《電磁場(chǎng)、微波技術(shù)與天線》課件-第2章

第2章電磁場(chǎng)基本方程2.1麥克斯韋方程組2.2電磁場(chǎng)的邊界條件2.3時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示2.4坡印廷定理2.5電磁場(chǎng)的位函數(shù)

2.1麥克斯韋方程組

麥克斯韋通過對(duì)客觀電磁現(xiàn)象的總結(jié),特別是受到法拉第電磁感應(yīng)定律的啟示,即由變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生電場(chǎng)的客觀事實(shí),提出了變化的電場(chǎng)可以產(chǎn)生磁場(chǎng)的假說,再用數(shù)學(xué)的方法引入了位移電流,使時(shí)變電場(chǎng)和時(shí)變磁場(chǎng)構(gòu)成了相互對(duì)稱、相互聯(lián)系的兩個(gè)部分,并于1864年建立了全面描述電磁現(xiàn)象基本規(guī)律的麥克斯韋方程組。

2.1.1麥克斯韋方程組的積分形式

在“大學(xué)物理”的電磁學(xué)部分,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了麥克斯韋方程組的積分形式為

其中:

E——電場(chǎng)強(qiáng)度,單位是伏每米(V/m);

D——電位移矢量(或稱為電通量密度),單位是庫侖每平方米(C/m2);

B——磁感應(yīng)強(qiáng)度,單位是特斯拉(T),或韋伯每平方米(Wb/m2);

H——磁場(chǎng)強(qiáng)度,單位是安培每米(A/m);

q——電荷電量,單位是庫侖(C);

I——電流,單位是安培(A)。

S——一曲面,它的邊界是封閉曲線l,dl的方向與dS的方向成右手螺旋關(guān)系。

麥克斯韋四個(gè)方程的簡稱和物理意義如下:

第一方程為全電流定律:電流和時(shí)變電場(chǎng)將激發(fā)磁場(chǎng);

第二方程為法拉第定律:時(shí)變磁場(chǎng)將激發(fā)電場(chǎng);

第三方程為磁通連續(xù)性原理:穿過任一封閉面的磁通量恒等于零;

第四方程為高斯定律:穿過任一封閉面的電通量等于該面所包圍的自由電荷電量。

把前兩個(gè)方程結(jié)合起來便得出如下結(jié)論:時(shí)變磁場(chǎng)將激發(fā)時(shí)變電場(chǎng),而時(shí)變電場(chǎng)又將激發(fā)時(shí)變磁場(chǎng),電場(chǎng)和磁場(chǎng)互為激發(fā)源,相互激發(fā)。電場(chǎng)和磁場(chǎng)不再相互獨(dú)立,而是相互關(guān)聯(lián),構(gòu)成一個(gè)整體——電磁場(chǎng),電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為電磁場(chǎng)的兩個(gè)分量。在離開輻射源(如天線)的無源空間中,電荷和電流為零,電場(chǎng)和磁場(chǎng)仍然可以相互激發(fā),從而在空間形成電磁振蕩并傳播,這就是電磁波。麥克斯韋方程組預(yù)言了電磁波的存在,這一著名預(yù)見后來在1887年由德國年輕學(xué)者赫茲的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。意大利工程師馬可尼和俄羅斯物理學(xué)家波波夫在1895年分別成功地進(jìn)行了無線電報(bào)傳送實(shí)驗(yàn),開創(chuàng)了人類無線電應(yīng)用的新紀(jì)元。

2.1.2麥克斯韋方程組的微分形式

為了得到麥克斯韋方程組的微分形式,引入電荷密度和電流密度概念。定義電荷密度為

式中,Δq是小體積元Δτ所包含的電量,則體積τ內(nèi)包含的電量q與電荷密度ρ的關(guān)系為

電荷的定向運(yùn)動(dòng)便形成電流,電流強(qiáng)度是指單位時(shí)間內(nèi)通過某導(dǎo)體橫截面的電荷量,即

電流的單位為安培(A),它是標(biāo)量。

習(xí)慣上,規(guī)定正電荷運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)殡娏鞯姆较颉ｋ娏髅枋龅氖悄骋唤孛嫔想姾闪鲃?dòng)的總情況,它不能描述截面上任意點(diǎn)處電荷的流動(dòng)情況。為此,引入電流密度矢量J,它的方向就是所在點(diǎn)上正電荷流動(dòng)的方向,其大小是與正電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直的單位面積上的電流強(qiáng)度成比例,即

式中,n為該點(diǎn)正電荷運(yùn)動(dòng)的方向,亦即電流密度的方向。電流密度的單位是安培每平方米(A/m2)。

方程中電荷密度和電流密度是相關(guān)的,滿足電荷守恒定律。電荷守恒定律表明,任一封閉系統(tǒng)內(nèi)的電荷總量不變。因此,從任一封閉曲面S流出的電流,應(yīng)等于曲面S所包圍的體積τ內(nèi),單位時(shí)間內(nèi)電荷的減少量,即

這就是電荷守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式,亦稱為電流連續(xù)性方程的積分形式。

將式(2-1-3)代入上式,并應(yīng)用散度定理,可得

要使這個(gè)積分對(duì)任意體積τ均成立,兩邊被積函數(shù)必定相等,于是有

上式是電荷守恒的微分表達(dá)式,亦稱為電流連續(xù)性方程的微分形式。．

麥克斯韋第一方程右端?D/?t的量綱是(C/m2)/s=A/m2,具有電流密度的量綱,稱之為位移電流密度JD,即

位移電流的引入擴(kuò)大了電流的概念。平常所說的電流有兩種:在導(dǎo)體中,電流就是自由電子的定向運(yùn)動(dòng),稱為傳導(dǎo)電流;在真空或氣體中,帶電粒子的定向運(yùn)動(dòng)也形成電流(如電視機(jī)顯像管中的電子束),稱為運(yùn)流電流。

位移電流密度不但具有電流密度的量綱,而且能激發(fā)磁場(chǎng),就這一意義上說,它與傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流是等效的。我們把傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流和位移電流三者之和稱為全電流。

對(duì)式(2-1-7a)兩邊取散度,可得

上式稱為全電流連續(xù)性方程。

2.1.3本構(gòu)關(guān)系

用E、D、B、H四個(gè)場(chǎng)量寫出的方程稱為麥克斯韋方程的非限定形式,因?yàn)樗鼪]有限定D與E之間及B與H之間的關(guān)系,故適用于任何媒質(zhì)。

對(duì)于線性和各向同性媒質(zhì),有

式(2-1-13)稱為媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系,式中ε是介電常數(shù),單位是法拉每米(F/m);εr是相對(duì)介電常數(shù);ε0是真空的介電常數(shù),其取值為

式中μ是磁導(dǎo)率,單位是亨利每米(H/m);μr是相對(duì)磁導(dǎo)率;μ0是真空的磁導(dǎo)率,取值為

σ是導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率,單位是西門子每米(S/m)。式(2-1-13c)稱為歐姆定律的微分形式。通常的歐姆定律U=RI,稱為歐姆定律的積分形式。積分形式的歐姆定律是描述一段導(dǎo)線上的導(dǎo)電規(guī)律,而微分形式的歐姆定律是描述導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系,它比積分形式更能細(xì)致地描述導(dǎo)體的導(dǎo)電規(guī)律。

ε、μ、σ稱為媒質(zhì)參數(shù),通常研究的媒質(zhì)是均勻、線性、各向同性的媒質(zhì),其定義如下:

(1)若媒質(zhì)參數(shù)與位置無關(guān),稱為均勻媒質(zhì);

(2)若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小無關(guān),稱為線性媒質(zhì);

(3)若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)方向無關(guān),稱為各向同性媒質(zhì),反之稱為各向異性媒質(zhì);

(4)若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)頻率無關(guān),稱為非色散媒質(zhì),反之稱為色散媒質(zhì);

(5)σ=0的介質(zhì)稱為理想介質(zhì);

(6)σ→∞的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)體;

(7)σ介于0和∞之間的媒質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)或有耗媒質(zhì)。

利用本構(gòu)關(guān)系,對(duì)于均勻、線性、各向同性媒質(zhì),麥克斯韋方程組可用E

和H兩個(gè)場(chǎng)量如下表示

以上公式稱為麥克斯韋方程的限定形式。

2.2電磁場(chǎng)的邊界條件

在電磁場(chǎng)中,空間常常存在著兩種或兩種以上的不同媒質(zhì),為此需要知道兩種媒質(zhì)分界面處電磁場(chǎng)應(yīng)滿足的關(guān)系,即邊界條件。由于分界面兩側(cè)媒質(zhì)參數(shù)ε、μ、σ有突變,因此在邊界上麥克斯韋方程組的微分形式失去意義,必須應(yīng)用麥克斯韋方程的積分形式導(dǎo)出邊界條件。圖22-1-E的切向邊界條件

2.2.2H的切向邊界條件

設(shè)分界面上的面電流密度JS的方向垂直于紙面向內(nèi),則磁場(chǎng)矢量在紙平面上。在分界面上取一個(gè)無限靠近分界面的無窮小閉合路徑,如圖2-2-2所示,即長為無窮小量Δl,寬為高階無窮小量Δh。把積分形式的麥克斯韋第一方程(2-1-1a)應(yīng)用于此閉合路徑,得圖2-2-2H的切向邊界條件

式中,是有限量,當(dāng)Δh→0時(shí),當(dāng)分界面上有面電流時(shí)(理想導(dǎo)體的集膚深度趨于零,其電流分布在表面處極薄一層內(nèi)),則小回路包圍電流ΔI=JSΔl,其中JS是與小回路面相垂直方向上的極薄表面層內(nèi)單位寬度上的傳導(dǎo)電流面密度(A/m)。于是得H的切向分量邊界條件為

若分界面上不存在傳導(dǎo)面電流,即JS

=0,則H的切向分量是連續(xù)的。

2.2.3D和B的法向邊界條件

如圖2-2-3所示,在分界面兩側(cè)各取與分界面平行的小面元ΔS,兩者相距Δh,它是高階小量,因此穿出側(cè)壁的通量可忽略。對(duì)此閉合面應(yīng)用積分形式的麥克斯韋第四方程(2-1-1d)可得圖2-2-3法向邊界條件

同理由積分形式的麥克斯韋第三方程可得

這說明在分界面上B的法向分量總是連續(xù)的。

在研究電磁場(chǎng)問題時(shí),常用到以下兩種特殊情況。

1)兩種理想介質(zhì)的分界面此時(shí)兩種媒質(zhì)的電導(dǎo)率為零,在分界面上一般不存在自由電荷和面電流,即ρS=0、JS=0,則邊界條件為

2)理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體的分界面

設(shè)媒質(zhì)1為理想介質(zhì)(σ1=0),媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體(σ2→∞),理想導(dǎo)體中電場(chǎng)強(qiáng)度為零,否則將產(chǎn)生無限大的電流密度J=σE,所以E2=0、D2=0。理想導(dǎo)體中也不存在磁場(chǎng),否則將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),從而形成極大的電流,所以B2=0、H2=0。此時(shí)的邊界條件為

在理想導(dǎo)體表面上,電場(chǎng)始終垂直于導(dǎo)體表面,而磁場(chǎng)平行于導(dǎo)體表面。這些邊界條件可用于實(shí)際工程問題,因?yàn)榇蠖鄶?shù)金屬如銀、銅、金、鋁等,它們的σ都在107S/m量級(jí),因此可認(rèn)為σ→∞;而一般射頻介質(zhì)材料的損耗角的正切值tanδ都在10-3量級(jí),空氣的tanδ更低,因而都可以處理為理想介質(zhì)。

2.3時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示

在直角坐標(biāo)系中,隨時(shí)間作簡諧變化的電場(chǎng)強(qiáng)度的三個(gè)分量可以用余弦形式表示為

用復(fù)數(shù)的實(shí)部表示為

下面導(dǎo)出復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組。將場(chǎng)矢量都按上述規(guī)則表示,則麥克斯韋第一方程(217a)可寫成

式中,?是對(duì)空間坐標(biāo)的微分運(yùn)算,它與取實(shí)部符號(hào)Re可調(diào)換運(yùn)算順序。省略等式兩邊的Re,同時(shí)為了簡便,約定不寫出時(shí)間因子ejωt,可得麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式為

同理可得

采用復(fù)數(shù)形式后,各場(chǎng)量都換成了復(fù)矢量,對(duì)時(shí)間變量的偏導(dǎo)(?/?t)則換成簡單的因子jω。由于復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程沒有時(shí)間因子,所以變量也就減少了一個(gè)。

例2-3-1在無源無耗的理想介質(zhì)中,試由麥克斯韋方程導(dǎo)出時(shí)諧電磁場(chǎng)滿足的復(fù)數(shù)形式的波動(dòng)方程

其中

2.4坡印廷定理

電磁場(chǎng)是具有能量的,例如我們?nèi)粘Ｊ褂玫奈⒉t,正是利用微波所攜帶的能量給食品加熱。下面從麥克斯韋方程出發(fā),導(dǎo)出時(shí)變場(chǎng)中電磁能量的守恒關(guān)系———坡印廷定理。

式(2-4-3)右邊第一項(xiàng)是體積τ內(nèi)每秒電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量的增加量,第二項(xiàng)是體積τ內(nèi)焦耳熱損耗功率(即單位時(shí)間內(nèi)以熱能形式損耗在體積內(nèi)的能量)。根據(jù)能量守恒原理,這兩項(xiàng)能量之和,只有靠流入體積的能量來補(bǔ)償,因此等式左邊應(yīng)是單位時(shí)間流入封閉面S的能量。式(2-4-3)就是時(shí)變電磁場(chǎng)中的能量守恒定律,稱為坡印廷定理。

式(2-4-3)左邊的被積函數(shù)E×H表示單位時(shí)間內(nèi)通過單位面積的能量,因此定義坡印廷矢量為

S的單位為瓦特每平方米(W/m2),S也稱為功率流密度矢量或能流密度矢量,其方向就是功率流的方向。

例2-4-1設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a、b,它們都是理想導(dǎo)體,兩導(dǎo)體間填充介電常數(shù)為ε、磁導(dǎo)率為μ0的理想介質(zhì),內(nèi)外導(dǎo)體分別通過電流I和-I,其間電壓為U。

(1)試求同軸線內(nèi)的坡印廷矢量;

(2)證明內(nèi)外導(dǎo)體間向負(fù)載傳送的功率為UI。

解(1)電場(chǎng)垂直于導(dǎo)體表面沿徑向,其大小沿圓周方向是軸對(duì)稱的,設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體上單位長度的帶電量分別為ρl和-ρl,應(yīng)用高斯定理,沿同軸線的軸線方向取長度為l,半徑為ρ(a<ρ<b)的圓柱高斯面,可得．

內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為

故

由安培環(huán)路定律得

故坡印廷矢量為

(2)傳輸功率為

該例題說明傳輸線所傳輸?shù)墓β势鋵?shí)是通過內(nèi)外導(dǎo)體間的電磁場(chǎng)傳送的,導(dǎo)體結(jié)構(gòu)只起著引導(dǎo)的作用。

對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng),坡印廷定理可以用復(fù)數(shù)表示,計(jì)算一周的平均功率流密度矢量更有意義,下面來求坡印廷矢量的平均值Sav。時(shí)諧電磁場(chǎng)用復(fù)數(shù)表示為

式中“*”表示取共軛。坡印廷矢量瞬時(shí)值為

上式第一項(xiàng)與時(shí)間無關(guān),第二項(xiàng)在一個(gè)周期內(nèi)的積分等于零,因此在一個(gè)周期T=2π/ω內(nèi)坡印廷矢量的平均值為

稱為平均坡印廷矢量。令復(fù)坡印廷矢量為

復(fù)坡印廷矢量的實(shí)部等于平均功率流密度,即實(shí)功率密度。

2.5電磁場(chǎng)的位函數(shù)

2.5.1位函數(shù)的定義由麥克斯韋第三方程?·B=0,又由于?·(?×A)=0,因而可以引入矢量位函數(shù)A

A的單位是韋伯每米(Wb/m)。將上式代入麥克斯韋第二方程,得

即

即

?的單位是伏(V)。式中??