中考數(shù)學專題復(fù)習：類比探究幾何壓軸題(有詳細解析)

的值為多少；②直線AF與直線BE的位置關(guān)系；△如圖②,若將圖①中的CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接AF，BE，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請判斷的值及直線AF與直線BE的位置關(guān)系，并說明理由；若BC=3，CE=2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當B，E如圖-①,在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,點E、F分別是BC、AC邊上的點，且EF//BC.如圖②,若將圖①中的CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接AF,BE，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請判斷的值及直線AF與直BE線的位置關(guān)系，并說明理由；若BC=3,CE=2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當B,E,F三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段AF的長.數(shù)學活動課上，小紅畫了如圖1所示的兩個共用直角頂點的等腰直角三角形ABD與等腰直角三角形.如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將等腰直角三角形ABD繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件都不變，小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.（提示：連接DC、EB并延長交于一點F）在三角形外側(cè)以AB為腰作等腰直角三角形ABD，以AC為腰作等腰直角三角形ACE，分別取斜邊BD、CE與邊BC的中點M、N、G，連接GM、GN、MN，試判斷三角形GMN的形狀，并說明理由.分析：根據(jù)已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到了△BP′A（如圖2然后連結(jié)PP′，這時再分別求出∠BP′P和∠AP′P6．閱讀理解：運用“同一圖形的面積相等”可以證明一些含有線段的等式成立，這種解決問題的......結(jié)論.EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up8(3),4)71）閱讀理解▽PAP'中，易證7PAP'=90O，且7PP'A的度數(shù)為_______，綜上可得7BPC的度數(shù)為______；8．通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補充完整。原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF∴∠FDG=180°,點F、D、G共線。根據(jù)，易證△AFG≌,得EF=BE+DF。如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°,點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都請說明理由．PF上一動點，CF⊥CE交AD于點F．請直接寫出當△AEB為直角三角形時的值．（2）類比探究：將圖2中的△ECF繞（3）拓展延伸：將圖2中的△ECF在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，設(shè)直線AC與BM的最大值與最小值．11．已知：等邊△ABC的邊長為4，點P在線段AB上如圖①,已知ΔABC是等腰三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，將ΔBCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至ΔACF連接EF（1）如圖②,如果點E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段AB（DB（AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由（2）如果點E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請在圖③的基礎(chǔ)上將圖形補充完整，并寫出13．類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊對角線，BCD為等邊三角形，試探究ACAC，BD交于點M．（類比探究）如圖（2在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD＝90°,∠OAB=∠OCD＝30°,連接AC，交BD的延長線于點M．請計算的值及∠AMB的度數(shù)；其中∠ACB=∠DCE＝90°,∠A=∠D＝30°且D、E、B在同一直線上，CE＝1，BC＝21，求點A、D之間的距離．證：AB·CD=BF·CE(若不是，請說明理由.=PA3，從而得到是定值．類比探究=∠A4PA3=∠A3PA2＝45°,”其余條件不變．請問還是定值嗎？（4）如果是，請直接寫出這個定值；如果不是，請說明理由．S3△ABC點G，求AE+BE+CE的值．ADBFCG（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．【類比探究】結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．【拓展延伸】AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．(Ⅰ)如圖1，在等邊ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B,C連結(jié)AM，以AM為系，并給予證明．（3）拓展遷移：如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°,點P在線段AB的延長線上，點D在線段CB的延長線上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°,設(shè)BP=a，請直接寫出線段BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系（用含a①AC的值為——(BD②∠AMB的度數(shù)為——(（2）類比探究BD（3）拓展延伸如圖2，在矩形ABCD和ΔDEF中，AD＝3AB，∠EDF＝90°,∠DEF＝60°,連接AF交CE的延長線AF求出當點P與點E重合時AF的長．取ΔABC邊AB的中點M，連接ME，MD．（1）如圖1，若AC=BC，∠ACB=60°,∠CAE=∠CBD=45°,取AC，BC的中點F，G，連接MF，MG，（2）如圖2，若∠ACB=90°,∠CAE=∠CBD=60°,取AC，BC的中點F，G，連接MF，MG，EF，DG，請猜想ME與MD的數(shù)量關(guān)系以及∠EMD的度數(shù)，并給出證明；（3）如圖3，當ΔABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α時，連接DE，請猜想ΔDEM的形狀以及∠EMD的值為多少；②直線AF與直線BE的位置關(guān)系；△如圖②,若將圖①中的CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接AF，BE，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請判斷的值及直線AF與直線BE的位置關(guān)系，并說明理由；若BC=3，CE=2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當B，E【解析】【分析】（1）①利用三角函數(shù)可求出再通過線段的差進行轉(zhuǎn)化可得出AF=3BE，即可得出答案；②根據(jù)7ACB=90°,即可得出直線AF與直線BE的位置關(guān)系；（2）先利用三角函數(shù)求出CF與EC，AC與BC的關(guān)系，再證出ACF∽BCE，利用相似的性質(zhì)即可得（3）根據(jù)題意可畫出兩種滿足題意的圖形，再利用（2）中的結(jié)論即可求出答案.【詳解】解1）①∵在△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,EF//AB,°,，，'.':△如圖，延長BE交AC于點H，交AF于點G，'.'Δo'.'【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)、相似的判定和性質(zhì)等知識.結(jié)合圖形綜合運用所學知識進行證明是解題的關(guān)鍵.如圖-①,在△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,點E、F分別是BC、AC邊上的點，且EF//BC.AF①的值為；②直線AF與直線BE的位置關(guān)AF如圖②,若將圖①中的CEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，連接AF,BE，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，請判斷的值及直線AF與直BE線的位置關(guān)系，并說明理由；若BC=3,CE=2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當B,E,F三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段或【解析】【分析】（1）①根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)即可解決問題；②根據(jù)已知可直接得出答案；（2）只要證明△ACF~△BCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得的值，也可得∠BCE=∠CAF，繼而推導(dǎo)（3）分兩種情況畫出圖形分別解決即可.【詳解】(1)①∵在△ABC中，∠ABC=90°,∠A=30°,EF//AB，②∵∠ACB=90°,ACAC:如圖，延長BE交AC于點H，交AF于點G，::'.'(3)①如圖，∵ΔECB∽ΔFCA，∴AF：BE=CF：，∵∠EFC=30°,∴∠AFB=90°,在RtΔABF中②如圖，當E、B、F共線時，同法可證或【點睛】本題是三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，本題綜合性較強，有一定的難度，正確尋找相似三角形、運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.數(shù)學活動課上，小紅畫了如圖1所示的兩個共用直角頂點的等腰直角三角形ABD與等腰直角三角形.如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將等腰直角三角形ABD繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件都不變，小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？請說明理由.（提示：連接DC、EB并延長交于一點F）在三角形外側(cè)以AB為腰作等腰直角三角形ABD，以AC為腰作等腰直角三角形ACE，分別取斜邊BD、CE與邊BC的中點M、N、G，連接GM、GN、MN，試判斷三角形GMN的形狀，并說明理由.【答案】操作發(fā)現(xiàn)：MG=NG，MG⊥NG；類比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由見解析；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由見解析．【解析】【分析】即：∠BHD=90°,最后用三角形中位線定理即可得出結(jié)論；類比思考：同操作發(fā)現(xiàn)的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結(jié)論；深入探究：同操作發(fā)現(xiàn)的方法即可得出結(jié)論．【詳解】∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴△ACD≌△AEB（SAS∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,故答案為：MG=NG，MG⊥NG；類比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由：如圖2，連接DC、EB并延長交于一點F同操作發(fā)現(xiàn)的方法得，MG=NG，同操作發(fā)現(xiàn)的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠CEF+∠ECF=∠AEF-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°,深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由：如圖3，連接CD，BE相交于點H，∴△MGN是等腰直角三角形．△MGN是等腰直角三角形，理由見解析．【點睛】本題是三角形綜合題，考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確作出輔助線用類比的思想解決問題是解題的關(guān)鍵．分析：根據(jù)已知條件比較分散的特點，我們可以通過旋轉(zhuǎn)變換將分散的已知條件集中在一起，于是將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到了△BP′A（如圖2然后連結(jié)PP′，這時再分別求出∠BP′P和∠AP′P則△BPP′為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PP′=22，PB=2，∠BP′P=45°,利BP′A=45°+90°=135°2）把△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到了△BP′A，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BH=1BP′=2，P′H=3BH=23，得到P′P=2P′H=43，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′為直角三角形，且∠AP′P=90°,于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°.（1）如圖2(BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到了（BP′A(（2）如圖3(（六邊形ABCDEF為正六邊形，（BP′=BP(（P′H=PH(1點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理與逆定理以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．【答案】（1）AB=3EH；CG=2EH23）ab．【解析】試題分析1）本問體現(xiàn)“特殊”的情形，=3是一個確定的數(shù)值．如答圖1，過E點作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最后求得比值；（2）本問體現(xiàn)“一般”的情形，=m不再是一個確定的數(shù)值，但（1）問中的解題方法依然適用，如答圖2所示．（3）本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將（12）問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)化到梯形中，如答圖3所示解1）依題意，過點E作EH∥AB交BG于點H，如圖1所示．則有ΔABF∽△EHF，故答案為：AB=3EH；CG=2EH（2）如圖2所示，作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB．（3）如圖3所示，過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則有EH∥AB∥CD．故答案為：ab．考點：相似形綜合題．6．閱讀理解：運用“同一圖形的面積相等”可以證明一些含有線段的等式成立，這種解決問題的結(jié)論.－h(huán)2（2EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(1),3)2）或【解析】試題分析1）連接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM兩個三角形，根據(jù)三角形的面積公式分別求解，再根據(jù)S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h．（2）先根據(jù)直線關(guān)系式求出A、B、C三點的坐標利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，再分點M在線段BC上和CB的延長線上兩種情況討論求解．證明：連接OA，A4，0B（0，3同理求得C（1，0①當點M在BC邊上時，由h1+h2=h得：1313②當點M在CB延長線上時，由h1－h(huán)2=h得：1OB=y－1，y=3+1=4，把它代入y=－3x+3中求得：x=-,313綜上所述點M的坐標為2）或4）.點睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用等腰三角形兩邊相等的性質(zhì)和三角形面積的關(guān)系，利用面積求解在幾何解答題中經(jīng)常用到，同學們在答題時一定要靈活運用．71）閱讀理解▽PAP'中，易證7PAP'=90O，且7PP'A的度數(shù)為_______，綜上可得7BPC的度數(shù)為______；【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定可知△CP′P是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)知∠CP′P=60°,根據(jù)勾股定理逆定理可得ΔAP′P是直角三角形，繼而可得答案．是等腰直角三角形，所以∠APC=90°;（3）如圖3，將ΔABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ΔACG，連接DG．則BD=CG，根據(jù)勾股定理求CG的長，【詳解】（1）把ΔBPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ΔAP'C，連接PP′（如圖1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知ΔCP′P是等邊三角形；在ΔAP′P中∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°.（2）如圖2，把ΔBPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得ΔAP'C，連接PP′．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知ΔCP′P是等腰直角三角形；∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°將ΔABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ΔACG，連接DG．則BD=CG，∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°,【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，8．通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補充完整。原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF∴∠FDG=180°,點F、D、G共線。根據(jù)，易證△AFG≌,得EF=BE+DF。如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°,點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都【答案】解1）SAS；△AFE。（3）BD2+EC2=DE2。理由見解析【解析】試題分析在△AFG和△AEF中△AFG≌△AEF（2）如圖，把△ABE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，連接FG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得BE=DG，∠B=∠ADG，若EF=BE+DF，則GF=DG+DF?！帱cF、D、G共線?！唷螦DF+∠ADG180°,即∠B+∠D=180°。（3）根把△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG，可使AB與AC重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和勾股定理，可得到BD2+EC2=DE2。BD2+EC2=DE2。推理過程如下：∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°。2+CG2=EG2?！吒鶕?jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∠CAG=∠BAD?！唷螮AG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD。又∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AD=AG，AE=AE，又∵CG=BD，∴BD2+EC2=DE2。①特殊情形：若MP過點A，NP過點D，則=.請說明理由．PF【答案】(1)①特殊情形EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up13(1),2)②類比探究是定值，理由見解析或【解析】【分析】【詳解】:1則為定值；過點E、F分別作直線BC的垂線交于點G，H，2故或【點睛】本題考查的圓知識的綜合運用，涉及到解直角三角形的基本知識，其中3要注意分類求解，避免遺漏．（2）類比探究：將圖2中的△ECF繞（3）拓展延伸：將圖2中的△ECF在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，設(shè)直線AC與BM的最大值與最小值．最大值為25-2，最小值為25+2．【解析】【分析】(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，取AD中點N，連接MN，BN，BM，BM、MN【詳解】（正方形ABCD，（（（AC（DE，（AC（DE；（BM的最大值為25-2，最小值為2【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，還考查了幾何旋轉(zhuǎn)變換和“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.【解析】試題分析1）只要證明△EPA≌△DPC，即可推出AE=CD，可得AD+AE=AD+DC=AC=4；（2）[類比探究]：如圖2中，作PK∥BC交AC于K．連接AE．利用（1）中的結(jié)論即可解決問題；推出即可解決問題；∵△PDE．△PAC都是等邊三角形，∴PE=PD，PA=PC，∠EPD=∠APC=60°,∴∠EPA=∠DPC，∴△EPA≌△DPC，∴AE=CD，∴AD+AE=AD+DC=AC=4．理由：如圖2中，作PK∥BC交AC于K．連接AE．由上面題目可知．AE+AD=AK=3．∵PD=PE，PK=PA，∴∠DPK=∠EPA，∴△PDK≌△PEA，∴DK=AE，如圖①,已知ΔABC是等腰三角形，點E在線段AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，將ΔBCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°至ΔACF連接EF（1）如圖②,如果點E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段AB（DB（AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由（2）如果點E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請在圖③的基礎(chǔ)上將圖形補充完整，并寫出【解析】試題分析1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出（EDB與FEA全等的條件BE=AF，再結(jié)合已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出（D=（AEFEBD=（EAF=120°,得出（EDB（FEA，所以BD=AF，等量代換即可得出結(jié)圖形證明DEBEFA，方法類似于（13）畫出圖形根據(jù)圖形直接寫出結(jié)論即可．（（（EF=CE，（（EDB（FEA，（（（EF=CE，（BD=AE，EB=AF，（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）考點：旋轉(zhuǎn)變化，等邊三角形，三角形全等，13．類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做等鄰邊四邊形．對角線，BCD為等邊三角形，試探究AC（1）由已知條件通過證△ABC≌△ADC可得結(jié)論；（3）如圖，把△ABC繞點逆時針轉(zhuǎn)到△ADC′處，連接CC′，通過證△ACC′∽△ABD及證△C′CD是等腰直角三角形即可求得AC與AB間的數(shù)量關(guān)系.，點睛：解第（2）小問時，需注意兩點：①根據(jù)“等鄰邊四邊形”的定義可知：使四邊形ABC’A’是等鄰邊四邊形，存在四種可能性，每種都要分析討論到，不要忽略了任何一種情況；②在討論后兩種情況時，抓住BB′是直角的平分線這一點，通過延長CB′交AB于點H構(gòu)造等腰直角三角形問題就很容易解決了.AC，BD交于點M．（類比探究）如圖（2在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD＝90°,∠OAB=∠OCD＝30°,連接AC，交BD的延長線于點M．請計算的值及∠AMB的度數(shù)；（實際應(yīng)用）如圖（3是一個由兩個都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE組成的圖形，其中∠ACB=∠DCE＝90°,∠A=∠D＝30°且D、E、B在同一直線上，CE＝1，BC＝21，求點A、D之間的距離．【解析】【分析】操作發(fā)現(xiàn):如圖（1證明ΔCOA≌△DOB（SAS即可解決問題．實際應(yīng)用:分兩種情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：操作發(fā)現(xiàn):如圖（1）中，設(shè)OA交BD于K．∵∠AOB=∠COD＝45°,∴∠COA=∠DOB，∴△COA≌△DOB（SAS∴AC＝DB，∠CAO=∠DBO，∵∠MKA=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK＝45°,在ΔOAB和ΔOCD中，∵∠AOB=∠COD＝90°,∠OAB=∠OCD＝30°,,∵∠AKM=∠BKO，∴∠AMK=∠BOK＝90°.實際應(yīng)用:如圖3-1中，作CH⊥BD于H，連接AD．3∴CH=在RtΔBCH中如圖3-2中，連接AD，作CH⊥DE于H．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．證：AB·CD=BF·CE(若不是，請說明理由.【答案】（1）32）詳見解析3）是，DF·【解析】試題分析1）先由余角的性質(zhì)得到∠A=∠CBD，從而△ABF∽△BCD,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解3）法一，在DA的延長線上取一點N，使∠DNF=∠ABC,然后由ΔFDN∽△ABC和ΔNFB∽△BEC,得到和然后整理即可得到結(jié)論；法二，取BC的中點K,連接EK,由E為AB中點，然后由ΔFDB∽△EKC,得到然后結(jié)合法一整理即可得到結(jié)論；△CEB,得到和然后整理即可得到結(jié)論；∴∠A+∠AFB=90°,∠CBD+∠AFB=90°,又∵∠ABF=∠C,∴ΔABF∽△BCD,(2)容易由∠ABC=∠AHD=∠ECD,得到∠AFB=∠EDC,從而△ABFECD(由AB=AC,DM∥BC,可得：∠ADM=∠AMD=∠ABC=∠ACB∠FMC=∠DNF,又由∠ABC=∠FHC,得∠ABF+∠FBC=∠FBC+∠ECB,∴∠ABF=∠ECB,∴△NFB∽△BEC,法二:(平行法)取BC的中點K,連接EK,由E為AB中點，1∴∠BDF=∠EKC,再由法一可知：∠DBF=∠ECB，1由法一得：DB=3，EK=BE=2，CK=BC,1法三：延長FD,CE交于點G,由法一得：∠ADM=∠AMD,∠ABF=∠ECB,∴∠BDM=∠CMD,又∵DF∥BC,∴∠G=∠ECB,∴∠G=∠ABF,又∵GD∥BC,DE=1，BE=2，∴△GED∽△CEB,∴DE=——==PA3，從而得到是定值．類比探究=∠A4PA3=∠A3PA2＝45°,”其余條件不變．請問還是定值嗎？（4）如果是，請直接寫出這個定值；如果不是，請說明理由．【答案】（1）這個定值為EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up14(1),2)2）是定值，證明見解析3）是定值4）【解析】【分析】4，由此即可解決問題．【詳解】1解1）這個定值為．1故答案為（2）證明：如圖1，作∠PA1M＝60°,A1M交A21=∠PA1M＝60°,1，3A1P=∠A2A1M又A3A1＝A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，1A3P≌△A1A2M3＝MA2，1，是定值．（3）結(jié)論：是定值．（4在A4P上截取AH＝A2P，連接HA1．“四邊形A1A2A3A4是正方形，:A4A1＝A2A1，“∠A1A4H=∠A1A2P，A4H＝A2P，:△A1A4H纟△A1A2P，:A1H＝PA1，∠A4A1H=∠A2A1P，:∠HA1P=∠A4A1A2＝90。:△HA1P的等腰直角三角形，2，【點睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、正五邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up2(邊),S)△ABCAF3S3△ABC點G，求AE+BE+CE的值．ADBFCGS3SAD△ABC△ABC【解析】EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up6(1),3)繼而求得答案；S3△ACDAF等底三角形的面積比等于對應(yīng)高的比，即可求得S△BCE的值，繼而求得S四邊形ABEC的值；SS△ABC△ABCSADSAD△ABD△ACD拓展應(yīng)用：由同理可得繼而求得答案．（S四邊形ABEC=S△ABE+S△ACE=1SS+S3△ABC△ABD△ACD嘗試探究（ED=2，AD3（AF（EG，AFAD3S△ABC33類比延伸：S四邊形ABEC=AE，SAD△ABC（E為AD上的一點，（S△ABE=AE，S△ACE=AE，SADSAD△ABD△ACD（S△ABES△ACE=S△ABES△ACESSS△ABD△ACD△ABC拓展應(yīng)用S△ABES△ACE=SS△ABD△ACD=AEADSSAE △ABE△ACE=SAD△ABC同理：S△BCES△ABE=BE，S△ACES△BCE=CE，SBFSCG△ABC△ABC（AEBECE=2(S△ABES△BCES△ACE)=2.．ADBFCGS△ABC考點：面積及等積變換．（1）如圖1，在等邊△ABC中，點M是BC等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．【類比探究】結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．【拓展延伸】AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析【解析】解1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°。（2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立。理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°?！連A=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN。又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，∴∠BAM=∠CAN.∴△BAM∽△CAN?！唷螦BC=∠ACN。（1）利用SAS可證明△BAM≌△C（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣。（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到根據(jù)∠BAM=∠BAC-∠MAC，∠CAN=∠MAN-∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論。19．(Ⅰ)如圖1，在等邊ΔABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B,C連結(jié)AM，以AM為AB=MC+CN是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出AB,MC,CN三者間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．12【解析】試題分析：(Ⅰ)通過證明ΔBAM≌ΔCAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得12【解析】試題分析：(Ⅰ)通過證明ΔBAM≌ΔCAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BM=CN，從而(Ⅱ)結(jié)論不成立，通過證明ΔBAM≌ΔCAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BM=CN，由12試題解析：(Ⅰ)∵ΔABC，ΔAMN都是等邊三角形，:ΔBAM≌ΔCAN(SAS)，(Ⅱ)結(jié)論不成立，:ΔBAM≌ΔCAN(SAS)，2【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，結(jié)合圖形熟練運用相關(guān)性質(zhì)進行解題是關(guān)鍵.（3）拓展遷移：如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°,點P在線段AB的延長線上，點D在線段CB的延長線上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°,設(shè)BP=a，請直接寫出線段BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系（用含a【答案】（1）52）43）BD-BE=2a?cos55°.【解析】試題分析1）先判斷出∠BPE=∠CAD，進而判斷出△PBE≌△ACD，即可得出BD+BE=BC=5；（2）先構(gòu)造出等邊三角形，再判斷出∠BPE=∠FPD，進而判斷出△PBE≌△PFD，即可得出BD+BE=BF=4；（3）類似于（2）的方法判斷出△PBE≌△PFD得出BE=DF，再判斷出BF=2BG，利用用銳角三角函數(shù)求出BG=a?cos55°,即可BD-BE=BF=2a?cos55°.試題解析：解1）∵△ABC和△PDE是等邊三角形，∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°,∴BD+BE=BD+CD=BC=5，故答案為5；∴△FPB是等邊三角形，∴BF=PF=PB=AB-AP=4，∠BPF=60°,∴PD=PE，∠DPE=60°,∴BD+BE=BD+DF=BF=4；∴∠BPF=∠BAC=70°,∠PFB=∠C，∵AB=AC，∠BAC=70°,∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°,∵∠BPF=∠DPE=70°,在Rt△BPG中，∠PBD=55°,∴BG=BP?cos∠PBD=a?cos55°,∴BF=2BG=2a?cos55°,點睛：此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出△PBE≌△ACD，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造出等邊三角形，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求出BG，是一道中等難度的題目．①AC的值為——(BD②∠AMB的度數(shù)為——(（2）類比探究BD（3）拓展延伸【解析】分析1）①證明△COA≌△DOB（SAS得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：∠AMB=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD）（2）根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，則AC＝OC=√3，由全等三角形的性質(zhì)得∠AMB的BDODAC=√3，可得AC的長．BD詳解1）問題發(fā)現(xiàn)：BD在△AMB中，∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-(∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°,如圖2，AC=√3，∠AMB=90°,理由是：BDRt△COD中，∠DCO=30°,∠DOC=90°,∴OD＝tan30°=√3，OC3——√33同理得：OB＝tan30°=OA3OCOA∴AC＝OC=√3，∠CAO=∠DBO，BDOD在△AMB中，∠AMB=180°-(∠MAB+∠ABM）=180°-(∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°;①點C與點M重合時，如圖3，∴∠AMB=90°,AC=√3，BD2，x2-x-6=0，x1=3，x2=-2，②點C與點M重合時，如圖4，同理得：∠AMB=90°,AC=√3，BD2+（x+2）2=(2√7)2.x2+x-6=0，x1=-3，x2=2，點睛：本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，幾何變換問題，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題221）問題發(fā)現(xiàn)如圖2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝3AB，∠EDF＝90°,∠DEF＝60°,連接AF交CE的延長線AF