機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論 第二章課件

機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論

(第二章）第二章空間描述和變換本章內(nèi)容2.1概述2.2描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系2.3映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換2.4總結(jié)2.5變換算法2.2描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系描述：描述可用來確定一個(gè)操作系統(tǒng)處理的各種對(duì)象的特性。這些對(duì)象包括零件、工具和操作臂本身。描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系向量向相應(yīng)軸的投影注意：位置矢量必須附加信息，標(biāo)明是在哪一個(gè)坐標(biāo)系被定義的這個(gè)前置的上標(biāo)A標(biāo)明此位置矢量是在坐標(biāo)系{A}中定義的2.姿態(tài)描述對(duì)于一個(gè)剛體來說，我們發(fā)現(xiàn)不僅經(jīng)常需要表示它在空間中的位置，還經(jīng)常需要描述空間中物體的姿態(tài)。為了描述剛體的姿態(tài)，我們將在剛體上固定一個(gè)坐標(biāo)系并且給出此坐標(biāo)系相對(duì)于參考系的表達(dá)。已知坐標(biāo)系{B}以某種方式固定在物體上因此點(diǎn)的位置可用矢量描述，物體的姿態(tài)可用固定在物體上的坐標(biāo)系來描述。坐標(biāo)系{B}主軸方向的三個(gè)單位矢量，把它們?cè)谧鴺?biāo)系{A}中表達(dá)出來坐標(biāo)系{B}的單位矢量寫成在{A}中的表達(dá)矢量在坐標(biāo)系{A}三個(gè)主軸方向的投影矢量在坐標(biāo)系{A}三個(gè)主軸方向的投影矢量在坐標(biāo)系{A}三個(gè)主軸方向的投影于是，旋轉(zhuǎn)矩陣的各個(gè)分量可用一對(duì)單位矢量的點(diǎn)積來表示：兩個(gè)單位矢量的點(diǎn)積可得到二者之間夾角的余弦，因此各分量又被稱作方向余弦那么坐標(biāo)系{A}在坐標(biāo)系{B}的表達(dá)又是什么樣的？進(jìn)一步觀察上頁的式子，可以看出矩陣的行是單位矢量{A}在{B}中的表達(dá)；即因此，為坐標(biāo)系{A}相對(duì)于{B}中的表達(dá)；即以上表明旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣3.坐標(biāo)系的描述完整描述圖中的操作手位姿所需的信息為位置和姿態(tài)我們定義這樣一對(duì)包含位置和姿態(tài)信息的坐標(biāo)實(shí)體旋轉(zhuǎn)矩陣原點(diǎn)位置矢量一個(gè)參考系可以用一個(gè)坐標(biāo)系相對(duì)于另一坐標(biāo)系的關(guān)系來描述。2.關(guān)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射前面介紹了用連體坐標(biāo)系主軸的三個(gè)單位矢量來描述姿態(tài)的方法。包含三個(gè)單位矢量的旋轉(zhuǎn)矩陣被用來描述姿態(tài)。我們已知矢量相對(duì)于某坐標(biāo)系{B}的定義，怎樣求矢量相對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)系{A}的定義？且這兩個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。例2.1圖中表示坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}繞軸旋轉(zhuǎn)30度。這里軸指向?yàn)橛杉埫嫦蛲?。{B}繞軸旋轉(zhuǎn)30度在{{A}中寫出{B}的單位矢量，并且將它們按列組成旋轉(zhuǎn)矩陣，得到:已知：求出：這里，的作用是將相對(duì)于坐標(biāo)系{A}描述的映射到。注意:從映射的角度看，原矢量P在空間并沒有改變，我們只不過求出了這個(gè)矢量相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系的新的描述。3.關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射

問題：我們已知矢量相對(duì)某坐標(biāo)系{B}的描述，想求出它相對(duì)于另一個(gè)坐標(biāo)系{A}的描述。一般的情形：（1）坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{A}不具有相同的姿態(tài)（2）坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{A}原點(diǎn)不重合(1)在坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{A}之間有一個(gè)矢量偏移(2){B}相對(duì)于{A}有旋轉(zhuǎn)，用描述問題：給出，試著計(jì)算例2.2圖2-8表示了一個(gè)坐標(biāo)系{B}，它繞坐標(biāo)系{A}的軸旋轉(zhuǎn)了30度，沿平移10個(gè)單位，再沿平移5個(gè)單位。已知，求。圖2-8經(jīng)平移和旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系{B}坐標(biāo)系{B}的定義為：按照{(diào)B}的定義和已知條件進(jìn)行變換：已知：2.5變換算法混合變換（乘法變換）已知，求已知坐標(biāo)系{C}相對(duì)于坐標(biāo)系{B}，并且已知坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}。即，我們知道答案：步驟(1)將變換成：步驟(2)將變換成：步驟(3)聯(lián)立步驟(1)、(2)，消去中間項(xiàng)，得到2.逆變換已知坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的描述，即已知怎樣求{A}相對(duì)于{B}的描述？

一個(gè)可能的方法：直接