新課標2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四概率與統(tǒng)計第2講概率學(xué)案文新人教A版

PAGE1-第2講概率[做真題]1．(2024·高考全國卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：選B.設(shè)“只用現(xiàn)金支付”為事務(wù)A，“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”為事務(wù)B，“不用現(xiàn)金支付”為事務(wù)C，則P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故選B.2．(2024·高考全國卷Ⅱ)生物試驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標．若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)解析：選B.設(shè)3只測量過某項指標的兔子為A，B，C，另2只兔子為a，b，從這5只兔子中隨機取出3只，則基本領(lǐng)件共有10種，分別為(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只測量過該指標”的取法有6種，分別為(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，選B.3.(2024·高考全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(π,4)解析：選B.設(shè)正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形內(nèi)切圓的面積為π，依據(jù)對稱性可知，黑色部分的面積是正方形內(nèi)切圓的面積的一半，所以黑色部分的面積為eq\f(π,2).依據(jù)幾何概型的概率公式，得所求概率P＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故選B.4．(2024·高考全國卷Ⅲ)某超市支配按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購支配，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率．解：(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的全部可能值為900，300，－100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.[明考情]1．以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用，同時滲透互斥事務(wù)、對立事務(wù)．2．概率常與統(tǒng)計學(xué)問結(jié)合在一起命題，主要以解答題形式呈現(xiàn)，中檔難度．幾何概型(基礎(chǔ)型)[學(xué)問整合]幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）).求解幾何概型的概率應(yīng)把握的兩點(1)當構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮運用幾何概型求解．(2)找尋構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事務(wù)發(fā)生的區(qū)域，有時須要設(shè)出變量，在坐標系中表示所須要的區(qū)域．[考法全練]1．(2024·福建五校其次次聯(lián)考)在區(qū)間[0，2]上隨機取一個數(shù)x，使sineq\f(π,2)x≥eq\f(\r(3),2)的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選A.當x∈[0，2]時，0≤eq\f(π,2)x≤π，所以sineq\f(π,2)x≥eq\f(\r(3),2)?eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)x≤eq\f(2π,3)?eq\f(2,3)≤x≤eq\f(4,3).故由幾何概型的學(xué)問可知所求概率P＝eq\f(\f(4,3)－\f(2,3),2)＝eq\f(1,3).故選A.2．(2024·廣東六校第一次聯(lián)考)在區(qū)間[－π，π]上隨機取兩個實數(shù)a，b，記向量m＝(a，4b)，n＝(4a，b)，則m·n≥4π2的概率為()A．1－eq\f(π,8) B．1－eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,5) D．1－eq\f(π,6)解析：選B.在區(qū)間[－π，π]上隨機取兩個實數(shù)a，b，則點(a，b)在如圖所示的正方形內(nèi)部及其邊界上．因為m·n＝4a2＋4b2≥4π2，所以a2＋b2≥π2，滿意條件的點(a，b)在以原點為圓心，π為半徑的圓外部(含邊界)，且在正方形內(nèi)(含邊界)，如圖中陰影部分所示，所以m·n≥4π2的概率P＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4)，故選B.3．(2024·福建省質(zhì)量檢查)某商場通過轉(zhuǎn)動如圖所示的質(zhì)地勻稱的6等分的圓盤進行抽獎活動，當指針指向陰影區(qū)域時為中獎．規(guī)定每位顧客有3次抽獎機會，但中獎1次就停止抽獎．假設(shè)每次抽獎相互獨立，則顧客中獎的概率是()A.eq\f(4,27) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(19,27)解析：選D.記顧客中獎為事務(wù)A，恰抽1次就中獎為事務(wù)A1，恰抽2次中獎為事務(wù)A2，恰抽3次中獎為事務(wù)A3，每次抽獎相互獨立，每次抽獎中獎的概率均為eq\f(1,3)，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27)，故選D.

古典概型(綜合型)[學(xué)問整合]古典概型的概率P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(A中所含的基本領(lǐng)件數(shù),基本領(lǐng)件總數(shù)).古典概型的兩個特點(1)試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個．(2)每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．[典型例題](2024·安徽五校聯(lián)盟其次次質(zhì)檢)一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量(單位：輛)如表：A類轎車B類轎車C類轎車舒適型100150z標準型300450600按類用分層抽樣的方法從這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．(1)求z的值；(2)用分層抽樣的方法從C類轎車中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)xi(1≤i≤8，i∈N)，設(shè)樣本平均數(shù)為eq\x\to(x)，求|xi－eq\x\to(x)|≤0.5的概率．【解】(1)設(shè)該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得eq\f(50,n)＝eq\f(10,100＋300)，所以n＝2000，則z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得eq\f(400,1000)＝eq\f(a,5)，得a＝2，所以抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．用A1，A2分別表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3分別表示3輛標準型轎車，用E表示事務(wù)“在該樣本中任取2輛，至少有1輛舒適型轎車”．從該樣本中任取2輛包含的基本領(lǐng)件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個，其中事務(wù)E包含的基本領(lǐng)件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個．故P(E)＝eq\f(7,10)，即所求的概率為eq\f(7,10).(3)樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.設(shè)D表示事務(wù)“從樣本中任取一個數(shù)xi(1≤i≤8，i∈N)，|xi－eq\x\to(x)|≤0.5”，則從樣本中任取一個數(shù)有8個基本領(lǐng)件，事務(wù)D包括的基本領(lǐng)件有9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個．所以P(D)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，即所求的概率為eq\f(3,4).eq\a\vs4\al()求古典概型概率的一般步驟(1)求出全部基本領(lǐng)件的個數(shù)n，常用的方法有列舉法、列表法、畫樹狀圖法．(2)求出事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝eq\f(m,n)求解．[對點訓(xùn)練]1．(2024·沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(一))某英語初學(xué)者在拼法單詞“steak”時，對后三個字母的記憶有些模糊，他只記得由“a”“e”“k”三個字母組成并且“k”只可能在最終兩個位置，假如他依據(jù)已有信息填入上述三個字母，那么他拼法正確的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)解析：選B.由題知可能的結(jié)果有：eak，aek，eka，ake，共4種，其中正確的只有一種eak，所以拼法正確的概率是eq\f(1,4)，故選B.2．(2024·成都第一次診斷性檢測)齊王有上等、中等、下等馬各一匹；田忌也有上等、中等、下等馬各一匹．田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行一場競賽，若有優(yōu)勢的馬肯定獲勝，則齊王的馬獲勝的概率為()A.eq\f(4,9) B.eq\f(5,9)C.eq\f(2,3) D.eq\f(7,9)解析：選C.將齊王的上等、中等、下等馬分別記為a1，a2，a3，田忌的上等、中等、下等馬分別記為b1，b2，b3，則從雙方的馬匹中隨機各選一匹進行競賽，其對陣狀況有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9種，其中齊王的馬獲勝的對陣狀況有a1b1，a1b2，a1b3，a2b2，a2b3，a3b3，共6種，所以齊王的馬獲勝的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選C.3．某校擬從高二年級2名文科生和4名理科生中選出4名同學(xué)代表學(xué)校參與學(xué)問競賽，其中每個人被選中的可能性均相等．(1)求被選中的4名同學(xué)中恰有2名文科生的概率；(2)求被選中的4名同學(xué)中至少有1名文科生的概率．解：將2名文科生和4名理科生依次編號為1，2，3，4，5，6，從2名文科生和4名理科生中選出4名同學(xué)記為(a，b，c，d)，其結(jié)果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15種．(1)被選中的4名同學(xué)中恰有2名文科生的結(jié)果有(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，共6種．記“被選中的4名同學(xué)中恰有2名文科生”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)記“被選中的4名同學(xué)中至少有1名文科生”為事務(wù)B，則事務(wù)B包含有1名文科生或者2名文科生這兩種狀況．其對立事務(wù)為“被選中的4名同學(xué)中沒有文科生”，只有一種結(jié)果(3，4，5，6)．所以P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,15)，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).一、選擇題1．(2024·重慶市七校聯(lián)合考試)在區(qū)間[－3，4]內(nèi)隨機取一個實數(shù)x，則滿意2x≥2的概率是()A.eq\f(2,7) B.eq\f(3,7)C.eq\f(4,7) D.eq\f(5,7)解析：選B.由2x≥2，得x≥1.又[－3，4]的區(qū)間長度是7，[1，4]的區(qū)間長度是3，所以所求概率P＝eq\f(3,7).故選B.2．(2024·高考全國卷Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選D.將兩位男同學(xué)分別記為A1，A2，兩位女同學(xué)分別記為B1，B2，則四位同學(xué)排成一列，狀況有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24種，其中2名女同學(xué)相鄰的有12種，所以所求概率P＝eq\f(1,2)，故選D.3．某學(xué)校星期一至星期五每天上午共支配五節(jié)課，每節(jié)課的時間為40分鐘，第一節(jié)課上課時間為7：50～8：30，課間休息10分鐘，某同學(xué)請假后返校，若他在8：50～9：30之間隨機到達教室，則他聽其次節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選B.他在8：50～9：30之間隨機到達教室，區(qū)間長度為40，他聽其次節(jié)課的時間不少于20分鐘，則他在8：50～9：30之間隨機到達教室，區(qū)間長度為10，所以他在8：50～9：30之間隨機到達教室，則他聽其次節(jié)課的時間不少于20分鐘的概率是eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).4．(2024·南昌市第一次模擬測試)2024年廣東新高考將實行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都打算選歷史與政治，假如他們都對后面三科沒有偏好，則他們選課相同的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,9)解析：選B.記地理、化學(xué)、生物分別為D，H，S，則小明與小芳的選課方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9種，小明與小芳選課方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3種狀況，所以他們選課相同的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故選B.5．(2024·湖南省湘東六校聯(lián)考)如圖，一靶子是由三個全等的三角形和中間的一個小等邊三角形拼成的大等邊三角形，其中3DF＝2BF，若向靶子隨機投鏢，則鏢落在小等邊三角形內(nèi)的概率是()A.eq\f(2,7) B.eq\f(4,49)C.eq\f(3,13) D.eq\f(3\r(13),13)解析：選B.因為3DF＝2BF，所以不妨設(shè)DF＝2，BF＝3，則DC＝3，∠BDC＝120°，由余弦定理可得BC＝eq\r(25＋9－2×5×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝7，所以鏢落在小等邊三角形內(nèi)的概率是eq\f(\f(1,2)×DF2×sin60°,\f(1,2)×BC2×sin60°)＝eq\f(4,49)，故選B.6．(2024·武漢市調(diào)研測試)為了提升全民身體素養(yǎng)，學(xué)校非常重視學(xué)生體育熬煉．某?；@球運動員進行投籃練習(xí)，他前一球投進則后一球投進的概率為eq\f(3,4)，他前一球投不進則后一球投進的概率為eq\f(1,4).若他第1球投進的概率為eq\f(3,4)，則他第2球投進的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,16)D.eq\f(9,16)解析：選B.設(shè)該籃球運動員投進第n－1(n≥2，n∈N*)個球的概率為Pn－1，第n－1個球投不進的概率為1－Pn－1，則他投進第n個球的概率為Pn＝eq\f(3,4)Pn－1＋eq\f(1,4)(1－Pn－1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)Pn－1，所以Pn－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(1,2))).所以Pn－eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P1－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n＋1).所以Pn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n＋1)＋eq\f(1,2)(n∈N*)，所以P2＝eq\f(5,8).故選B.二、填空題7．一個三位自然數(shù)的百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當且僅當其中兩個數(shù)字的和等于第三個數(shù)字時稱為“有緣數(shù)”(如213，134等)．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是________．解析：由1，2，3組成的三位自然數(shù)可能為123，132，213，231，312，321，共6個；同理，由1，2，4組成的三位自然數(shù)有6個，由1，3，4組成的三位自然數(shù)有6個，由2，3，4組成的三位自然數(shù)有6個，共24個三位自然數(shù)．由1，2，3或1，3，4組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個，所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2).8．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，在正方體內(nèi)隨機取一點M，則點M落在三棱錐B1-A1BC1內(nèi)的概率為________．解析：由題意，本題是幾何概型，以體積為測度．因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，所以三棱錐B1-A1BC1的體積eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·a·a·a＝eq\f(1,6)a3，正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為a3，所以在正方體內(nèi)隨機取一點M，則點M落在三棱錐B1-A1BC1內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,6)a3,a3)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)9．折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段．已知在折疊“愛心”的過程中會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內(nèi)的概率為________．解析：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則由題意，多邊形AEFGHID的面積為S正方形AGFE＋S正方形DGHI＋S△ADG＝(eq\r(5))2＋(eq\r(5))2＋eq\f(1,2)×2×2＝12，陰影部分的面積為2×eq\f(1,2)×2×2＝4，所以向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內(nèi)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)三、解答題10．(2024·高考天津卷)2024年，我國施行個人所得稅專項附加扣除方法，涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受狀況．(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受狀況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪．員工項目ABCDEF子女教化○○×○×○接著教化××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．解：(1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采納分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．(2)①從已知的6人中隨機抽取2人的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．②由表格知，符合題意的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．所以，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).11．(2024·昆明市質(zhì)量檢測)某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的理念，激勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹．某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A，B，C，經(jīng)引種試驗后發(fā)覺，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹