長為定值4a=8，綜上可得，△FMN的周長為定值8．解法二：當(dāng)直線MN斜率存在時，設(shè)其方程為：y=kx+m，由y=kx+m，x設(shè)M(x1，直線A1M：y=y1x直線A2N：y=y2x2?2由x2所以(x即(4k化簡得(m?2k)(m+k)=0?m=2k或m=?k．m=2k時直線MN過點A1(?2，0)（舍），所以即直線MN的方程為y=k(x?1)，過定點(1，0)．當(dāng)直線MN的斜率不存在時，設(shè)其方程為：x=t，則有x1=x直線x=1也過定點(1，0)，綜上所述，直線MN始終經(jīng)過橢圓的右焦點，故△FMN的周長為定值4a=8．解法三：當(dāng)M位于橢圓的上頂點，則此時M(0，3)，直線A1M與則直線A2T的方程為聯(lián)立橢圓方程可得：15x2?54x+48=0易知直線MN經(jīng)過橢圓的右焦點F'(1，0)，此時△FMN的周長為定值猜想，若△FMN的周長為定值，則直線MN經(jīng)過橢圓的右焦點．證明如下：依題意直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為x=1+my，代入橢圓方程得：(3m設(shè)M(x1，直線A1M：y=y1x直線A2N：y=y2x因為6y1x所以直線A1M，A2N的交點在直線l：x=4上，即過直線l：x=4上的點T所作的兩條直線T故△FMN的周長為定值4a=8．【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓的a、b、c三者的關(guān)系，計算出a與c的關(guān)系，并把點的坐標(biāo)代入到橢圓的方程計算出c的取值。從而計算出a與b的值由此得出橢圓的方程。

(2)解法一：由設(shè)而不求發(fā)設(shè)出點的坐標(biāo)以及直線的方程，再聯(lián)立直線與橢圓的方程消元后得到關(guān)于x的方程，由此計算出點的坐標(biāo)并把結(jié)果代入到斜率的坐標(biāo)公式，進而得出直線的方程，結(jié)合直線的性質(zhì)即可求出直線過的定點的坐標(biāo)