2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第12講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的解三角形解答題綜合訓(xùn)練(學(xué)生版+解析)

新高考新結(jié)構(gòu)命題下的解三角形解答題綜合訓(xùn)練（10類核心考點(diǎn)精講精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：三考題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。三重強(qiáng)調(diào)對學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無法提前預(yù)知。解三角形版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學(xué)生入手。然而，同樣不能忽視的是，解三角形版塊也可能被置于第16、17題這樣的中等大題中，此時(shí)的分值將提升至15分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對如此多變的命題趨勢，教師在教學(xué)備考過程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績?？键c(diǎn)一、面積及最值1．（2024·河南焦作·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，且，，.(1)求的值；(2)求面積的最大值.2．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測）在中，已知，，．(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，求的面積.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，.(1)若，求；(2)若，求面積的最大值.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角的對邊分別為．已知．(1)求．(2)若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若，，求b；(2)若，求的面積S的最大值.考點(diǎn)二、周長及最值1．（23-24高三·河北滄州·模擬）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求角的大?。?2)若，的面積為，求的周長．2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知的內(nèi)角的對邊分別為．(1)求的值；(2)若的面積為，且，求的周長．3．（2024·陜西·模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為．(1)求；(2)若，求的周長最小值．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小正周期與圖象的對稱中心；(2)在中，，求周長的取值范圍.5．（2024·陜西漢中·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，請從下列條件中選擇一個(gè)條件作答：（注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）①記的面積為S，且；②已知．(1)求角A的大小；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．考點(diǎn)三、邊長、線段及最值1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，，，.(1)若，求的面積.(2)求的最大值.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)證明：；(2)求的取值范圍.3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為.(1)求角；(2)若，求的最小值.4．（2024·江西鷹潭·二模）的內(nèi)角的對邊分別為，，，滿足.(1)求證：；(2)求的最小值.5．（2024·全國·一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且AD是BC邊上的高．．(1)求角A；(2)若，，求AD．6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，已知，(1)求角的大小；(2)若的角平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值，考點(diǎn)四、三角函數(shù)值及最值1．（2024·上?！と＃┮阎谥?，角所對的邊分別為，且滿足．(1)若，求的面積；(2)求的最大值，并求其取得最大值時(shí)的值．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若．(1)求的值；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知且.(1)求證：；(2)求的取值范圍.4．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．5．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．(1)若，，求的面積；(2)求的最小值，并求出此時(shí)的大?。键c(diǎn)五、內(nèi)切圓、外接圓半徑問題1．（22-23高一下·浙江·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，在以下條件中選擇一個(gè)條件：①；②；③．求解以下問題．（選擇多個(gè)條件的，以所選的第一個(gè)計(jì)分）(1)求角；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知中，角，，的對邊分別是，，，．(1)求角的大??；(2)若，外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，求的最小值．2．3．（2022·湖北·三模）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知，．(1)求角的大小；(2)求外接圓半徑的最小值.4．4．（2024·吉林·二模）已知的三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為的外接圓半徑為，且.(1)求;(2)求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍5．（2023·廣西南寧·一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．6．（2023·山東·一模）如圖，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．考點(diǎn)六、中線、角平分線、高線問題1．（2024·四川成都·三模）在中，．(1)求的長；(2)求邊上的高．2．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，且．(1)求的外接圓的半徑；(2)若，且，求邊上的高．3．（23-24高三上·黑龍江·期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，求邊上高的最大值.4．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長的取值范圍.5．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為且，(1)求；(2)求邊上中線長的取值范圍．6．（2023·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足________.(1)求；(2)若的面積為，為的中點(diǎn)，求的最小值.7．（23-24高一下·遼寧·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．(1)若，求邊上的角平分線長；(2)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍．8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的內(nèi)角，，的對邊為，，，且，(1)求；(2)若的面積為；①已知為的中點(diǎn)，且，求底邊上中線的長：②求內(nèi)角的角平分線長的最大值．考點(diǎn)七、三角形中的證明問題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在中，，D是斜邊上的一點(diǎn)，，.

(1)若，求和；(2)若，證明：.2．（2022·廣東·二模）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足．(1)證明：．(2)若，，求PC．3．（22-23高一下·北京·期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)CD為△ACB的內(nèi)角平分線，且CD與直線AB交于點(diǎn)D.（i）求證:；（ii）若，，求CD的長.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點(diǎn)，且點(diǎn)D在B，E之間，．(1)求證：．(2)若，求證：．5．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).(1)證明：(2)若，，求的最大值.6．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.考點(diǎn)八、圖形類綜合1．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知平面四邊形ABDC中，對角線CB為鈍角的平分線，CB與AD相交于點(diǎn)O，，，.

(1)求CO的長；(2)若，求的面積.2．（21-22高三上·廣東珠?！て谀┰谥?，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長．3．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為，，，且．(1)求；(2)已知，為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長．4．如圖，在中，，，為內(nèi)一點(diǎn)，．(1)若，求；(2)若，求的面積．5．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）在中，，的面積為，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn).

(1)求的面積；(2)若，求的值.考點(diǎn)九、參數(shù)類問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角三角形中，角所對的邊分別為，，且．(1)求；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知在中，角所對的邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023·湖北咸寧·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，滿足，.(1)證明：外接圓的半徑為；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2024·江蘇蘇州·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若，求的面積;(2)若，求使得恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的最小值.考點(diǎn)十、解三角形與其他知識點(diǎn)雜糅問題1．（2022·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知，，(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且，求的取值范圍.2．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足．(1)求證：；(2)若，求的最小值．3．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，，BC=2，．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)設(shè)邊AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求的值．4．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為,已知,(1)若為邊上一點(diǎn),,且,求;(2)若為平面上一點(diǎn),,其中,求的最小值.5．（22-23高三上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)在中，角、、的對邊分別為、、．若，，求的面積的最大值．6．（22-23高三上·重慶南岸·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，．(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍．7．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C所對應(yīng)的邊為a，b，c．已知的面積，其外接圓半徑，且．(1)求；(2)若A為鈍角，P為外接圓上的一點(diǎn)，求的取值范圍．8．（2024·廣東·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足（其中）.(1)若，且，證明：數(shù)列和均為等比數(shù)列；(2)若，以為三角形三邊長構(gòu)造序列（其中），記外接圓的面積為，證明：；(3)在（2）的條件下證明：數(shù)列是遞減數(shù)列新高考新結(jié)構(gòu)命題下的解三角形解答題綜合訓(xùn)練（10類核心考點(diǎn)精講精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：三考題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。三重強(qiáng)調(diào)對學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)特見解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對學(xué)生思維過程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，每個(gè)題目的考查焦點(diǎn)皆充滿變數(shù)，無法提前預(yù)知。解三角形版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，其身影可能悄然出現(xiàn)在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適中，易于學(xué)生入手。然而，同樣不能忽視的是，解三角形版塊也可能被置于第16、17題這樣的中等大題中，此時(shí)的分值將提升至15分，挑戰(zhàn)學(xué)生的解題能力和思維深度，難度自然相應(yīng)加大。面對如此多變的命題趨勢，教師在教學(xué)備考過程中必須與時(shí)俱進(jìn)。不僅要深入掌握不同題目位置可能涉及的知識點(diǎn)及其命題方式，更要能夠靈活應(yīng)對，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的導(dǎo)數(shù)解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導(dǎo)數(shù)解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績?？键c(diǎn)一、面積及最值1．（2024·河南焦作·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，且，，.(1)求的值；(2)求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和余弦定理即可求得.（2）由余弦定理、向量運(yùn)算、三角形面積公式和基本不等式即可求出面積的最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，化簡得，由余弦定理得，.（2）在中，，，則，由得，，

即，所以.由基本不等式，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，所以的面積，故當(dāng)，時(shí)，面積的最大值為.2．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測）在中，已知，，．(1)求角；(2)若為銳角三角形，且，求的面積.【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用兩角和的正切公式化簡等式，利用誘導(dǎo)公式求出，再利用正弦定理求出角；（2）根據(jù)得到點(diǎn)為三角形重心，由直接求解即可.【詳解】（1），在三角形中，，，，，在中，，，又，，，由正弦定理，得，，或；（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，點(diǎn)為三角形重心，所以，又，所以，所以的面積為.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，.(1)若，求；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一

先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，再利用正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式化簡求解即可；解法二

結(jié)合已知利用余弦定理求得，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.（2）利用余弦定理得，然后利用三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）解法一

因?yàn)?，所?在中，由正弦定理得，所以，所以，則.解法二

設(shè)，則，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）中解法二可知，，在中，由余弦定理得，所以，當(dāng)時(shí)取等號，故面積的最大值為.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角的對邊分別為．已知．(1)求．(2)若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由二倍角公式化簡已知等式，然后由正弦定理角化邊再結(jié)合余弦定理求得.（2）由向量建立等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式求得面積的最大值即可.【詳解】（1）由二倍角公式，得，即．由正弦定理，得，即．由余弦定理，得．因?yàn)?，所以．?）因?yàn)辄c(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以，所以，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．所以，所以面積的最大值為．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若，，求b；(2)若，求的面積S的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理，由得到，進(jìn)而求得，再由，求得角B，A，得到，再由正弦定理求得b；（2）根據(jù)正弦定理角化邊得到，用余弦定理求得A，再根據(jù)基本不等式求得，然后利用三角形面積公式，即可求得S的最大值.【詳解】（1）∵，由正弦定理得，又，所以，所以，又，所以，所以B為銳角，所以，，所以，故，又，所以.（2）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，所以，又，所?因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以S的最大值是.考點(diǎn)二、周長及最值1．（23-24高三·河北滄州·模擬）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求角的大??；(2)若，的面積為，求的周長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理邊化角求解即得.（2）利用三角形面積公式求出，再余弦定理列方程求解即得.【詳解】（1）依題意，，在中，由正弦定理得，因此，而，則，又，所以.（2）由的面積為，得，解得，由余弦定理得，而，則，解得，，所以的周長為.2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知的內(nèi)角的對邊分別為．(1)求的值；(2)若的面積為，且，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡求得，進(jìn)而得到的值；（2）由若的面積為，求得，再由余弦定理，求得，進(jìn)而求得的周長.【詳解】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，可得，即，因?yàn)椋傻?，所以，即，所?（2）解：由（1）知，因?yàn)槿舻拿娣e為，可得，即，解得，又因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，解得，所以，所以的周長為.3．（2024·陜西·模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為．(1)求；(2)若，求的周長最小值．【答案】(1)(2)9【分析】（1）首先利用正弦定理，邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，利用余弦定理求角的值；（2）根據(jù)（1）中等式結(jié)合基本不等式求周長的最小值.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫淼?，由余弦定理知，且，所以．?）由（1）可知：，整理得，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，即，可得，所以的周長最小值.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的最小正周期與圖象的對稱中心；(2)在中，，求周長的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）易得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）由結(jié)合正弦定理得到外接圓的半徑，從而有周長，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：由題意得，，所以的最小正周期；令，則，故圖象的對稱中心為.（2）由，得，又，所以，所以，則，則.設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，由正弦定理得，，，則周長，，因?yàn)?，所以，故，因?5．（2024·陜西漢中·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，請從下列條件中選擇一個(gè)條件作答：（注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）①記的面積為S，且；②已知．(1)求角A的大??；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）選①，利用數(shù)量積的定義及三角形面積公式求解；選②，利用正弦定理邊化角，再利用差角的余弦化簡即得.（2）利用正弦定理化為角B的函數(shù)，再利用三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)求出范圍.【詳解】（1）選條件①，由，得，整理得，而，所以.選條件②，由及正弦定理，得，而，則，整理得，而，所以.（2）由（1）知，由正弦定理得，因此由為銳角三角形，得，解得，因此，則，于是，，所以周長的取值范圍是.考點(diǎn)三、邊長、線段及最值1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，，，.(1)若，求的面積.(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意計(jì)算出、及，借助面積公式即可得；（2）借助中定長，定角，則外接圓圓心到點(diǎn)的距離為定值，再計(jì)算出圓心到點(diǎn)的距離，由三角形三邊關(guān)系即可得.【詳解】（1）由，，，則，即，有，故，由，，則為正三角形，即有，，則；（2）由，，作出外接圓，令圓心為，則外接圓半徑，即有，，則，則，即有，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號成立，即的最大值為.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角差的正弦公式化簡已知式，即可得出答案；（2）由是銳角三角形，可求出，進(jìn)而求出，由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦定理可得，令，，由的單調(diào)性即可求出答案.【詳解】（1）由，結(jié)合正弦定理得，即，所以，所以或（舍去），所以.（2）在銳角中，，，，即，所以..令，，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，所以.3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且的面積為.(1)求角；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助余弦定理與面積公式可得，結(jié)合二倍角公式可得，即可得解；（2）結(jié)合題意借助向量，可得，結(jié)合模長與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得，利用基本不等式即可得其最值.【詳解】（1），結(jié)合余弦定理得，，，，即，又，，故；（2）由（1）知：，，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，長取最小值，此時(shí)，長的最小值為.4．（2024·江西鷹潭·二模）的內(nèi)角的對邊分別為，，，滿足.(1)求證：；(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)題意，化簡得到，即可得證；（2）由（1）知且，利用正弦定理得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）證明：由，可得且，所以，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，可得，即，得證.（2）解：由（1）知，且，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為5．（2024·全國·一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且AD是BC邊上的高．．(1)求角A；(2)若，，求AD．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知條件利用正弦定理角化邊，化簡后由余弦定理求出，得角A；（2）由，，得，有，得，有，再由即，解出的值.【詳解】（1）中，，由正弦定理，有，即，得，由余弦定理，，由，得.（2），，解得，則都為銳角，有，得，銳角中，，則有，，由，則，又，得，由，得，即，，，解得.6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，已知，(1)求角的大??；(2)若的角平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值，【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦函數(shù)的和差公式化簡題設(shè)條件，從而得到，由此得解；（2）利用三角面積公式推得，從而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，由于，則，所以，即，又，所以.（2）因?yàn)榈慕瞧椒志€交于點(diǎn)，且，，

根據(jù)三角形面積公式可得，等式兩邊同除以可得，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等式成立，故的最小值為.考點(diǎn)四、三角函數(shù)值及最值1．（2024·上?！と＃┮阎谥?，角所對的邊分別為，且滿足．(1)若，求的面積；(2)求的最大值，并求其取得最大值時(shí)的值．【答案】(1)或；(2)最大值，.【分析】（1）首先由余弦定理求出c，再結(jié)合三角形面積公式即可求解；（2）由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換即可求解．【詳解】（1），，，又，，．又在中，，，，因?yàn)?，所以，又在中，，，再由三角形的余弦定理得：，，即，解得或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（2），，．．其中，，，，在中，，，當(dāng)時(shí)，取到最大值，此時(shí)，．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若．(1)求的值；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由三角恒等變換公式化簡，再由正弦定理以及余弦定理公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可得到其值域.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，由正弦定理及余弦定理的推論得，所以．?）由（1）知，即，所以．因?yàn)槭卿J角三角形，所以解得．令函數(shù)，則，令，得，令，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故的取值范圍為．3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知且.(1)求證：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可把題設(shè)中的邊角關(guān)系化簡為，結(jié)合誘導(dǎo)公式及可證.（2）根據(jù)及，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式將化為，先求出角A的范圍，然后利用余弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，由余弦定理得，所以，又，所?又，，所以或，所以或，又，所以，所以，得證.（2）由（1）知，所以，又，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為.4．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足(1)求證：；(2)若為銳角三角形，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡即可.（2）利用為銳角三角形，求出，表示出，并進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),進(jìn)而求得最大值.【詳解】（1）由題，由正弦定理：，所以，整理，所以，或（舍）,.（2）為銳角三角形,解得：,所以，且由（1）問，，令，則，所以因?yàn)?當(dāng)時(shí)，所求的最大值為.5．（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．(1)若，，求的面積；(2)求的最小值，并求出此時(shí)的大?。敬鸢浮?1)(2)的最小值是5，此時(shí)【分析】（1）結(jié)合余弦定理與面積公式即可得；（2）結(jié)合三角恒等變換與三角形內(nèi)角和，將原式中多變量換成單變量，再結(jié)合基本不等式即可得.【詳解】（1）由題意得，因?yàn)?，所以，故，又，所以．因?yàn)?、是的?nèi)角，所以為鈍角，所以，所以，所以是等腰三角形，則，所以．（2）由（1）可知，在中，，即為鈍角，則，因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，由，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，結(jié)合為鈍角，即當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值是5，此時(shí)．考點(diǎn)五、內(nèi)切圓、外接圓半徑問題1．（22-23高一下·浙江·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，在以下條件中選擇一個(gè)條件：①；②；③．求解以下問題．（選擇多個(gè)條件的，以所選的第一個(gè)計(jì)分）(1)求角；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑．【答案】(1)(2)1【分析】（1）選①．由已知得，由正弦定理得化邊為角，進(jìn)而得，結(jié)合的范圍可得．選②．由正弦定理化角為邊得，則，可得．選③．由已知得，即，則，可得．（2）因?yàn)?，所以，由余弦定理求得，求得的面積，利用面積法求得內(nèi)切圓半徑．【詳解】（1）選①．因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以．選②．，則，所以，即，所以，因?yàn)?，所以．選③．因?yàn)椋?，又，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，由?）可知，所以，又，則，所以，又的面積，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，解得．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知中，角，，的對邊分別是，，，．(1)求角的大小；(2)若，外接圓的半徑為，內(nèi)切圓半徑為，求的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用正弦定理、誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式得，由，得到，得到;（2）利用余弦定理及基本不等式求得，利用等面積法求得的最大值，利用正弦定理求得，求出【詳解】（1）由及正弦定理，得，故，即，即．由，則，故，即．因?yàn)?，所以．?）由（1）和余弦定理可得，，故，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．故．由利用等面積法求得的最大值，易知，故，故，利用正弦定理，所以的最小值為2．3．（2022·湖北·三模）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知，．(1)求角的大??；(2)求外接圓半徑的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的定義結(jié)合三角形的面積公式化簡即可得出答案.（2）由余弦定理結(jié)合均值不等式可得，所以外接圓半徑的最小值，代入即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，整理得，所以，又，所以．?）因?yàn)?，，所以，故，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為4．所以.4．（2024·吉林·二模）已知的三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為的外接圓半徑為，且.(1)求;(2)求的內(nèi)切圓半徑的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化為邊，再由余弦定理求解即可；（2）根據(jù)等面積法可得出的表達(dá)式，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再由三角函數(shù)求值域即可得出范圍.【詳解】（1）由正弦定理可得，，即，所以，由可知，，所以，故.（2）因?yàn)榈膬?nèi)切圓半徑，所以，即，又因?yàn)椋裕?，由正弦定理，又，則，所以，故，所以.5．（2023·廣西南寧·一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系可得，應(yīng)用余弦定理即可求，進(jìn)而確定其大??；（2）由正弦定理有，，根據(jù)余弦定理有，結(jié)合（1）及，應(yīng)用三角恒等變換有，由三角形內(nèi)角性質(zhì)、正弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】（1）因?yàn)椋烧疫吔顷P(guān)系得，即，由余弦定理，得，又，所以，由，則.（2）由正弦定理得，所以，，由余弦定理，得，所以，利用等面積法可得，則，∵，∴，故，則，所以，故.6．（2023·山東·一模）如圖，平面四邊形中，，，．的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．(1)判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．【答案】(1)有，(2)【分析】(1)先由余弦定理求，再由正弦定理結(jié)合條件得，所以，，所以四點(diǎn)共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．由正弦定理即可求出；(2)由三角形面積公式得到，則，由正弦定理得，，化簡得，因?yàn)?，所以，即可得到的取值范圍，從而得到半徑的取值范圍．【詳解】?）在中，，所以，由正弦定理，，可得，再由余弦定理，，又，所以．因?yàn)椋?，所以四點(diǎn)共圓，則四邊形的外接圓半徑就等于外接圓的半徑．又，所以．（2）由（1）可知：，則，，則．在中，由正弦定理，，所以，，則，又，所以，所以，，即，因?yàn)?，所以．考點(diǎn)六、中線、角平分線、高線問題1．（2024·四川成都·三模）在中，．(1)求的長；(2)求邊上的高．【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理代入運(yùn)算得解；（2）求出，由等面積法求解.【詳解】（1）由題，，，，由余弦定理得，，解得，即.（2）在中，，，設(shè)邊上的高為，則，即，解得.所以邊上的高為.2．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，且．(1)求的外接圓的半徑；(2)若，且，求邊上的高．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理、三角形面積公式求解即得.（2）結(jié)合（1）的信息，求出邊a，再利用余弦定理結(jié)合已知面積關(guān)系求解即得.【詳解】（1）在中，，解得，由正弦定理得的外接圓的半徑.（2）由（1）知，，由余弦定理得，則，令邊上的高為，則，即，所以邊上的高為.3．（23-24高三上·黑龍江·期中）在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，求邊上高的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）用正弦定理邊化角即可求解；（2）用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）由正弦定理及，得.因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)椋?因?yàn)?，所?（2）由（1）及余弦定理得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，設(shè)邊上的高為，又因?yàn)?，所?即邊上高的最大值為.4．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若邊，邊的中點(diǎn)為，求中線長的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由，結(jié)合正弦定理應(yīng)用輔助角公式，根據(jù)銳角三角形中角的范圍，即可應(yīng)用三角函數(shù)值域求出范圍【詳解】（1）由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，.（2）由余弦定理得：，則.由正弦定理得所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，則.中線長的取值范圍是.5．（2023·浙江·模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為且，(1)求；(2)求邊上中線長的取值范圍．【答案】(1)6(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，分析運(yùn)算即可；（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根據(jù)，結(jié)合向量的相關(guān)運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，整理得，且，則，可得，即，且，則，由正弦定理，其中為的外接圓半徑，可得，又因?yàn)?，所?（2）在中，由余弦定理，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，可得，即設(shè)邊上的中點(diǎn)為D，因?yàn)?，則，即，所以邊上中線長的取值范圍為.6．（2023·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足________.(1)求；(2)若的面積為，為的中點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選擇條件①，利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得；選擇條件②，利用正弦定理將邊化角，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式計(jì)算可得；選擇條件③，利用誘導(dǎo)公式求出，即可得解；（2）由面積公式求出，再由，將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律及基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】（1）選擇條件①，，則，由正弦定理可得，即，所以，由，所以.選擇條件②，，由正弦定理可得即，由，所以，，顯然，所以，由，所以.選擇條件③，，即，所以，則，由，，則，所以，則.（2）由，解得.又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立，所以取最小值是.7．（23-24高一下·遼寧·期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，．(1)若，求邊上的角平分線長；(2)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦求出，再根據(jù)余弦定理及已知得，然后利用面積分割法列方程求解即可；（2）利用向量加法運(yùn)算及數(shù)量積模的運(yùn)算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍即可.【詳解】（1）由及正弦定理得，即，即，所以，因?yàn)椋?因?yàn)?，所?由余弦定理得，又，所以，由得，所以，所以，解得.（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即邊上的中線的取值范圍為.8．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的內(nèi)角，，的對邊為，，，且，(1)求；(2)若的面積為；①已知為的中點(diǎn)，且，求底邊上中線的長：②求內(nèi)角的角平分線長的最大值．【答案】(1)；(2)①；②【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，由余弦定理可得，即可由同角關(guān)系求解，（2）①根據(jù)面積公式可得，結(jié)合以及向量的模長公式即可求解，②利用等面積法可得，進(jìn)而根據(jù)半角公式可得，即可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故，因?yàn)?，所以，所以；?）①由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，且，解得，由于，所以，所以；②因?yàn)闉榻堑慕瞧椒志€，所以，由于，所以，由于，所以，由于，又，所以由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號取得到，故，故，考點(diǎn)七、三角形中的證明問題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在中，，D是斜邊上的一點(diǎn)，，.

(1)若，求和；(2)若，證明：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用正弦定理及幾何關(guān)系得出，進(jìn)而得出是等邊三角形及邊長，進(jìn)而可求解.（2）在與中，利用余弦定理列出方程組，化簡即可證明.【詳解】（1）由，，可得.因?yàn)椋栽谥校烧叶ɡ砜傻?，即，則或60°，又因?yàn)?，?因此，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，所以，又在中，，，故，所?（2）證明：令，，，.因?yàn)?，則.在與中，由余弦定理可得消去，得，整理得，所以，即.2．（2022·廣東·二模）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足．(1)證明：．(2)若，，求PC．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，即，即要證明即可，由此利用三角形內(nèi)角和證明可得結(jié)論；（2）由題意求得，繼而求得，在中利用余弦定理求得，即可求得答案.【詳解】（1）證明：在△ABP中，由正弦定理得，即，要證明，只需證明，在△ABP中，，在△ABC中，，所以，所以，所以．（2）由（1）知，又因?yàn)?，，所以，由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以，則，所以在△PBC中，，由正弦定理得，即，即．由余弦定理得，由題意知，故解得，所以．3．（22-23高一下·北京·期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)CD為△ACB的內(nèi)角平分線，且CD與直線AB交于點(diǎn)D.（i）求證:；（ii）若，，求CD的長.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系得，應(yīng)用余弦定理求C的大小；（2）（i）由角平分線兩側(cè)三角形面積比，結(jié)合等面積法及三角形面積公式證明結(jié)論；（ii）由正弦定理可得，進(jìn)而得，設(shè)并表示出，應(yīng)用余弦定理列方程求k，最后求CD的長.【詳解】（1）由題設(shè)，則，故，所以，又，故.（2）（i）由題設(shè)，若上的高為，又，，所以，即.（ii）由，則，又為銳角，故，若，則，且，，由余弦定理知：，所以，可得或，當(dāng)，則，，此時(shí)，則；當(dāng)，則，即，不合題設(shè)；綜上，.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，點(diǎn)D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點(diǎn)，且點(diǎn)D在B，E之間，．(1)求證：．(2)若，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）分別在，，中，利用正弦定理即可得證；（2）設(shè)，則，，在，中，利用正弦定理即可得證.【詳解】（1）如圖．在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．所以，所以．（2）因?yàn)椋裕煽芍?，均為銳角．由（1）知，．設(shè)，則，．由，得．在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．所以．5．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).(1)證明：(2)若，，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，利用余弦定理求得，，再根據(jù)，化簡，可求得，同理可求得，即可得證；（2）利用余弦定理求得，，再根據(jù)結(jié)合（1）求得，設(shè)，可求得，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】（1）證明：設(shè)，由余弦定理知：，，由是外心知，而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；（2）解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，設(shè)，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號，因此的最大值為.6．（22-23高一下·山東棗莊·期中）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若BD是的角平分線.（i）證明：；（ii）若，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，即可得答案；（2）（i）在和中，分別應(yīng)用正余弦定理，得出線段之間的等量關(guān)系，結(jié)合角平分線以及分式的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（ii）利用（i）的結(jié)論以及基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)橹?，，故，因?yàn)椋?；?）（i）證明：中，由正弦定理得①，

又②，同理在中，③，④，BD是的角平分線，則，則，又，故，故①÷③得⑤，即，由②④得，，則，即；（ii）因?yàn)椋?，則由⑤得，則，由以及（i）知，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號成立，故，即的最大值為.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的難點(diǎn)在于的證明，證明時(shí)要利用正余弦定理得到涉及到的線段之間的等量關(guān)系，然后利用分式的性質(zhì)進(jìn)行變形，過程比較復(fù)雜，計(jì)算量較大，因此要十分注意.考點(diǎn)八、圖形類綜合1．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知平面四邊形ABDC中，對角線CB為鈍角的平分線，CB與AD相交于點(diǎn)O，，，.

(1)求CO的長；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理得，根據(jù)同角關(guān)系以及二倍角公式可得，進(jìn)而根據(jù)面積公式即可求解，（2）根據(jù)正弦定理得，進(jìn)而由余弦定理得，利用和差角公式可得，即可由面積公式求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，解得或（舍去）.因?yàn)椋?所以，解得（負(fù)值舍去），所以.因?yàn)?，所?所以.所以.（2）在中，由正弦定理可得，則，由于為銳角，所以.因?yàn)椋?，所以，所以，由余弦定理可得，解?因?yàn)?，所以，所?2．（21-22高三上·廣東珠?！て谀┰谥?，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)已知，D為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角化結(jié)合三角恒等變換即可求解，（2）根據(jù)余弦定理求解，即可由正弦定理求解，進(jìn)而由銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】（1）∵，根據(jù)正弦定理得，，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，，，根?jù)余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以∴，∴．3．（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為，，，且．(1)求；(2)已知，為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）在中，利用余弦定理，求得，得到，進(jìn)而求得，進(jìn)而求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，可得，所以，即，所以，又因?yàn)椋傻?，所以，可?（2）解：在中，由余弦定理得

，所以，因?yàn)榍遥?，所以，又因?yàn)?，所以，所?/p>

，在中，由正弦定理得，即，解得.4．如圖，在中，，，為內(nèi)一點(diǎn)，．(1)若，求；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）中利用三角函數(shù)的定義，求出，可得，從而，

再在中算出，利用余弦定理，即可得出答案；（2）設(shè)，在中根據(jù)正弦定理建立關(guān)于的等式，解出，

利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，，，，

利用余弦定理，即可得出答案．【詳解】（1）在中，，，，可得，．，在中，由余弦定理得，即，；（2）設(shè)，可得，，在中，，中，由正弦定理得，即，，化簡得，，因此，，，所以的面積.5．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）在中，，的面積為，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn).

(1)求的面積；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，可得，，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，可得，，代入上式得解；（2）延長到點(diǎn)，使，連接，在中，利用余弦定理可得，在中由正弦定理可求得結(jié)果.【詳解】（1）在四邊形中，，，故，故，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，

又為的中點(diǎn)，則，，故.（2）設(shè)的三條邊，，分別為，，，由，知，延長到點(diǎn)，使，連接，則，，則在中，，，故由與可得，，則，，則，由正弦定理得，則.考點(diǎn)九、參數(shù)類問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在銳角三角形中，角所對的邊分別為，，且．(1)求；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角化，結(jié)合三角恒等變換即可求解，（2）根據(jù)正弦定理求解,即可利用三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解，即可結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值以及不等式的性質(zhì)求解.【詳解】（1）由題意及正弦定理得，，，，．，又．（2）在中，，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．，，由于．為銳角三角形，進(jìn)而，且，解得．又，．又，．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知在中，角所對的邊分別為，且.(1)求的值；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡題給條件，再利用正弦定理即可求得的值；（2）先化簡題給條件求得，代入題干條件進(jìn)而求得，從而得到的最小值，再結(jié)合條件求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，因?yàn)?，所?由正弦定理，得，故上式可化為.因?yàn)?，所以，由正弦定理，?（2）因?yàn)?，由正弦定理，，因?yàn)?，故，則，故，因?yàn)?，故，又，故，代入中，得，?由余弦定理，，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．（2023·湖北咸寧·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，滿足，.(1)證明：外接圓的半徑為；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合角的范圍求出角，再應(yīng)用正弦定理求出外接圓半徑即可；（2）把已知恒成立，參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為恒成立，再求出的最大值可得范圍.【詳解】（1）由，得，由正弦定理得:，化簡得.因?yàn)?，所?又，所以，所以外接圓的半徑為.（2）要使恒成立，即恒成立，即求的最大值.由余弦定理得，所以因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（2024·江蘇蘇州·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若，求的面積;(2)若，求使得恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，從而可得，再由三角形的面積公式代入計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，由余弦定理代入計(jì)算，即可得到，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，即，所以，即，則，所以，所以，且，由正弦定理可得，則，所以，則.（2）因?yàn)?，由余弦定理可得，又，則，即，所以，化簡可得，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，又，所以，故即可，所以的最小值為.考點(diǎn)十、解三角形與其他知識點(diǎn)雜糅問題1．（2022·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知，，(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，若，且，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．（2）由已知可求，求得，利用余弦定理，基本不等式可求，可得，根據(jù)，即可得解．【詳解】（1）解：因?yàn)?，且，所以即，令，，解得，．所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，（2）解：因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以由余弦定理，即，即．而，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即，又因?yàn)?，所以，即?．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別