貴州省遵義市2024-2025學(xué)年高二上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（含解析）

貴州省遵義市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊至必修第四冊11.3.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.3.已知向量，.若，則（）A B. C. D.14.將函數(shù)的圖像向左平移個最小正周期的單位長度后得到函數(shù)的圖像，則（）A. B. C. D.5.若對任意的，函數(shù)滿足，則（）A.6 B.4 C.2 D.06.一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.7.七巧板是一種古老中國傳統(tǒng)智力玩具，它是由如圖所示的七塊板組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為（）A. B. C. D.8.如圖，一艘客船在處測得燈塔在它的南偏東方向，測得燈塔在它的南偏東方向.該客船向正東方向行駛后到達(dá)處，此時客船測得燈塔在它的南偏西方向，測得燈塔在它的南偏西方向，則燈塔與燈塔之間的距離（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為深入貫徹落實全國旅游發(fā)展大會精神，文化和旅游部啟動“致敬新時代”紅色故事宣講活動.某中學(xué)積極響應(yīng)，舉行了一場“紅色故事”講解大賽，全校共60名學(xué)生參賽，比賽結(jié)束后，將這60名學(xué)生的大賽成績（單位：分）進(jìn)行整理，按50,60，60,70，，，90,100分成5組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.估計樣本的70%分位數(shù)為81.5分C.若每組數(shù)據(jù)均以中間值作代表，則估計樣本的平均數(shù)為76.5分D.若按照分層隨機(jī)抽樣的方法從大賽成績在與90,100內(nèi)的學(xué)生中共抽取7人，則90,100內(nèi)被抽取到的學(xué)生人數(shù)為310.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.BC.的圖象與軸的交點坐標(biāo)為D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱11.如圖，在中，，，，是邊上靠近點的三等分點，是邊上的動點，則的值可能為（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)，則的實部與虛部之積為________.13.已知單位向量，滿足，且，則正數(shù)的值為________.14.已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經(jīng)過球心，，，則點到平面的距離的最大值為________，球的表面積為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正四棱錐中，為底面中心，，，分別為，，的中點，點在棱上，且.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.16.，，三人參加知識闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨立.已知闖關(guān)成功的概率是，，，三人闖關(guān)都成功的概率是，，，三人闖關(guān)都不成功的概率是.（1）求，兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）求，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率.17.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點.（1）求值；（2）試判斷的奇偶性，并說明理由；（3）若，，求的取值范圍.18.在銳角中，內(nèi)角對邊分別為，且.（1）證明.（2）若點在邊上，且，求的取值范圍.19.若，是函數(shù)?x在內(nèi)的兩個零點，則定義?x的型零點旋轉(zhuǎn)函數(shù)為，且.將函數(shù)在內(nèi)所有的零點從小到大排列后，記第個零點為，集合.（1）請用列舉法寫出.（2）設(shè)函數(shù)是的1型零點旋轉(zhuǎn)函數(shù)，函數(shù)，，.（i）討論φx（ii）若φx有兩個零點，，證明.貴州省遵義市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊至必修第四冊11.3.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出.【詳解】解：，，故．故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先確定兩個集合中元素，再根據(jù)交集的定義求解，【詳解】因為，所以.故選：A．3.已知向量，.若，則（）A. B. C. D.1【正確答案】D【分析】由平行向量的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】若，則，解得.故選：D.4.將函數(shù)的圖像向左平移個最小正周期的單位長度后得到函數(shù)的圖像，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由三角函數(shù)的平移變換求解即可.【詳解】因為的最小正周期為，所以個最小正周期為，所以.故選：A.5.若對任意的，函數(shù)滿足，則（）A.6 B.4 C.2 D.0【正確答案】D【分析】用賦值法即可求解.【詳解】令，則由，可得，所以為常數(shù)函數(shù)，令，可得，故.故選：D6.一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由圓臺的體積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓臺的上、下底面半徑為，母線長為，高為h，所以，因此圓臺的高為，該圓臺的體積為.故選：B.7.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，它是由如圖所示的七塊板組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)古典概型求解即可.【詳解】如下圖，將七塊三角形編號如下，所以從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊的基本事件為：，，，，，共有種，將七巧板劃分如下，被分成個全等的三角形，設(shè)正方形的面積為，則編號的面積為，則編號的面積為，編號的面積為，任取兩塊板面積相等的基本事件為.從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為.故選：C.8.如圖，一艘客船在處測得燈塔在它的南偏東方向，測得燈塔在它的南偏東方向.該客船向正東方向行駛后到達(dá)處，此時客船測得燈塔在它的南偏西方向，測得燈塔在它的南偏西方向，則燈塔與燈塔之間的距離（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由兩角和與差的正弦、余弦公式結(jié)合正弦定理、余弦定理求解即可.【詳解】由題意可知，，所以在中，因，，由正弦定理可得：，則，解得：，在中，所以，所以在，由余弦定理可得：，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為深入貫徹落實全國旅游發(fā)展大會精神，文化和旅游部啟動“致敬新時代”紅色故事宣講活動.某中學(xué)積極響應(yīng)，舉行了一場“紅色故事”講解大賽，全校共60名學(xué)生參賽，比賽結(jié)束后，將這60名學(xué)生的大賽成績（單位：分）進(jìn)行整理，按50,60，60,70，，，90,100分成5組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.估計樣本的70%分位數(shù)為81.5分C.若每組數(shù)據(jù)均以中間值作代表，則估計樣本的平均數(shù)為76.5分D.若按照分層隨機(jī)抽樣的方法從大賽成績在與90,100內(nèi)的學(xué)生中共抽取7人，則90,100內(nèi)被抽取到的學(xué)生人數(shù)為3【正確答案】ACD【分析】利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1計算判斷A；利用頻率分布直方圖結(jié)合第百分位數(shù)、平均數(shù)的意義計算判斷BC；利用分層抽樣求出抽取的人數(shù)作答.【詳解】對于A，由圖知，解得，故A正確；對于B，成績在內(nèi)對應(yīng)的頻率為，成績在內(nèi)對應(yīng)的頻率為，因此第70百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，，所以估計樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)約為，故B錯誤；對于C，平均數(shù)約為，故C正確；對于D，在與90,100學(xué)生的人數(shù)之比為，則應(yīng)選取成績在90,100內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象與軸的交點坐標(biāo)為D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【正確答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象確定其最小正周期，求出，判斷A；利用特殊值可求出，進(jìn)而求出的圖象與軸的交點坐標(biāo)，判斷BC；判斷的圖象關(guān)于點對稱，即可判斷D.【詳解】由圖可知，的最小正周期，則，A正確；由圖象可知時，函數(shù)無意義，故，由，得，即，則，即的圖象與軸的交點坐標(biāo)為，B，C錯誤；由于，則的圖象關(guān)于點對稱，可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.故選：AD11.如圖，在中，，，，是邊上靠近點的三等分點，是邊上的動點，則的值可能為（）A. B. C. D.【正確答案】ABD【分析】先用余弦定理求出，再將向量用基底表示，借助向量運算性質(zhì)計算即可.【詳解】由，解得.設(shè)，則.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)，則的實部與虛部之積為________.【正確答案】【分析】運用復(fù)數(shù)乘法進(jìn)行化簡計算，再根據(jù)實部虛部概念計算即可.【詳解】，則虛部為?2，實部為，乘積為.故答案為.13.已知單位向量，滿足，且，則正數(shù)的值為________.【正確答案】【分析】由數(shù)量積的定義求出，再對兩邊同時平方代入化簡即可得出答案.【詳解】因為，是單位向量，且，所以，所以，所以，解得：或.則正數(shù)的值為.故答案為.14.已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經(jīng)過球心，，，則點到平面的距離的最大值為________，球的表面積為________.【正確答案】①.4②.【分析】利用正弦定理求得外接圓半徑，結(jié)合題意可得球的半徑，再利用球的截面性質(zhì)與球的表面積公式即可得解.【詳解】在中，，.根據(jù)正弦定理（為外接圓半徑），這里，，所以，解得.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，所以球的半徑.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，當(dāng)垂直于平面時，點到平面的距離最大，這個最大值就是球的半徑，所以點到平面的距離的最大值為.則球的表面積為.故；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正四棱錐中，為底面中心，，，分別為，，的中點，點在棱上，且.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）利用三角形中位線證明，可證平面.（2）證明，，可證得平面，平面，所以平面平面.【小問1詳解】連接，正四棱錐中，為底面中心，則為中點，又為的中點，則有，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】，分別為，的中點，則有，平面，平面，則有平面，，分別為，的中點，有，又，則有，平面，平面，則有平面，平面，，所以平面平面.16.，，三人參加知識闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨立.已知闖關(guān)成功的概率是，，，三人闖關(guān)都成功的概率是，，，三人闖關(guān)都不成功的概率是.（1）求，兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）求，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率.【正確答案】（1），兩人各自闖關(guān)成功的概率都是.（2）【分析】（1）記三人各自闖關(guān)成功分別為事件，三人各自獨立闖關(guān)，由題意結(jié)合獨立事件的概率公式可列出方程組，從而解得，兩人各自闖關(guān)成功的概率；（2）三人中恰有兩人闖關(guān)成功為事件，利用獨立事件和互斥事件的概率公式計算即可．【小問1詳解】記三人各自闖關(guān)成功分別為事件，三人闖關(guān)成功與否得相互獨立，且滿足，解得，，所以，兩人各自闖關(guān)成功的概率都是.【小問2詳解】設(shè)，，三人中恰有兩人闖關(guān)成功為事件，則，所以三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率為.17.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點.（1）求的值；（2）試判斷的奇偶性，并說明理由；（3）若，，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）奇函數(shù)，理由見解析（3）【分析】（1）把圖像上的點代入函數(shù)解析式即可求的值；（2）由函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明；（3）由函數(shù)單調(diào)性解不等式，取最值解決恒成立問題.小問1詳解】函數(shù)的圖像經(jīng)過點，有，即，解得.【小問2詳解】為奇函數(shù)，理由如下：由（1）得，函數(shù)定義域為R，，所以為奇函數(shù).【小問3詳解】函數(shù)和在R上都增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增，由，則有，所以，恒成立，則有，所以的取值范圍為.18.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）證明.（2）若點在邊上，且，求的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析（2）.【分析】（1）化簡已知等式結(jié)合余弦定理可得，再利用兩角和的正弦公式即可證明結(jié)論；（2）由已知條件結(jié)合正弦定理可得，根據(jù)銳角確定角C的范圍，即可求得答案.【小問1詳解】證明：因