2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布10.8概率與統(tǒng)計的綜合問題教學(xué)案蘇教版

PAGE1-第八節(jié)概率與統(tǒng)計的綜合問題[最新考綱]能從探討對象中獲得數(shù)據(jù)，會用數(shù)學(xué)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，構(gòu)建模型等．考點1離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先推斷隨機變量的分布是特別類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特別類型；二是定性，對于特別類型的均值和方差可以干脆代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算，留意離散型隨機變量的取值與概率的對應(yīng)．(2024·廣州一模)某商場以分期付款方式銷售某商品，依據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)ξ的分布列為ξ234P0.4ab其中0＜a＜1,0＜b＜1.(1)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；(2)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得的利潤為200元；若顧客選擇分3期付款，則商場獲得的利潤為250元；若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為300元．商場銷售兩件該商品所獲得的利潤記為X(單位：元)．①求X的分布列；②若P(X≤500)≥0.8，求X的數(shù)學(xué)期望EX的最大值．[解](1)設(shè)購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為η，依題意得η～B(3,0.4)，則P(η＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(0.4)2×(1－0.4)＝0.288，∴購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.(2)①依題意X的取值分別為400,450,500,550,600，P(X＝400)＝0.4×0.4＝0.16，P(X＝450)＝2×0.4a＝0.8a，P(X＝500)＝2×0.4b＋a2＝0.8b＋a2，P(X＝550)＝2ab，P(X＝600)＝b2.∴X的分布列為：X400450500550600P0.160.8a0.8b＋a22abb2②P(X≤500)＝P(X＋400)＋P(X＝450)＋P(X＝500)＝0.16＋0.8(a＋b)＋a2，依據(jù)0.4＋a＋b＝1，得a＋b＝0.6，∴b＝0.6－a，∵P(X≤500)≥0.8，∴0.16＋0.48＋a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤－0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6－a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4,0.6)，E(X)＝400×0.16＋450×0.8a＋500(0.8b＋a2)＋1100ab＋600b2＝520－100a，當(dāng)a＝0.4時，E(X)的最大值為480，∴X的數(shù)學(xué)期望E(X)的最大值為480.本例融概率、分布列、函數(shù)于一體，體現(xiàn)了高考命題的最新動向，求解時可先借助分布列的性質(zhì)及題設(shè)條件“P(X≤500)≥0.8”探求得到參數(shù)a的范圍，然后借助數(shù)學(xué)期望公式建立關(guān)于參數(shù)a的函數(shù)關(guān)系式，并通過二次函數(shù)求得數(shù)學(xué)期望EX的最大值．(2024·九江二模)某企業(yè)準(zhǔn)備處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售．已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種可能10%或者20%，兩種可能對應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢．現(xiàn)處理價格為每箱8400元，遇到廢品不予更換．以一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值作為決策依據(jù)．(1)在不開箱檢驗的狀況下，推斷是否可以購買；(2)現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗．①若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%，記抽到的廢品數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若已發(fā)覺在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，推斷是否可以購買．[解](1)在不開箱檢驗的狀況下，一箱產(chǎn)品中正品的價格期望值為：Eξ＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8500＞8400，∴在不開箱檢驗的狀況下，可以購買．(2)①X的可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×0·20×0·82＝0.64，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×0·21×0·81＝0.32，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×0·82×0·20＝0.04，∴X的分布列為：X012P0.640.320.04E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.②設(shè)事務(wù)A：發(fā)覺在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則P(A)＝Ceq\o\al(1,2)×0.2×0.8×0.5＋Ceq\o\al(1,2)×0.1×0.9×0.5＝0.25，一箱產(chǎn)品中，設(shè)正品的價格的期望值為η，則η＝8000,9000，事務(wù)B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則，P(η＝8000)＝P(B1|A)＝eq\f(PAB1,PA)＝eq\f(C\o\al(1,2)×0.2×0.8×0.5,0.25)＝0.64，事務(wù)B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則P(η＝9000)＝P(B2|A)＝eq\f(PAB2,PA)＝eq\f(C\o\al(1,2)×0.1×0.9×0.5,0.25)＝0.36，∴E(η)＝8000×0.64＋9000×0.36＝8360＜8400，∴已發(fā)覺在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不行以購買．考點2概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他學(xué)問融合、滲透，情境新奇，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性．統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要留意理解實際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計算對應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題．從某技術(shù)公司開發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機抽取200件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值(記為Z)，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)公司規(guī)定：當(dāng)Z≥95時，產(chǎn)品為正品；當(dāng)Z<95時，產(chǎn)品為次品．公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元．記ξ為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)．①利用該正態(tài)分布，求P(87.8<Z<112.2)；②某客戶從該公司購買了500件這種產(chǎn)品，記X表示這500件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9545.[解](1)由頻率估計概率，產(chǎn)品為正品的概率為(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以隨機變量ξ的分布列為ξ90－30P0.670.33所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(2)由頻率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2分別為eq\x\to(x)＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.①因為Z～N(100,150)，從而P(87.8<Z<112.2)＝P(100－12.2<Z<100＋12.2)＝0.6827.②由①知，一件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(87.8,112.2)內(nèi)的概率為0.6827，依題意知X～B(500,0.6827)，所以E(X)＝500×0.6827＝341.35.本題以統(tǒng)計圖表為載體，將正態(tài)分布、二項分布、頻率分布直方圖奇妙的融合在一起，體現(xiàn)了學(xué)問的整合性與交匯融合性，搞清這些統(tǒng)計圖表的含義，駕馭好樣本特征數(shù)的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及均值與方差的運算是解決問題的關(guān)鍵．經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲得利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．依據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)依據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的均值．[解](1)當(dāng)X∈[100,130)時，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.當(dāng)X∈[130,150]時，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X＜130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.考點3概率與統(tǒng)計案例的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計案例的綜合應(yīng)用常涉及相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識別與應(yīng)用、數(shù)字特征、獨立性檢驗等基礎(chǔ)學(xué)問，考查學(xué)生的閱讀理解實力、數(shù)據(jù)處理實力、運算求解實力及應(yīng)用意識．(2024·武漢二模)某市房管局為了了解該市市民2024年1月至2024年1月期間購買二手房狀況，首先隨機抽樣其中200名購房者，并對其購房面積m(單位：平方米，60≤m≤130)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2024年1月至2024年1月期間當(dāng)月在售二手房均價y(單位：萬元/平方米)，制成了如圖2所示的散點圖(圖中月份代碼1－13分別對應(yīng)2024年1月至2024年1月)圖1圖2(1)試估計該市市民的平均購房面積eq\o(m,\s\up14(－))；(2)從該市2024年1月至2024年1月期間全部購買二手房的市民中任取3人，用頻率估計概率，記這3人購房面積不低于100平方米的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)依據(jù)散點圖選擇eq\o(y,\s\up14(^))＝eq\o(a,\s\up14(^))＋eq\o(b,\s\up14(^))eq\r(x)和eq\o(y,\s\up14(^))＝eq\o(c,\s\up14(^))＋eq\o(d,\s\up14(^))lnx兩個模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回來方程，分別為eq\o(y,\s\up14(^))＝0.9369＋0.0285eq\r(x)和eq\o(y,\s\up14(^))＝0.9554＋0.0306lnx，并得到一些統(tǒng)計量的值，如表所示：請利用相關(guān)指數(shù)R2推斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)料2024年6月份的二手房購房均價(精確到0.001)．參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈2.83，ln19≈2.94，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，eq\r(17)≈4.12，eq\r(19)≈4.36.參考公式：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up14(^))i2,\o(∑,\s\up14(n),\s\do10(i＝1))yi－\o(y,\s\up14(－))2).[解](1)eq\o(m,\s\up14(－))＝65×0.05＋75×0.1＋85×0.2＋95×0.25＋105×0.2＋115×0.15＋125×0.05＝96.(2)每一位市民購房面積不低于100平方米的概率為0.20＋0.15＋0.05＝0.4，∴X～B(3,0.4)，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)×0·4k×0·63－k，(k＝0,1,2,3)，P(X＝0)＝0.63＝0.216，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.4×0·62＝0.432，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0·42×0.6＝0.288，P(X＝3)＝0.43＝0.064，∴X的分布列為：X0123P0.2160.4320.2880.064∴E(X)＝3×0.4＝1.2.(3)設(shè)模型eq\o(y,\s\up6(^))＝0.9369＋0.0285eq\r(x)和eq\o(y,\s\up6(^))＝0.9554＋0.0306lnx的相關(guān)指數(shù)分別為Req\o\al(2,1)，Req\o\al(2,2)，則Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(0.000591,0.00605)，Req\o\al(2,2)＝1－eq\f(0.000164,0.00605)，∴Req\o\al(2,1)<Req\o\al(2,2)，∴模型eq\o(y,\s\up6(^))＝0.9554＋0.0306lnx的擬合效果更好，2024年6月份對應(yīng)的x＝18，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.9554＋0.0306ln18＝0.9554＋0.0306(ln2＋2ln3)≈1.044萬元/平方米．在兩個變量的回來分析中要留意以下2點(1)求回來直線方程要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式削減運算．(2)借助散點圖，視察兩個變量之間的關(guān)系．若不是線性關(guān)系，則須要依據(jù)相關(guān)學(xué)問轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系．(2024·鐵東區(qū)校級三模)一家大型超市托付某機構(gòu)調(diào)查該超市的顧客運用移動支付的狀況．調(diào)查人員從年齡在20至60的顧客中，隨機抽取了200人，調(diào)查結(jié)果如圖：(1)為推廣移動支付，超市準(zhǔn)備對運用移動支付的每位顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該超市預(yù)料有10000人購物，試依據(jù)上述數(shù)據(jù)估計，該超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋？(2)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99.9%的把握認(rèn)為運用移動支付與年齡有關(guān)？年齡＜40年齡≥40小計運用移動支付不運用移動支付小計200(3)現(xiàn)從該超市這200位顧客年齡在[55,60]的人中，隨機抽取2人，記這兩人中運用移動支付的顧客為X人，求X的分布列．附：k2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828[解](1)依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由頻率估計概率，依據(jù)已知可預(yù)料該超市顧客運用移動支付的概率為：eq\f(20＋25＋25＋15＋15＋10＋8＋7,200)＝eq\f(5,8)，所以超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備的環(huán)保購物袋個數(shù)為：10000×eq\f(5,8)＝6250.(2)由(1)知列聯(lián)表為：年齡＜40年齡≥40小計運用移動支付8540125不運用移動支付106575小計95105200假設(shè)移動支付與年齡無關(guān)，則K2＝eq\f(20085×65－40×102,125×75×95×105)≈56.17，∵56.17＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為運用移動支付與年齡有關(guān)．(3)X可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,22),C\o\al(2,29))＝eq\f(33,58)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,7),C\o\al(2,29))＝eq\f(11,29)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,29))＝eq\f(3,58)，所以X的分布列為：X012Peq\f(33,58)eq\f(11,29)eq\f(3,58)課外素養(yǎng)提升⑨數(shù)據(jù)分析——數(shù)據(jù)統(tǒng)計與建模求解數(shù)據(jù)分析是指針對探討對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進(jìn)行分析和推斷，形成學(xué)問的過程．主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型對信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論．在數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生能夠提升數(shù)據(jù)處理的實力，增加基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實問題的意識，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)思索問題的習(xí)慣，主動依托數(shù)據(jù)探究事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動閱歷．概率與頻率分布的綜合應(yīng)用【例1】(2024·濟寧一模)某學(xué)校為了了解全校學(xué)生的體重狀況，從全校學(xué)生中隨機抽取了100人的體重數(shù)據(jù)，結(jié)果這100人的體重全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組：第一組[45,50)，其次組[50,55)，…，第六組[70,75)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，并發(fā)覺這100人中，其體重低于55公斤的有15人，這15人體重在(40,50)公斤的有2人，[50,55)公斤的有13人，以樣本的頻率作為總體的概率．(1)求頻率分布直方圖中a，b，c的值；(2)從全校學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生，記X為體重在[55,65)的人數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重ξ近似聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ2＝25.若P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＞0.9545，則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的．試推斷該校學(xué)生的體重是否正常？并說明理由．[解](1)由題知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人，用樣本的頻率估計總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為eq\f(2,100)＝0.02，則a＝eq\f(0.02,5)＝0.004，在[50,55)上有13人，該組的頻率為0.13，則b＝eq\f(0.13,5)＝0.026，所以2c＝eq\f(1－2×0.02－2×0.13,5)＝0.14，即c＝0.07.(2)用樣本的頻率估計總體的概率，可知從全體學(xué)生中隨機抽取一人，體重在[55,65)的概率為0.07×10＝0.7，隨機抽取3人，相當(dāng)于三次獨立重復(fù)試驗，隨機變量X聽從二項分布B(3,0.7)，則P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)0.700.33＝0.027，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)0.710.32＝0.189，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)0.720.31＝0.441，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)0.730.30＝0.343，所以，X的概率分布列為：X0123P0.0270.1890.4410.343E(X)＝3×0.7＝2.1.(3)由N(60,25)得σ＝5由圖(1)知P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＝P(50≤ξ＜70)＝0.96＞0.9545.所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的．[評析]本題以學(xué)生體重狀況為背景，設(shè)計概率與統(tǒng)計、正態(tài)分布的綜合應(yīng)用．體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模(用頻率估計概率、正態(tài)分布)、數(shù)學(xué)運算(求平均數(shù)、方差、求概率)、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理(以直方圖中求平均數(shù)方差，由正態(tài)分布求概率及期望)的學(xué)科素養(yǎng)；培育了統(tǒng)計意識，經(jīng)驗“收集數(shù)據(jù)—整理數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—作出推斷”的全過程．概率與統(tǒng)計案例的綜合【例2】為了解當(dāng)代中學(xué)生喜愛文科、理科的狀況，某中學(xué)一課外活動小組在學(xué)校高一年級文、理分科時進(jìn)行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學(xué)生的問卷成果(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)依據(jù)[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科意向”學(xué)生，低于60分的稱為“理科意向”學(xué)生．(1)依據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此推斷是否有99%的把握認(rèn)為是否為“文科意向”與性別有關(guān)？理科意向文科意向總計男110女50總計(2)將頻率視為概率，現(xiàn)在從