第4章 專題6 一線三等角模型【2025中考數(shù)學(xué)第1輪復(fù)習(xí)考點梳理練 】(含解析)

第四章三角形專題六一線三等角模型模型特點(1)∠1，∠2，∠3的頂點在同一條直線上；(2)∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關(guān)系：∠1＝∠2＝∠3.模型結(jié)論(1)△APC和△BDP的關(guān)系是△APC∽△BDP；(2)若在(1)的條件下，增加條件AP＝BD(或AC＝BP或PC＝DP)，可得△APC≌△BDP.構(gòu)造方法方法1：若圖中存在一條直線上有一個直角時，根據(jù)一線三等角的特點，從直角的兩邊上的已知點向直角頂點所在直線作垂線，構(gòu)造一線三等角；方法2：若圖中存在一條直線上有兩個等角時，根據(jù)一線三等角的特點，補上一個與前面角相等的角．1．如圖，在等邊三角形ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°.求證：△ABP∽△PCD.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵∠APB＋∠BAP＝180°－∠B＝120°，∠APB＋∠CPD＝180°－∠APD＝120°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD.2．(一題多解)如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是邊AB上一點，過點E作EF⊥DE，交邊BC于點F，且∠EFD＝60°，求AE的長．方法一：補“兩個等角”【思維引導(dǎo)】(1)線段AB上有一個直角，需要補兩個直角；(2)過點F作FG⊥AB交AB于點G，過點D作DH⊥AB交BA的延長線于點H，此時線段HG上有三個相等角，三個相等角為∠DHE，∠DEF，∠FGE；(3)在△EGF與△DHE中再找一組相等角∠DEH和∠EFG(或∠HDE和∠GEF)；(4)確定△EGF與△DHE的關(guān)系．解：如圖1，過點F作FG⊥AB于點G，過點D作DH⊥AB，交BA的延長線于點H，圖1∴∠EGF＝∠DHE＝90°＝∠DEF，∴∠DEH＋∠FEG＝90°，∠FEG＋∠EFG＝90°，∴∠DEH＝∠EFG，∴△EGF∽△DHE，∴eq\f(EG,DH)＝eq\f(GF,HE)＝eq\f(EF,DE).又∵∠EFD＝60°，∴eq\f(EF,DE)＝eq\f(\r(3),3).∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∴∠HAD＝∠B＝60°，∴AH＝2，DH＝2eq\r(3)，∴eq\f(EG,DH)＝eq\f(EG,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，解得EG＝2.∵在△BGF中，GF＝eq\r(3)BG，HE＝2＋AE，∴eq\f(GF,HE)＝eq\f(\r(3)BG,2＋AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴AE＝3BG－2，∴AE＋BG＝3BG－2＋BG＝4BG－2＝AB－EG＝1，解得BG＝eq\f(3,4)，∴AE＝eq\f(1,4).方法二：補“一個等角”【思維引導(dǎo)】(1)線段BC上有兩個相等的角，分別為∠B，∠EFD，需要再作一個等角，延長BC至點M，使得∠CMD＝60°，此時線段BM上有三個等角；(2)在△BEF與△MFD中再找一組相等的角∠BEF和∠DFM(或∠BFE和∠MDF)；(3)確定△BEF與△MFD的關(guān)系．圖2解：如圖2，延長BC至點M，使得∠CMD＝60°.∵∠EFD＝∠B＝60°，∴∠EFB＋∠DFM＝120°，∠BEF＋∠EFB＝120°，∴∠BEF＝∠DFM，∴△BEF∽△MFD，∴eq\f(BE,MF)＝eq\f(BF,MD)＝eq\f(EF,FD).∵∠DEF＝90°，∠EFD＝60°，∴eq\f(EF,FD)＝eq\f(1,2).∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠DCM＝∠B＝60°，∴△CDM是等邊三角形，∴CD＝DM＝CM＝AB＝3，∴eq\f(BF,MD)＝eq\f(BF,3)＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(3,2)，∴CF＝eq\f(5,2)，∴eq\f(BE,MF)＝eq\f(3－AE,\f(5,2)＋3)＝eq\f(3－AE,\f(11,2))＝eq\f(1,2)，解得AE＝eq\f(1,4).3．(2023·武漢)【問題提出】如圖1，E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α(α≥90°)，AF交CD于點G，探究∠GCF與α之間的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】(1)先將問題特殊化，如圖2，當α＝90°時，直接寫出∠GCF的度數(shù)；(2)再探究一般情形，如圖1，求∠GCF與α之間的數(shù)量關(guān)系；【問題拓展】(3)將圖1特殊化，如圖3，當α＝120°時，若eq\f(DG,CG)＝eq\f(1,2)，求eq\f(BE,CE)的值．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖3))解：(1)∠GCF＝45°.(2)在AB上截取AN，使AN＝EC，連接NE.∵∠ABC＋∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＋∠FEC＋∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC.∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF(SAS)，∴∠ANE＝∠ECF.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BCD＝180°－∠ABC＝180°－α，∴BN＝BE，∴第四章三角形(解析版）專題六一線三等角模型模型特點(1)∠1，∠2，∠3的頂點在同一條直線上；(2)∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關(guān)系：∠1＝∠2＝∠3.模型結(jié)論(1)△APC和△BDP的關(guān)系是△APC∽△BDP；(2)若在(1)的條件下，增加條件AP＝BD(或AC＝BP或PC＝DP)，可得△APC≌△BDP.構(gòu)造方法方法1：若圖中存在一條直線上有一個直角時，根據(jù)一線三等角的特點，從直角的兩邊上的已知點向直角頂點所在直線作垂線，構(gòu)造一線三等角；方法2：若圖中存在一條直線上有兩個等角時，根據(jù)一線三等角的特點，補上一個與前面角相等的角．1．如圖，在等邊三角形ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°.求證：△ABP∽△PCD.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵∠APB＋∠BAP＝180°－∠B＝120°，∠APB＋∠CPD＝180°－∠APD＝120°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD.2．(一題多解)如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是邊AB上一點，過點E作EF⊥DE，交邊BC于點F，且∠EFD＝60°，求AE的長．方法一：補“兩個等角”【思維引導(dǎo)】(1)線段AB上有一個直角，需要補兩個直角；(2)過點F作FG⊥AB交AB于點G，過點D作DH⊥AB交BA的延長線于點H，此時線段HG上有三個相等角，三個相等角為∠DHE，∠DEF，∠FGE；(3)在△EGF與△DHE中再找一組相等角∠DEH和∠EFG(或∠HDE和∠GEF)；(4)確定△EGF與△DHE的關(guān)系．解：如圖1，過點F作FG⊥AB于點G，過點D作DH⊥AB，交BA的延長線于點H，圖1∴∠EGF＝∠DHE＝90°＝∠DEF，∴∠DEH＋∠FEG＝90°，∠FEG＋∠EFG＝90°，∴∠DEH＝∠EFG，∴△EGF∽△DHE，∴eq\f(EG,DH)＝eq\f(GF,HE)＝eq\f(EF,DE).又∵∠EFD＝60°，∴eq\f(EF,DE)＝eq\f(\r(3),3).∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∴∠HAD＝∠B＝60°，∴AH＝2，DH＝2eq\r(3)，∴eq\f(EG,DH)＝eq\f(EG,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，解得EG＝2.∵在△BGF中，GF＝eq\r(3)BG，HE＝2＋AE，∴eq\f(GF,HE)＝eq\f(\r(3)BG,2＋AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴AE＝3BG－2，∴AE＋BG＝3BG－2＋BG＝4BG－2＝AB－EG＝1，解得BG＝eq\f(3,4)，∴AE＝eq\f(1,4).方法二：補“一個等角”【思維引導(dǎo)】(1)線段BC上有兩個相等的角，分別為∠B，∠EFD，需要再作一個等角，延長BC至點M，使得∠CMD＝60°，此時線段BM上有三個等角；(2)在△BEF與△MFD中再找一組相等的角∠BEF和∠DFM(或∠BFE和∠MDF)；(3)確定△BEF與△MFD的關(guān)系．圖2解：如圖2，延長BC至點M，使得∠CMD＝60°.∵∠EFD＝∠B＝60°，∴∠EFB＋∠DFM＝120°，∠BEF＋∠EFB＝120°，∴∠BEF＝∠DFM，∴△BEF∽△MFD，∴eq\f(BE,MF)＝eq\f(BF,MD)＝eq\f(EF,FD).∵∠DEF＝90°，∠EFD＝60°，∴eq\f(EF,FD)＝eq\f(1,2).∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠DCM＝∠B＝60°，∴△CDM是等邊三角形，∴CD＝DM＝CM＝AB＝3，∴eq\f(BF,MD)＝eq\f(BF,3)＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(3,2)，∴CF＝eq\f(5,2)，∴eq\f(BE,MF)＝eq\f(3－AE,\f(5,2)＋3)＝eq\f(3－AE,\f(11,2))＝eq\f(1,2)，解得AE＝eq\f(1,4).3．(2023·武漢)【問題提出】如圖1，E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α(α≥90°)，AF交CD于點G，探究∠GCF與α之間的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】(1)先將問題特殊化，如圖2，當α＝90°時，直接寫出∠GCF的度數(shù)；(2)再探究一般情形，如圖1，求∠GCF與α之間的數(shù)量關(guān)系；【問題拓展】(3)將圖1特殊化，如圖3，當α＝120°時，若eq\f(DG,CG)＝eq\f(1,2)，求eq\f(BE,CE)的值．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖2))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖3))解：(1)∠GCF＝45°.(2)在AB上截取AN，使AN＝EC，連接NE.∵∠ABC＋∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＋∠FEC＋∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC.∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF(SAS)，∴∠ANE＝∠ECF.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BCD＝180°－∠ABC＝180°－α，∴BN＝BE，∴∠BNE＝eq\f(1,2)(180°－∠ABC)＝90°－eq\f(1,2)α，∴∠ECF＝∠ANE＝∠180°－∠BNE＝90°＋eq\f(1,2)α，∴∠GCF＝∠ECF－∠BCD＝eq\f(3,2)α－90°.(3)過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點P.∵eq\f(DG,CG)＝eq\f(1,2)，∴可設(shè)DG＝m，CG＝2m.∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝DG＋CG＝3m，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADP＝180°－∠ADC＝60°.∵∠P＝90°，∴PD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(3,2)m，AP＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(3,2)eq\r(3)m.由(2)知∠GCF＝eq\f(3,2)α－90°.∵α＝120°，∴∠GCF＝90°＝∠P.∵∠AGP＝∠FGC，∴△APG∽△FCG，∴eq\f(AP,FC)＝eq\f(PG,CG)，即eq\f(\f(3\r(3)m,2),CF)＝eq\f(\f(5,2)m,2m)，∴CF＝eq\f(6\r(3),5)m.連接AC，易得△ABE∽△ACF，∴eq\f(BE,CF)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴BE＝eq\f(\r(3),3)CF＝eq\f(6,5)m，∴CE＝eq\f(9,5)m，∴eq\f(BE,CE)＝eq\f(2,3).∠BNE＝eq\f(1,2)(180°－∠ABC)＝90°－eq\f(1,2)α，∴∠ECF＝∠ANE＝∠180°－∠BNE＝90°＋eq\f(1,2)α，∴∠GCF＝∠ECF－∠BCD＝eq\f(3,2)α－90°.(3)過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點P.∵eq\f(DG,CG)＝eq\f(1,2)，∴可設(shè)DG＝m，CG＝2m.∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD＝DG＋CG＝3m，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADP＝180°－∠ADC＝60°.∵∠P＝90°，∴PD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(3,2)m，AP＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\f(3,2)eq\r(3)m.由(2)知∠GCF＝eq\f(3,2)α－90