高考前數(shù)學(xué)必背知識及復(fù)習(xí)題

專題一集合與常用邏輯用語

知識必備

一、集合

1.集合的相關(guān)概念

⑴集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系：若。屬于集合出記作。￡4若6不屬于集合兒記作用4

⑶集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)五個特定的集合：

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關(guān)系

表示

文字語言記法

關(guān)系

集合力中任意一個元素都是集合B

子集

中的元素

集合

集合力是集合8的子集，并且8中405或

間的真子集

至少有一個元素不屬于力5UA

基本

集合Z中的每一個元素都是集合B

關(guān)系且3G/1

相等中的元素，集合5中的每一個元素

<^A=B

也都是集合力中的元素

空集是任何集合的子集

空集

空集是任何非空集合的真子集008且BW。

集合的三種基本運算

一文字語言圖形表示符號語言

集合的所有屬于集合或者屬于

ZAyJB={x\xE.At或

并集集合8的元素構(gòu)成的集合1

3E?B]

集合的所有屬于集合力且屬于集AV\B={x\x^A,且xW

交集合B的元素構(gòu)成的集合B}

集合的全集U中不屬于集合力的

CM={x|x￡U,且遙4}

補集所有元素構(gòu)成的集合I?

4.集合基本運算的常見性質(zhì)

(1)并集的性質(zhì)：AU0=A；AUA=A；A\JB=B\JAx

(2)交集的性質(zhì)：4門0=0；AQA=A；AC\B=BC\A\AC\B=A^A^B.

(3)補集的性質(zhì)：ZU(Cwl)=U；/n((\X)=0；

CL。n")=&/)u(C〃5);U8)=(C(X)n(Cc￡).

二、充分條件與必要條件

1.命題的概念

用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫

做假命題.

2.四種命題及其關(guān)系

四種命題間的相互關(guān)系四種命題的真假關(guān)系

雁贏、一互逆一八嬴窗、（1）兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的

真假性；

個命題：否命正、（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的

展圖則切.互逆1■更明則，J真假性沒有關(guān)系

3.充分條件與必要條件的相關(guān)概念

記p,g對應(yīng)的集合分別為力，B,則

p是夕的充分條件p0qAQB

〃是夕的必要條件滬pA2B

〃是4的充要條件p0q且q0pA=B

p是夕的充分不必要條件pOq且q#pAuB

p是夕的必要不充分條件pAq且夕="AnR

P是夕的既不充分條件也不

pA夕且q#pA^BRA^B

必要條件

4.熟記常用結(jié)論

①.充分條件與必要條件的兩個特征

⑴對稱性：若p是夕的充分條件，則夕是p的必要條件，即“p=〃o"E.

（2窗遞性：若〃是夕的充分（必要）條件，夕是「的充分（必要）條件，則p是/?的充分（必要）條件，即“p=夕且夕寸/0

“夕"r”（“內(nèi)夕且夕仁r”=“盧r”）.

②.利用互為逆否命題“同真、同假”的特點，可得：

（l）p=夕等價于一1夕,一1p；

3qAp等價于p盧-iq.

三、全稱量詞與存在量詞

1.命題pAg,p7q,㈱〃的真假判斷

pq「夕

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

2.全稱量詞與存在量詞

量詞名稱常見量詞表示符號

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個等V

存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、某個、有些、某些等3

3.全稱命題與特稱命題

命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡記

全稱命題對M中任意一個x,有p(x)成立VxWM,p(x)

特稱命題存在M中的一個xo,使p(xo)成立p(xo)

4.全稱命題、特稱命題及含一個■詞的命題的否定

命題

語言表示符號表示命題的否定

名稱

全稱對M中任意一個x,有p(x)VxEW,

3x^M,-ip(xo)

命題成立P(x)

特稱存在M中的一個xo?使

3x^Mt

命題p(xo)成立P(xo)

真題再現(xiàn)

1.【2020年高考全國I卷文數(shù)】已知集合4={4|%2-34-4<0}津={-4,1合,5},則「05=

A.{-4J}B.{1,5}

C.{3,5}D.{153}

【答案】D

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合出之后利用交集中元素的特征求得“flB,得到結(jié)果.

【詳解】由丁一3工一4<0解得一lvx<4,

所以4={x|-l<xv4},

又因為5={-4J3,5},所以4n5={1,3},

故選D.

【點睛】本題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識點有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運算，屬

于基礎(chǔ)題目.

2.【2020年高考全國H卷文數(shù)】已知集合/={小|<3,xWZ},小{刈沖>1,x￡Z},則4nB=

A.0B.{-3,-2,2,3)

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

解絕對值不等式化簡集合4B的表示，再根據(jù)集合交集的定義進行求解即可.

【詳解】因為4={MW<3,X￡Z}={-2,T0,1,2},

B-卜卜|>l,x￡Z}={xk>^x<T,x￡Z},

所以4n8={2,-2}.

故選D.

【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【2020年高考全國III卷文數(shù)】已知集合/={123,5,7,11},B={x\3<x<\5}f則408中元素的個數(shù)為

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

采用列舉法列舉出4nB中元素的即可.

【詳解】由題意,4c5={5,7,11},

故zne中元素的個數(shù)為3.

故選B.

【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易題.

4.【2020年高考天津】設(shè)全集。={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合力={-1,0,1,2},8={-3,0,2,3},則4n(電8)=

A.{-3,3}B.{0,2}

C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3}

【答案】C

【解析】

【分析】

首先進行補集運算，然后進行交集運算即可求得集合的運算結(jié)果.

【詳解】由題意結(jié)合補集的定義可知名3=卜2,-11},則/n(4.3)={-14}.

故選C.

【點睛】本題主要考查補集運算，交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【2020年高考北京】已知集合力={-1,0,1,2},B={x\Q<x<3},則405=

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{-1,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)交集定義直接得結(jié)果.

【詳解】AI8={-1,0,1,2}1(0,3)={1,2},

故選D.

【點睛】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

6.【2020年高考天津】設(shè)。ER,則是“02>。，，的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.

【詳解】求解二次不等式/可得：或。<0,

據(jù)此可知：是的充分不必要條件.

故選A.

【點睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.

7.【2020年新高考全國I卷】設(shè)集合4={卻男3},B={x|2<x<4},則/U8=

A.{x|2<x<3}B.{x|2<r<3}

C.{x|l<r<4}D.{x|l<^<4}

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)集合并集概念求解.

【詳解】4U3=[1,3]U(2,4)=[1,4).

故選c

【點睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

8.【2020年高考浙江】已知集合P={x"<x<4},Q={x\2<x<3},則尸10=

A.{x|l<x<2}B.{x\2<x<3}

C.{x|3<x<4}D.{x\\<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)集合交集定義求解

【詳解】PIe=(1,4)1(2,3)=(2,3).

故選B.

【點睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

9.【2020年高考浙江】已知空間中不過同一點的三條直線/,而，,m,〃共面"是“，ni,〃兩兩相交”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件.

【詳解】依題意，加,〃，/是空間不過同一點的三條直線，

當(dāng)在同一平面時，可能相〃山〃,故不能得出7%〃,/兩兩相交.

當(dāng)兩兩相交時，設(shè)mc〃=4mc/=3,〃c/=C,根據(jù)公理2可知孫〃確定一個平面。，而

Bwmua,Cwttua,根據(jù)公理1可知，直線即/ua,所以旭,〃,/在同一平面.

綜上所述，“〃?,〃,/在同一平面''是兩兩相交”的必要不充分條件.

故選B

【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理1和公理2的運用，屬于中檔題.

10.【2020年高考北京】已知戶wR,則“存在AwZ使得a=E+(—l)?￡”是“sina=sin△”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導(dǎo)公式分類討論即可判斷.

【詳解】(1)當(dāng)存在reZ使得。=而+(-球夕時,

若左為偶數(shù)，則sina二sin(E+p)=sin。；

若左為奇數(shù)，則sina=sin(E-/?)=sin■〃一1)兀+兀一/]=sin(兀一￡)=sin/7；

(2)當(dāng)sina=sin/時，a=4+2相?；騛+￡=7i+2〃m,wGZ,即a=加+(—1了￡(左=2〃z)或

a=E+(-1)*.(左=2m+1),

亦即存在斤eZ使得a=質(zhì)+(-及//.

所以，“存在％cZ使得a=E+(-1)"尸”是"sina=sin4”的充要條件.

故選C.

【點睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，涉及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

11.【2020年高考江蘇】已知集合4={-1,0,1,2},5={0,2,3},則4n8=.

【答案】{0,2}

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的交集即可計算.

【詳解】???4={-1,0,1,2},8={0,2,3},

：.AlB={0,2}.

故答案為{0,2}.

【點睛】本題考查了交集及其運算，是基礎(chǔ)題型.

12.12020右高考全國II卷文數(shù)】設(shè)有下列四個命題：

pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

?。喝艨臻g兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/U平面a,直線機J?平面a,則

則下述命題中所有真命題的序號是.

①Pl八04②POP2③「02Vp3④M3V-1P4

【答案】@??

【解析】

【分析】

利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題小的真假；利用三點共線可判斷命題夕2的真假；利用異面直線可判斷命

題23的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題P4的真假.再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論.

【詳解】對于命題P1,可設(shè)4與4相交，這兩條直線確定的平面為

若，3與4相交，則交點力在平面。內(nèi)，

同理，4與72的交點8也在平面a內(nèi)，

所以，ABua,即gua,命題由為真命題；

對于命題22,若三點共線，則過這三個點的平面有無數(shù)個,

命題02為假命題；

對于命題。3,空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題Pi為假命題；

對于命題04,若直線相1?平面。，

則加垂直于平面a內(nèi)所有直線，

???直線/u平面a,.??直線加1.直線/,

命題R為真命題.

綜上可知，A，P4為真命題，0，用為假命題，

Pi八應(yīng)為真命題，〃|八。2為假命題，

「P2Vp3為真命題，一歸3丫L〃為真命題?

故答案為①③④.

【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中

等題.

專題二函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)

知識必備

一、函數(shù)的概念及其表示

1.函數(shù)

設(shè)4"是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系力使對于集合力中的任意一個數(shù)』在集合B中都有唯一確定

的數(shù)風(fēng)丫)和它對應(yīng)，稱力為從集合力到集合B的一個函數(shù)xGJ

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)j，=/a),xWN中，x叫做自變量，x的取值范圍/叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對

應(yīng)的J，值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合如)|xW/｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

(4)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).

(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實際出發(fā).

(2)如果函數(shù)j，=/(x)用表格給出，則表格中x的集合即為定義域.

⑶如果函數(shù)j，=/(x)用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義域.?

值域是一個數(shù)集，由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系共同確定.

(1)分段函數(shù)雖由幾個部分構(gòu)成，但它表示同一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交.?

4.常用結(jié)論

(1)若用:)為整式，則函數(shù)的定義域為R；

(2)若小)為分式，則要求分母不為0；

(3)若用:)為對數(shù)式，則要求真數(shù)大于0;

(4)若人x)為根指數(shù)是偶數(shù)的根式，則要求被開方式非負(fù)；

⑸若/(x)描述實際問題，則要求使實際問題有意義.

如果/(戈)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，求定義域常常等價于解不等式(組).

二、函數(shù)的單調(diào)性與最值

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)加)的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩

定義個自變量的值X”X2

當(dāng)XIWY2時，都有力⑴勺g),那么就說函數(shù)於)在區(qū)間。當(dāng)時，都有

上是增函數(shù)於1)次T2)，那么就

說函數(shù)人刈在區(qū)間

。上是減函數(shù)

圖象描述

—5

自左向右看圖象

自左向右看圖象是上升的

是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)＞=/)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)p=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間。叫做

y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前

設(shè)函數(shù)加)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足

提

條對于任意工曰，，都有人x)WM；對于任意xR/,都有

件存在使得/(xo)=M存在xo￡/,使得/tro)=M

結(jié)

M為最大值M為最小值

論

三、函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有4-x)=/(x),

偶函數(shù)關(guān)于J，軸對稱

那么函數(shù)/(X)是偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有人一X)=—fix),

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

那么函數(shù)八r)是奇函數(shù)

2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)j，=/(x),如果存在一個非零常數(shù)r,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有｛x+7)=/a),那

么就稱函數(shù)『=人2為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做人。的最小正周期.

3.函數(shù)的周期性

(1)如果一個奇函數(shù)/(x)在原點處有定義，即八0)有意義，那么一定有人0)=0.

(2)如果函數(shù)凡丫)是偶函數(shù)，那么｛x)=AH).

(3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(4)函數(shù)周期性常用結(jié)論

對Hx)定義域內(nèi)任一自變量的值X：

①若/(x+a)=—/(x),則r=2a(a>0).

②若則T=2〃(〃>0).

/(x)

③若/(x+0=—則r=2a(心0).

f(x)

(5)對稱性的三個常用結(jié)論

①若函數(shù)j，=/a+。)是偶函數(shù)，則函數(shù)j，=/a)的圖象關(guān)于直線對稱.

②若對于R上的任意x都有/(2a—x)=/(x)或八一x)=/(2a+x),則了=心)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

③若函數(shù)j，=Ax+〃)是奇函數(shù)，則函數(shù)尸=加:)的圖象關(guān)于點(方，0)中心對稱.

四、二次函數(shù)與塞函數(shù)

1.事函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，形如p=L(a￡R)的函數(shù)稱為零函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù).

(2)5個常見幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2

2l

函數(shù)y=xy=x尸X3y=x2y=x-

定義域RRR{x|x20}{x|xW0}

值域R3亞20}R刨冷0}皿*0}

非奇豐偶

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

函數(shù)

在(一8,0)±

在(一8,0)

在R上單調(diào)遞單調(diào)遞減，在在R上單調(diào)遞在(0,十8)上

單調(diào)性和(0,+8)

增(0,+8)上單增單調(diào)遞增

上單調(diào)遞減

調(diào)遞增

圖象

過定點(0,0),(1,1)(U)

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

h

一般式fix)=ar2+加c+c(aWO),圖象的對稱軸是x=——,頂點坐標(biāo)是

2a

b4ac-b2.

(?)

2a4a

頂點式fix)=a(.v—m)20),圖象的對稱軸是工=m，頂點坐標(biāo)是(/?,〃)

/(x)=〃(x—xi)(x—X2)(〃W0),其中xi,xz是方程ax2+bx+c=0的兩根，圖象的對

零點式

稱軸是x=5上殳

2

(2)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)p=ar2+bx+c(a>0)『=aax2+bx+《a〈0)

%

圖象

(拋物線)

定義域R

22

r4ac-b、/4ac-b,

值域[4a小)(y,]

44a

b

對稱軸x=——

la

b4ac-b2

頂點坐標(biāo)(C，A)

2a4a

奇偶性當(dāng)〃=0時是偶函數(shù)，當(dāng)時是非奇豐偶函數(shù)

在(-8,-^］上是減函數(shù)；在(-8,-2］上是增函數(shù)；

la

單調(diào)性

在［-2,+8)上是增函數(shù)在［-2,+8)上是減函數(shù)

2a2a

3.常用結(jié)論

①.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

?>0a<0

②.若｛AOnaW+bx+cSWO),則當(dāng)《時恒有於)>0,當(dāng)〈時，恒有/(x)<0.

A<0[A<0

五、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1.根式

(1)概念：式子后叫做根式，其中，，叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì)：(標(biāo))〃=a(。使后有意義)；當(dāng)〃為奇數(shù)時，當(dāng)〃為偶數(shù)時，"7=回=［"'""°'

-a,a<0

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

⑴規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是益=痂(?>O,mt//GN\且〃>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事的

意義是a"=-^=(a>0,m,〃￡N*,且〃>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)寨等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

rr

(2)有理指數(shù)嘉的運算性質(zhì)：")、=空；(abY=abf其中公>0,b>0,r,sGQ.

3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴概念：函數(shù)7=。丫僅>0且。工1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)*是自變量，函數(shù)的定義域是R,。是底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<a<l

圖象吧——尸1一+1工廠1

o|-1-*o|~

定義域R

值域(0,+8)

過定點(0,1),即x=0時，y=i

當(dāng)x>0時,y>l；當(dāng)x〈0時，y>l：

性質(zhì)

當(dāng)XV0時，0Vy<l當(dāng)x>0時，0v-l

在(-8,+8)上是增函數(shù)在(一8,+8)上是減函數(shù)

4.常用結(jié)論

(1)畫指數(shù)函數(shù)j，=?'(a>0,且aWl)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1,?),(0,1),|-L-

Ia

(2)在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y=/(〃>0且。W1)的圖象越高，底數(shù)越尢

六、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)的概念

如果且“W1),那么x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log?N,其中“叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì)

⑴對數(shù)的性質(zhì)：①"。g，=N；②logMf(a>0,且“W1).

(2)對數(shù)的運算法則

如果。>0且“WLM>0,20,那么

①loga(M/V)=log“A/+lOgaN；

②10ga=10gaM—IOgaAr；

N

③logaM"=HogaA/(〃￡R)；

④10gomAf*=—log?M(/n,〃￡R,且WO).

m

log

(3)換底公式：10馴丫=/殳TN3,b均大于零且不等于1).

log小

3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)p=lo劭M〃>0,且〃W1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+8).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\031

卜T尸皿?lX=1

圖象N1，O)r

O悔0)5

定義域：(0，+8)

值域：R

當(dāng)x=l時，『=。，即過定點(1,0)

性質(zhì)

當(dāng)x>l時，戶0；當(dāng)x>l時，JYO；

當(dāng)Oavl時，產(chǎn)0當(dāng)Oyl時，y>0

在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)『=0、(4>0,且。工1)與對數(shù)函數(shù)7=1。內(nèi)3>0,且。W1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線J，=X對稱.

5.常用結(jié)論

①.換底公式的兩個重要結(jié)論

1n

(l)Iog/=---------；(2)logz?b"=一加&力.

logAam

其中a>0,且“XL歷>0,且力WLmt〃WR.

①.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

3.對數(shù)函數(shù)j，=logH“>0,且”工1)的圖象過定點(1,0),且過點(%1),|,函數(shù)圖象只在第一、四象限.

七、函數(shù)的圖象

1.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)化簡函數(shù)解析式；

(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)；其次，列表，描點，連線.

2.函數(shù)圖象的變換

(1)平移變換

①尸信)的圖象一鬻翳像裝r=Hxr)的圖象；

②產(chǎn)府)的圖象一段嶄然，，=外)+力的圖象.

“左加右減，上加下減”，左加右減只針對X本身，與x的系數(shù)，無關(guān)，上加下減指的是在/(x)整體上加減.

(2)對稱變換

①y=/3)的圖象關(guān)"軸對你＞尸-Ax)的圖象;

②伊=加)的圖象關(guān)于冏對稱—x)的圖象;

③伊=/(2的圖象的圖象;

關(guān)于直線■=.、對稱

④/=。、(。＞0且的圖象?j=log?v(<i>0且的圖象.

⑶伸縮變換

配常露鵬L尸刎)的圖第

①」=/5)的圖象

Gzy、M網(wǎng)缶。＞1，蟻坐標(biāo)伸長為原來的“倍，橫坐標(biāo)不變門、MR1缶

OF-Ax)的圖象；j^R7記i菽藏■京菽TS^―AJ=4(X)的圖象.

(4)翻折變換

①尸危)的圖象式罌鬻F尸心》的圖象;

②f2的圖象原;:黑富露產(chǎn)心I)的圖象.

3.常用結(jié)論

(1).函數(shù)圖象自身的軸對稱

①A—x)=/(x)O函數(shù)j，=/3)的圖象關(guān)于J，軸對稱；

②函數(shù)J，=a)的圖象關(guān)于x=a對稱”/m+x)=W〃-x)輪/(x)=/(2〃一發(fā))鈍/(—x)=/(2a+x)；

③若函數(shù)j，=/(x)的定義域為R,且有加+x)=/S-x),則函數(shù)j，=/(x)的圖象關(guān)于直線工=等對稱.

(2)函數(shù)圖象自身的中心對稱

①/(一刈=一介)臺函數(shù)j，=/(x)的圖象關(guān)于原點對稱；

②函數(shù)J，=a)的圖象關(guān)于(。,0)對稱經(jīng)他+刈=一加一X)鈍危)=一人24—女領(lǐng)一“尸一旭。+幻；

③函數(shù)丁=危)的圖象關(guān)于點(。，6)成中心對稱”/(“+x)=2b—/(?-.v)＜4/(.v)=2b—fila—x).

(3)兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系

①函數(shù)j，=/(a+x)與尸型一2的圖象關(guān)于直線.丫=—丁對稱(由a-\-x=b-x得對稱軸方程);

②函數(shù)j，=/(x)與y=/(2〃-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

③函數(shù)尸危)與尸2力一/(一x)的圖象關(guān)于點(0,力)對稱；

④函數(shù)『―/(X)與J，—26—/(2a—2的圖象關(guān)于點(。，6)對稱.

八、函數(shù)與方程

1.函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點的定義

對于函數(shù)我們把使〃2=0的實數(shù)X叫做函數(shù)j，=/(x)的零點.

(2)幾個等價關(guān)系

方程Hx)=o有實數(shù)根=函數(shù)j，=/(x)的圖象與逐有交點臺函數(shù)有重點一

(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)

如果函數(shù)j，=Ax)在區(qū)間句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有正㈤<0,那么函數(shù)p=/(x)在區(qū)間建出內(nèi)有

零點，即存在c￡(〃，b),使得，c)=0,這個。也就是方程於)=0的根.

2.二次函數(shù)圖象與零點的關(guān)系

J=b2~4aeJ>0J=04Vo

yy

二次函數(shù))，=如2+\\

/?2X

分+c(G>0)的圖象J

1?|-?2*OX

與X軸的交點(xl,0),(X2,0)無

零點個數(shù)210

九、函數(shù)的模型及其應(yīng)用

1.幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型

f[x)=ax+b{at。為常數(shù)，“W0)

二次函數(shù)模型2

flx)=ax+bx-\-c(atb,c為常數(shù)，”*0)

指數(shù)函數(shù)模型/(x)=W+c,(a,b,c為常數(shù)，AWO,”>0且

對數(shù)函數(shù)模型fix)=Alogflx+c(a,b,c為常數(shù)，力WO,a>0且GWI)

幕函數(shù)模型￡v)=X+b(%力為常數(shù)，aWO)

.a

“對勾”函數(shù)模型y=x+—(〃>0)

X

2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

7=。3>1)J=logor(a>l)尸爐(〃>0)

性質(zhì)

在(0,+°0)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增