專題05 線段、角、對(duì)角線的計(jì)數(shù)模型（解析版）-七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

專題05.線段、角、對(duì)角線的計(jì)數(shù)模型本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個(gè)數(shù)、對(duì)角線條數(shù)等計(jì)數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)行記憶。本專題就線段（角度）的計(jì)數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計(jì)數(shù)、多邊形的對(duì)角線條數(shù)和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。模型1.

線段與角度的計(jì)數(shù)模型1）線段的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n個(gè)點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2023秋·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，射線上有，，，則圖中有（

）A．1條射線、3條線段B．4條射線、3條線段C．4條射線、6條線段D．7條射線、8條線段【答案】C【分析】根據(jù)射線和線段的定義分別計(jì)算出條數(shù)即可得解．【詳解】解：分別以A、B、C、D為端點(diǎn)向右的射線共有4條，線段有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6條，所以，有4條射線、6條線段．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段的定義，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，射線要根據(jù)端點(diǎn)的不同確定．例2．（2023秋·浙江七年級(jí)月考）如圖所示，由泰山始發(fā)終點(diǎn)至青島的某一次列車，運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵禾┥健獫?jì)南——淄博——濰坊——青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（）種．A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】設(shè)泰山??濟(jì)南??淄博??濰坊??青島五站分別用A，B，C，D，E表示，數(shù)出利用上述五點(diǎn)為端點(diǎn)的線段條數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)泰山??濟(jì)南??淄博??濰坊??青島五站分別用A，B，C，D，E表示，則共有線段：、、、、、、、、、，共10條，∴要為這次列車制作的單程火車票10種．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、線段、射線，要注意單程票，切記理解成往返車票而出錯(cuò)．例3．（2023春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？（）

A．10 B．11 C．18 D．20【答案】D【分析】根據(jù)有多少條線段單程就需要印制多少種車票進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵圖中線段有共10條，∴單程要10種車票，往返就是20種，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)線段條數(shù)，熟知兩點(diǎn)構(gòu)成一條線段是解題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·四川甘孜·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）①如圖（1），直線l上有2個(gè)點(diǎn)，則圖中有2條可用圖中字母表示的射線：A1A2、A2A1，有1條線段：A1A2；②如圖（2），直線l上有3個(gè)點(diǎn)，則圖中有幾條可用圖中字母表示的射線，有幾條線段，并分別用圖中字母表示出來；③如圖（3），直線l上有n個(gè)點(diǎn)，則圖中有多少條可用圖中字母表示的射線，有多少條線段，分別用含n的代數(shù)式表示出來；④應(yīng)用（3）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級(jí)共有8個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行循環(huán)賽（即每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)），預(yù)計(jì)全部賽完共需多少場(chǎng)比賽？【答案】②射線有4條，線段有3條；③射線的條數(shù)是(2n-2)條，線段的條數(shù)是條；④28場(chǎng)．【分析】②寫出所有的射線和線段后再計(jì)算個(gè)數(shù)；③根據(jù)規(guī)律，射線是每個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的射線有兩條，但是兩邊的兩個(gè)點(diǎn)只有一條；線段是從所有點(diǎn)中任取兩個(gè)；④根據(jù)題意8個(gè)隊(duì)每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間塞一場(chǎng)，和已知點(diǎn)數(shù)確定線段數(shù)同理，所以代入求值即可．【詳解】解：②根據(jù)射線的定義可得：射線有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共4條；由線段的定義可得線段有：射線有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共3條；③根據(jù)規(guī)律，射線是每個(gè)點(diǎn)用兩次，但第一個(gè)和最后一個(gè)只用一次，所以射線的條數(shù)是2n-2，線段是從這些點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)就是一條線段，所以線段的條數(shù)是；④∵某校七年級(jí)共有8個(gè)班進(jìn)行足球比賽，∴全部賽完共需比賽場(chǎng)次為：（場(chǎng)），∴全部賽完共需比賽場(chǎng)次為28.【點(diǎn)睛】本題考查的是線段和射線的計(jì)數(shù)問題，在一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，計(jì)線段數(shù)或者射線數(shù)時(shí)，要先寫出以A點(diǎn)為端點(diǎn)的線段數(shù)或射線數(shù)，再寫出以B為端點(diǎn)的線段數(shù)或射線數(shù)，…求出所有的線段數(shù)和射線數(shù)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，來計(jì)出n個(gè)點(diǎn)時(shí)射線數(shù)和線段數(shù)，最后代入來解決應(yīng)用問題．例5．（2023秋·山西七年級(jí)月考）主題式學(xué)習(xí)：數(shù)形規(guī)律探究學(xué)習(xí)(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想說理．．．．．．．．．．．．．以此類推，我們發(fā)現(xiàn)的和與第一個(gè)數(shù)、最后一個(gè)數(shù)及數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)．如果，我們?cè)O(shè)則我們可以看出此等式的右邊是若干個(gè)的和，∴_________．則_______．(2)運(yùn)用規(guī)律，計(jì)算表達(dá)．①求_____________．②某校為慶祝2023年元旦，活躍學(xué)生文化生活，舉行歌詠比賽．七年級(jí)（9）班獲得第一名，該班學(xué)生列隊(duì)以“單擊掌”形式（每?jī)蓚€(gè)學(xué)生擊掌一次）祝賀獲獎(jiǎng)；活動(dòng)結(jié)束后該班同學(xué)又互贈(zèng)“元旦祝福語(yǔ)”．如果該班有名同學(xué)，則共擊掌_____________次，共贈(zèng)送祝福語(yǔ)___________條．(3)遷移規(guī)律，解決問題．①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個(gè)城市，如果每?jī)蓚€(gè)城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通_____架航班．②如圖，在的方格中，橫線和豎線上的線段共有___________條．③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎(jiǎng)杯“大力神杯”和卡塔爾世界杯會(huì)徽、吉祥物），共有32支國(guó)家足球隊(duì)參賽．比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個(gè)階段進(jìn)行．32支球隊(duì)平均分成8個(gè)進(jìn)行小組循環(huán)賽（小組內(nèi)每?jī)芍蜿?duì)舉行一場(chǎng)比賽）；每小組前兩名球隊(duì)進(jìn)入1/8決賽，然后實(shí)行淘汰賽，勝者進(jìn)入1/4決賽．．．．．．請(qǐng)你計(jì)算2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③【分析】（1）根據(jù)題目中的規(guī)律即可求解；（2）①根據(jù)（1）中的規(guī)律即可求解；②根據(jù)規(guī)律即可求解；（3）①10個(gè)城市每?jī)蓚€(gè)城市都要互通航班，據(jù)此即可求解；②分別計(jì)算橫向和豎向的線段條數(shù)，即可求解；③利用分類的方法可求得2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽．【詳解】（1）解：．則．故答案為：，；（2）解：①．②如果該班有名同學(xué)，則共擊掌次，共贈(zèng)送祝福語(yǔ)條．故答案為：①5047；②100；③，；（3）解：①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個(gè)城市，如果每?jī)蓚€(gè)城市都要互通航班，10個(gè)城市一共需要開通架航班；②橫線上的線段有條，豎線上的線段有條，則橫線和豎線上的線段共有條；③32支比賽分為8個(gè)小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)，共有場(chǎng)比賽，16強(qiáng)分成8組對(duì)陣，共有8場(chǎng)比賽，8強(qiáng)分成4組對(duì)陣，共有4場(chǎng)比賽，4強(qiáng)分成2組對(duì)陣，共有2場(chǎng)比賽，決賽有2場(chǎng)比賽，故共有場(chǎng)比賽．故答案為：①90；②135；③64．【點(diǎn)睛】本題考查了探索規(guī)律，線段的計(jì)數(shù)，線段的計(jì)數(shù)時(shí)應(yīng)注重分類討論的方法計(jì)數(shù)，做到不遺漏，不重復(fù)，利用規(guī)律解決問題．2）角度的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（個(gè)）（注意：按一個(gè)方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n條射線，則角度數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個(gè)）例1．（2023春·浙江·七年級(jí)課堂例題）圖中角的個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)角的定義可進(jìn)行求解．【詳解】解：圖中屬于角的有：；共6個(gè)；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的定義，熟練掌握角的定義是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·四川內(nèi)江·七年級(jí)月考）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得3個(gè)銳角；畫2條不同射線，可得6個(gè)銳角；畫3條不同射線，可得10個(gè)銳角；…照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個(gè)．【答案】66【分析】分別找出各圖形中銳角的個(gè)數(shù)，找出規(guī)律解題．【詳解】解：∵在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得1+2=3個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫2條射線，可得1+2+3=6個(gè)銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫3條射線，可得1+2+3+4=10個(gè)銳角；…∴從一個(gè)角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個(gè)數(shù)是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），∴畫10條不同射線，可得銳角×（10+1）×（10+2）=66．故答案為：66．例3．（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察思考：

（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個(gè)不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個(gè)不同的角？（3）3條射線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出n條射線能有幾個(gè)不同的角？【答案】（2）6；（3）10，有個(gè)不同的角【分析】（2）根據(jù)圖1直接數(shù)出即可；（3）在圖1的基礎(chǔ)上看增加的角的個(gè)數(shù)即得畫3條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)；依此規(guī)律可得在∠AOB內(nèi)部畫n條射線時(shí)角的個(gè)數(shù)．【詳解】解：（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，如圖1，則圖中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共1+2+3=6個(gè)不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC、OD、OE，如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10個(gè)不同的角；若在∠AOB內(nèi)部畫n條射線，則有個(gè)不同的角．【點(diǎn)睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識(shí)以及規(guī)律探求問題，注重類比、找到解題的規(guī)律和方法是解答的關(guān)鍵．例4．（2023秋·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，從點(diǎn)分別引兩條射線，則得到一個(gè)角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點(diǎn)分別引三條射線，則圖中得到________個(gè)角；②如圖3，從點(diǎn)分別引四條射線，則圖中得到________個(gè)角；③依此類推，從點(diǎn)分別引條射線，則得到________個(gè)角（用含的式子表示）；(2)應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級(jí)共有16個(gè)班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)），則全部賽完共需多少場(chǎng)比賽？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；（2）將代入求解即可．【詳解】（1）①由題意可得，從點(diǎn)分別引三條射線，圖中的角有，，∴圖中得到3個(gè)角；②由題意可得，從點(diǎn)分別引四條射線，圖中的角有，，∴圖中得到6個(gè)角；③由①②可得，當(dāng)從點(diǎn)分別引條射線，，∴得到個(gè)角；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，．∴全部賽完共需120場(chǎng)比賽．【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3）平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計(jì)數(shù)模型直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)102214337.........n例1．（2023春·浙江七年級(jí)期中）已知條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，…由此猜想，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)（）A．16 B．28 C．32 D．40【答案】B【分析】利用給出的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，推導(dǎo)出規(guī)律，再將8代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，……∴條直線最多有個(gè)交點(diǎn)，∴時(shí)，（個(gè)），∴條直線最多有個(gè)交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，也就是數(shù)字規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找到數(shù)字規(guī)律，把特殊值代入求值．例2．（2023春·浙江嘉興·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了（

）個(gè)部分．A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】如圖，

所以，平面內(nèi)互不重合的條直線只有個(gè)交點(diǎn)，則平面被分成了或個(gè)部分，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，找出規(guī)律，解決問題．例3．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）2條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交最多有多少個(gè)交點(diǎn)？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由2條直線相交時(shí)最多有1個(gè)交點(diǎn)、3條直線相交時(shí)最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)、4條直線相交時(shí)最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)，可得5條直線相交時(shí)交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4、6條直線相交時(shí)交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4+5、7條直線相交時(shí)交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4+5+6，可知n條直線相交，交點(diǎn)最多有．【詳解】解：∵2條直線相交時(shí)，最多有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交時(shí)，最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交時(shí)，最多有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；…∴5條直線相交時(shí)，最多有1+2+3+4=10個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交時(shí)，最多有1+2+3+4+5=15個(gè)交點(diǎn)；7條直線相交時(shí)，最多有1+2+3+4+5+6=21個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，交點(diǎn)最多有．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形中相交點(diǎn)數(shù)量得出：n條直線相交，交點(diǎn)最多有1+2+3+…+n-1個(gè)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·浙江七年級(jí)期中）觀察表格：1條直線0個(gè)交點(diǎn)平面分成（1+1）塊2條直線1個(gè)交點(diǎn)平面分成（1+1+2）塊3條直線（1+2）個(gè)交點(diǎn)平面分成（1+1+2+3）塊4條直線（1+2+3）個(gè)交點(diǎn)平面分成（1+1+2+3+4）塊根據(jù)表格中的規(guī)律解答問題：（1）5條直線兩兩相交，有個(gè)交點(diǎn)，平面被分成塊；（2）n條直線兩兩相交，有個(gè)交點(diǎn)，平面被分成塊；（3）應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：一張圓餅切10刀（不許重疊），最多可得到塊餅．【答案】（1）10，16；（2）n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）56【分析】（1）總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求解；（2）根據(jù)題目中的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出n條直線相交最多有的交點(diǎn)個(gè)數(shù)公式：n(n﹣1)；n條直線兩兩相交，平面被分成1+n(n+1)塊；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論解答即可．【詳解】解：（1）5條直線兩兩相交，有10個(gè)交點(diǎn)，平面被分成16塊；故答案為：10，16；（2）2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線相交有1+2＝3個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交有1+2+3＝6個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交有1+2+3+4＝10個(gè)交點(diǎn)；6條直線相交有1+2+3+4+5＝15個(gè)交點(diǎn)；…n條直線相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)；平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)；故答案為：n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）當(dāng)n＝10時(shí)，（塊），故答案為：56【點(diǎn)睛】本題考查了直線的交點(diǎn)，規(guī)律探索問題以及代數(shù)式求值，根據(jù)表格找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.例5．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；那么四條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，最多有______個(gè)交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）；【實(shí)踐應(yīng)用】在實(shí)際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請(qǐng)你類比上述規(guī)律探究，計(jì)算：某校七年級(jí)舉辦籃球比賽，第一輪要求每?jī)砂嘀g比賽一場(chǎng)，若七年級(jí)共有16個(gè)班，則這一輪共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【答案】[觀察發(fā)現(xiàn)]6，；[實(shí)踐應(yīng)用]120場(chǎng)【分析】[觀察發(fā)現(xiàn)]根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn)．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n?1)個(gè)交點(diǎn)；[實(shí)踐應(yīng)用]把每個(gè)班作為一個(gè)點(diǎn),進(jìn)行一場(chǎng)比賽就是用線把兩個(gè)點(diǎn)連接,用此方法即可.【詳解】[觀察發(fā)現(xiàn)]解：①兩條直線相交最多有1個(gè)交點(diǎn)：1=；②三條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)：3=；③四條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)：6=；…n條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)．故答案為：6，．[實(shí)踐應(yīng)用]該類問題符合上述規(guī)律，所以可將n＝16代入．∴這一輪共要進(jìn)行120場(chǎng)比賽．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．4）多邊形的對(duì)角線條數(shù)和三角形個(gè)數(shù)的計(jì)數(shù)模型結(jié)論：從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對(duì)角線；這些對(duì)角線把多邊形分割成（n-2）個(gè)三角形；n邊形共有對(duì)角線。例1．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）六邊形共有多少條對(duì)角線（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)角線公式求解即可．【詳解】解：六邊形共有多少條對(duì)角線有：條．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，牢記n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，把n邊形分成個(gè)三角形，n邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出4條對(duì)角線，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作對(duì)角線的條數(shù)公式求出邊數(shù)即可得解．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，由題意，得：，∴，∴該多邊形的邊數(shù)為7；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若經(jīng)過邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線可以將該n邊形分成個(gè)三角形，則邊形的對(duì)角線條數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】經(jīng)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù)，再求對(duì)角線條數(shù)即可．【詳解】解：依題意有，解得．對(duì)角線條數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形過一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線與分成的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系列方程求解．例4．（2023秋·山東濟(jì)南·七年級(jí)校聯(lián)考期末）我們知道，四邊形有2條對(duì)角線，五邊形有5條對(duì)角線，那么十二邊形的對(duì)角線總條數(shù)是（

）A．9 B．54 C．60 D．108【答案】B【分析】n邊形的對(duì)角線條數(shù)公式代入即可求出．【詳解】12×（12-3）÷2=54故本題答案為：B【點(diǎn)睛】求多邊形的對(duì)角線條數(shù)是本題的考點(diǎn)，牢記公式是解決此題的關(guān)鍵．例5．（2023·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）多邊形的對(duì)角線：多邊形的對(duì)角線是連接多邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對(duì)角線，將n邊形分成個(gè)三角形，一個(gè)n邊形共有條對(duì)角線．【答案】任意不相鄰【分析】根據(jù)多邊形的對(duì)角線的定義作答即可．【詳解】解：多邊形的對(duì)角線是指連接多邊形任意不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對(duì)角線，將邊形分成個(gè)三角形，一個(gè)n邊形共有條對(duì)邊線．故答案為：任意不相鄰，，，．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對(duì)角線．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握多邊形對(duì)角線的定義，對(duì)角線的條數(shù)等知識(shí)．例6．（2023秋·浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：多邊形的頂點(diǎn)數(shù)/個(gè)45678……從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)/條12345……①___________多邊形對(duì)角線的總條數(shù)/條2591420……②___________（1）觀察探究：請(qǐng)自己觀察上面的圖形和表格，并用含的代數(shù)式將上面的表格填寫完整，其中①______________________；②______________________；（2）實(shí)際應(yīng)用：數(shù)學(xué)社團(tuán)共分為6個(gè)小組，每組有3名同學(xué)．同學(xué)們約定，大年初一時(shí)不同組的兩位同學(xué)之間要打一個(gè)電話拜年，請(qǐng)問，按照此約定，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話多少個(gè)？【答案】（1）①；②；（2）135個(gè)【分析】（1）觀察表可知從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是多邊形的頂點(diǎn)數(shù)減3，即得n-3，由此可完成①；從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出n－3條對(duì)角線，則n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n(n-3)條，其中每一條都重復(fù)算了一次，則可完成②；（2）把6個(gè)組共18名學(xué)生看成18邊形的頂點(diǎn)，不同組的兩位同學(xué)之間打一個(gè)電話是這個(gè)多邊形的對(duì)角線，因此問題轉(zhuǎn)化為有多少條對(duì)角線的問題，由（1）中結(jié)論即可完成。【詳解】（1）由表可得，當(dāng)多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為n時(shí)，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)為n-3；從一個(gè)頂點(diǎn)可以引出n－3條對(duì)角線，則n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n(n-3)條，其中每一條都重復(fù)算了一次，因此實(shí)際的對(duì)角線條數(shù)為．故答案為：①；②（2）因?yàn)椋?8名學(xué)生看成是頂點(diǎn)數(shù)為18的多邊形，不同組的兩位同學(xué)之間打一個(gè)電話是這個(gè)多邊形的對(duì)角線，則由（1）可得，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話為（個(gè)）．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形對(duì)角線規(guī)律及其應(yīng)用，難點(diǎn)是理解這個(gè)規(guī)律的應(yīng)用：同組三個(gè)人之間不能打電話，對(duì)應(yīng)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成對(duì)角線，因此18個(gè)人對(duì)應(yīng)18個(gè)頂點(diǎn)，不同組的兩位同學(xué)間打一個(gè)電話對(duì)應(yīng)連接兩頂點(diǎn)的一條對(duì)角線.課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·湖北·七年級(jí)階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個(gè)數(shù)最多是（）A．46個(gè) B．55個(gè) C．56個(gè) D．67個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】設(shè)直線條數(shù)有n條，分成的平面最多有m個(gè)．有以下規(guī)律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3?n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時(shí)，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+…+10＝56；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了過平面上兩點(diǎn)有且只有一條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．2．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D圖形是按一定的規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第10個(gè)圖形有（）條線段．

A．125 B．140 C．155 D．160【答案】B【分析】根據(jù)已知圖形，得出一般規(guī)律第個(gè)圖形的線段條數(shù)為，據(jù)此即可求出第10個(gè)圖形的線段條數(shù)．【詳解】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)第1圖形的線段條數(shù)為；第2個(gè)圖形的線段條數(shù)為；第3個(gè)圖形的線段條數(shù)為；……觀察可知一般規(guī)律，第個(gè)圖形的線段條數(shù)為；即第10個(gè)圖形的線段條數(shù)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題屬于規(guī)律探索題，考查了線段的數(shù)量，根據(jù)題意圖形正確得出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）過平面上A，B，C，D四點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)作直線，一共可作的直線條數(shù)不可能是（）A．6 B．5 C．4 D．1【答案】B【分析】分別討論，①三點(diǎn)共線，②四點(diǎn)共線，③任意三點(diǎn)都不共線，即可得出答案．【詳解】解：（1）當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，可畫1條，如圖（1）；（2）當(dāng)四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線時(shí)，可畫4條，如圖（2）；（3）當(dāng)四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線時(shí)，可畫6條，如圖（3）；觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線，關(guān)鍵是討論點(diǎn)共線的情況．4．（2023春·山東泰安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）濟(jì)青高鐵北線，共設(shè)有5個(gè)不同站點(diǎn)，要保證每?jī)蓚€(gè)站點(diǎn)之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）A．20種 B．42種 C．10種 D．84種【答案】A【分析】根據(jù)圖示，由線段的定義解決此題．【詳解】解：如圖，圖中有5個(gè)站點(diǎn)．往同一個(gè)方向（從1站點(diǎn)往5站點(diǎn)的方向），需要印制不同的火車票種類的數(shù)量有（種）．∴保證任意兩個(gè)站點(diǎn)雙向都有車票，需要印制車票種類的數(shù)量為（種）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段，熟練掌握清晰的邏輯思維以及線段的定義是解決本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·安徽蚌埠·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)線段的定義“直線上兩點(diǎn)間的有限部分（包括兩個(gè)端點(diǎn)）”找出以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段即可選擇．【詳解】解：根據(jù)題意可知：以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段有：AB，AC，AD共3條，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的定義，理解線段的定義，正確找出以A為一個(gè)端點(diǎn)的線段是解答本題的關(guān)鍵．6．（2023秋·浙江七年級(jí)月考）公園里準(zhǔn)備修條直的通道，并在通道交叉路口處設(shè)一個(gè)報(bào)亭，這樣的報(bào)亭最多設(shè)（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【詳解】∵有5條直線，每一條直線最多與其它直線有4個(gè)交點(diǎn)，∴最多有5×4÷2=10個(gè)交點(diǎn)，即這樣的報(bào)亭最多有10個(gè)，故答案為10．7．（2023秋·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對(duì)角線，它們將五邊形分成個(gè)三角形．則、的值分別為（

）A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，4【答案】B【分析】從一個(gè)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對(duì)角線的條數(shù)是n-3，分成的三角形數(shù)是n-2．【詳解】解：對(duì)角線的數(shù)量m=5-3=2條；分成的三角形的數(shù)量為n=5-2=3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對(duì)角線及分割成三角形個(gè)數(shù)的問題，解題的關(guān)鍵是熟記：一個(gè)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對(duì)角線的條數(shù)是n-3，分成的三角形數(shù)是n-2．8．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成4個(gè)三角形，那么這個(gè)多邊形是（

）A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形【答案】A【分析】根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，可組成個(gè)三角形，依此可得n的值．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意得，，解得：，即這個(gè)多邊形是六邊形，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，求對(duì)角線條數(shù)時(shí)，直接代入邊數(shù)n的值計(jì)算，而計(jì)算邊數(shù)時(shí)，需利用方程思想，解方程求n．9．（2023·四川成都·七年級(jí)?？计谀┏啥寂c重慶之間往返的動(dòng)車，除起始站和終點(diǎn)站外中途都有3個(gè)?？空?，則鐵路部門針對(duì)此動(dòng)車需要發(fā)售種不同行程的動(dòng)車票.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，數(shù)出線段的條數(shù)，再根據(jù)往返是兩種不同的車票，可得答案．【詳解】解：由圖知：成都與重慶之間往返的動(dòng)車，中途還需?？?個(gè)站，共有10條線段，∵往返是兩種不同的車票，∴鐵路部門對(duì)此運(yùn)行區(qū)間應(yīng)準(zhǔn)備20種不同的火車票．故答案為20．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問題；需要掌握正確數(shù)線段的方法．10．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）過平面上A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)作直線，可作條．【答案】1或3【分析】分兩種情況：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)、當(dāng)三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)來解答．【詳解】解：如圖，過平面上A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)作直線，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可作1條；當(dāng)三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，可作3條．故答案為：1或3．

【點(diǎn)睛】此題考查過點(diǎn)作直線的規(guī)律探究，正確理解過兩點(diǎn)有且只有一條直線，解題中運(yùn)用分類思想解決問題．11．（2023秋·寧夏吳忠·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知正多邊形的邊長(zhǎng)為5，從其一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有3條對(duì)角線，則該正多邊形的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】多邊形的邊數(shù)多邊形從其一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)對(duì)角線條數(shù)．【詳解】解：正多邊形從其一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有條對(duì)角線，則該正多邊形為正六邊形，所以該正多邊形的周長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形，牢記多邊形的邊數(shù)與從其一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)對(duì)角線條數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·四川成都·七年級(jí)校考期末）平面內(nèi)有n條直線，這n條直線兩兩相交，最多可以得到a個(gè)交點(diǎn)，最少可以得到b個(gè)交點(diǎn)，則．【答案】【分析】分別求出2條直線、3條直線、4條直線、5條直線.的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，找出規(guī)律即可解答.【詳解】如圖：2條直線相交有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，6條直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)，…n直線相交最多有個(gè)交點(diǎn)．所以，而最少可以得到1個(gè)交點(diǎn)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，需注意的是n條直線相交時(shí)最少有一個(gè)交點(diǎn).13．（2023秋·廣西七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖：已知，，圖中以O(shè)為頂點(diǎn)的所有角之和為_______．【答案】【分析】先找出所有以O(shè)為頂點(diǎn)的角，然后根據(jù)∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°，求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，以O(shè)為頂點(diǎn)的角有：∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB，∵∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°∴∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠AOB+∠COD+∠COE+∠COB+∠DOE+∠DOB+∠EOB=4∠AOB+2∠COE=300°故答案為：300°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的定義和角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找出以O(shè)為頂點(diǎn)的角．14．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)處的所有對(duì)角線把多邊形分成了個(gè)三角形，則經(jīng)過這一點(diǎn)的對(duì)角線的條數(shù)是條．【答案】【分析】可根據(jù)多邊形過一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線與分成的三角形的個(gè)數(shù)的關(guān)系列方程求解．【詳解】設(shè)多邊形有條邊，則，解得故這個(gè)多邊形是十三邊形．故經(jīng)過這一點(diǎn)的對(duì)角線的條數(shù)是故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的對(duì)角線，多邊形有條邊，則經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線有條，經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成個(gè)三角形．15．（2023春·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成5個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形是邊形．【答案】七【分析】根據(jù)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成個(gè)三角形，計(jì)算可求解．【詳解】解：由題意得：，故過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成5個(gè)三角形的多邊形為七邊形，故答案為：七．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的對(duì)角線，掌握多邊形對(duì)角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·山東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，圖中小于平角的角有個(gè)；若OD、OE分別平分和，則圖中共有對(duì)互余的角，對(duì)互補(bǔ)的角．【答案】945【分析】觀察圖像，有5條射線，每?jī)蓷l射線可以構(gòu)成一個(gè)角，則可以構(gòu)成個(gè)角，其中有1個(gè)平角，進(jìn)而可得小于平角的角的個(gè)數(shù)；根據(jù)OD、OE分別平分和，則構(gòu)成了2對(duì)相等的角，且不相等的兩個(gè)角的和為90°，則可以求得互余的角的度數(shù)，根據(jù)互補(bǔ)的定義可得分別將平角分成了2個(gè)角，且有兩對(duì)相等的角，據(jù)此分析即可【詳解】觀察圖像，有5條射線，每?jī)蓷l射線可以構(gòu)成一個(gè)角，則可以構(gòu)成個(gè)角，其中有1個(gè)是平角，則圖中小于平角的角有9個(gè)；若OD、OE分別平分和，則,則互余的角有4對(duì)；分別將平角分成了2個(gè)角，即，3對(duì)，2對(duì)互補(bǔ)的角有5對(duì)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了互余互補(bǔ)的定義，角的定義，理解以上定義是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·福建福州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）往返于甲、乙兩地的火車，途中?？咳齻€(gè)站，則至多要準(zhǔn)備種車票．【答案】20【分析】根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)線段的知識(shí)解決問題即可．【詳解】如圖：共有10條線段，,又題中是往返列車，往返的車票都不相同，所以共有10×2＝20種車票，故答案為20．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用直線、射線、線段知識(shí)解決生活中的問題，需要掌握正確數(shù)線段的方法．18．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）已知10條直線兩兩相交，最多會(huì)有的交點(diǎn)數(shù)可能是個(gè)．【答案】45【分析】要探求相交直線的交點(diǎn)的最多個(gè)數(shù)，則應(yīng)盡量讓每?jī)蓷l直線產(chǎn)生不同的交點(diǎn)．根據(jù)兩條直線相交有一個(gè)交點(diǎn)，求得n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；將代入上式即可求解．【詳解】解：3條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；4條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；5條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；…∴n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；∴10條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．故答案為：45．【點(diǎn)睛】此題考查平面內(nèi)不重合直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，是尋找規(guī)律的題型，找到n條直線相交，最多個(gè)交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┤粢粋€(gè)多邊形的邊數(shù)是這個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線條數(shù)的2倍，則這個(gè)多邊形是邊形．【答案】六【分析】設(shè)此多邊形有n條邊，則從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線有條，根據(jù)“一個(gè)多邊形的邊數(shù)恰好是從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)的2倍”列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)此多邊形有條邊，由題意，得，解得，這個(gè)多邊形是六邊形．故答案為：六．【點(diǎn)睛】此題考查多邊形的對(duì)角線；解題關(guān)鍵在于理解題意找出等量關(guān)系列出方程．20．（2023秋·廣東七年級(jí)月考）如圖，在銳角內(nèi)部，畫條射線，可得個(gè)銳角；畫條不同射線，可得個(gè)銳角；畫條不同射線，可得個(gè)銳角照此規(guī)律，畫條不同射線，可得個(gè)銳角．

【答案】3610【分析】從一個(gè)銳角頂點(diǎn)引出條不同射線，可得個(gè)銳角，依據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：在銳角內(nèi)部，畫條射線，可得3個(gè)銳角；；畫條不同射線，可得6個(gè)銳角；；畫條不同射線，可得10個(gè)銳角；；照此規(guī)律，畫條不同射線，可得個(gè)銳角．故答案為：3，6，10，．【點(diǎn)睛】本題考查了射線和角的概念，掌握規(guī)律的探求方法是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)．(1)畫直線，線段，射線；(2)在線段上任取一點(diǎn)D（不同于B，C），連接線段；(3)數(shù)數(shù)看，此時(shí)圖中線段的條數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6條【分析】（1）根據(jù)條件畫圖即可．（2）根據(jù)已知條件畫圖即可．（3）根據(jù)圖，數(shù)出線段條數(shù)即可．【詳解】（1）解：如圖，直線，線段，射線即為所求．（2）如圖，線段即為所求；（3）由題可得，圖中有線段，，，，，，一共6條．所以圖中線段的條數(shù)為6．【點(diǎn)睛】此題考查了直線、線段、射線，解題的關(guān)鍵熟知概念并會(huì)畫圖．22．（2023秋·四川瀘州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，O為直線上一點(diǎn)，，平分．

(1)請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，圖中有多少個(gè)小于平角的角；(2)求出的度數(shù)；(3)請(qǐng)通過計(jì)算說明是否平分．【答案】(1)9個(gè)(2)(3)平分，過程見解析【分析】（1）根據(jù)角的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)平角的定義進(jìn)行求解即可；（3）先求出的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)，由此即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得，圖中小于平角的角有，∴圖中有9個(gè)小于平角的角；（2）解：∵平分，∴，∴；（3）解：∵∴，∴，∴平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，角的概念，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀表：線段上的點(diǎn)數(shù)（包括A，B兩點(diǎn)）圖形線段總條數(shù)N34567解答下列問題：(1)在表中空白處分別畫出圖形，寫出線段總條數(shù)；(2)請(qǐng)猜測(cè)，線段總條數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)）有什么關(guān)系？請(qǐng)寫出來；(3)變式練習(xí)①：如果過每?jī)牲c(diǎn)可以畫一條直線，那么請(qǐng)?jiān)谙旅嫒M圖中分別畫線，并回答問題：第（1）組最多可以畫條直線；第（2）組最多可以畫條直線；第（3）組最多可以畫條直線．歸納結(jié)論：如果平面上有個(gè)點(diǎn)，且每3個(gè)點(diǎn)均不在一條直線上，那么最多可以畫出直線_____條．（用含n的代數(shù)式表示）變式練習(xí)②：某班50名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，若每?jī)扇宋找淮问謫柡?，則共握_____次手；最后，每?jī)蓚€(gè)人要互贈(zèng)禮物留念，則共需_____件禮物．變式練習(xí)③：從A地到B地的火車途中共?？?個(gè)站（不包括出發(fā)站和終點(diǎn)站），請(qǐng)問共需準(zhǔn)備_____種車票．【答案】(1)畫出圖形見解析；，(2)線段總條數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)）的關(guān)系為：(3)變式練習(xí)①：3；6；10；歸納結(jié)論：；變式練習(xí)②：1225；2450；變式練習(xí)③：36【分析】（1）根據(jù)圖中規(guī)律畫出圖形，寫出結(jié)果；（2）線段的總條數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n的關(guān)系式；（3）①根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線作圖分析；歸納結(jié)論：根據(jù)數(shù)字變化規(guī)律列出代數(shù)式；②根據(jù)歸納結(jié)論代入相應(yīng)的數(shù)值求解；③從A地到B地的火車途中共?？?個(gè)站（不包括出發(fā)站和終點(diǎn)站），那么一共有9個(gè)站，即，將，代入（2）中的關(guān)系式即可．【詳解】（1）解：線段上的點(diǎn)數(shù)（包括A，B兩點(diǎn)）為6個(gè)時(shí)，如圖：此時(shí)，線段總條數(shù)，線段上的點(diǎn)數(shù)（包括A，B兩點(diǎn)）為7個(gè)時(shí)，如圖：此時(shí)，線段總條數(shù)，填表如下：線段上的點(diǎn)數(shù)（包括A，B兩點(diǎn)）圖形線段總條數(shù)N34567（2）解：線段總條數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)n（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)）的關(guān)系為：；（3）解：①第（1）組最多可以畫3條直線，第（2）組最多可以畫6條直線，第（3）組最多可以畫10條直線，故答案為：3；6；10；歸納結(jié)論：如果平面上有個(gè)點(diǎn)，且每3個(gè)點(diǎn)均不在一條直線上，那么最多可以畫出直線條，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，（次），（件），∴某班50名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，若每?jī)扇宋找淮问謫柡茫瑒t共握1225次手，最后，每?jī)蓚€(gè)人要互贈(zèng)禮物留念，則共需2450件禮物，故答案為：1225；2450；③當(dāng)時(shí)，（種），∴從A地到B地的火車途中共停靠7個(gè)站（不包括出發(fā)站和終點(diǎn)站），請(qǐng)問共需準(zhǔn)備36種車票，故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的定義，此題在線段的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，注意第三問是要求的單趟的車票種類．24．（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）解答下列各題（1）如圖，在中，以O(shè)為頂點(diǎn)引射線，填表：內(nèi)射線的條數(shù)1234角的總個(gè)數(shù)________________________（2）若內(nèi)射線的條數(shù)是n，請(qǐng)用關(guān)于n的式子表示出上面的結(jié)論．（3）若內(nèi)有射線條數(shù)是2020，則角的總個(gè)數(shù)為多少？【答案】（1）3，6，10，15；（2）；（3）2043231【分析】（1）若∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)是n，可構(gòu)成個(gè)角，依據(jù)規(guī)律回答即可；（2）若∠AOB內(nèi)射線的條數(shù)是n，可構(gòu)成個(gè)角，依據(jù)規(guī)律回答即可；（3）把2020代入求解即可．【詳解】解：（1）填表如下：內(nèi)射線的條數(shù)1234角的總個(gè)數(shù)361015（2）當(dāng)時(shí)，角總個(gè)數(shù)為：，當(dāng)時(shí)，角總個(gè)數(shù)為：，當(dāng)時(shí)，角總個(gè)數(shù)為：，當(dāng)時(shí)，角總個(gè)數(shù)為：，當(dāng)時(shí)，角總個(gè)數(shù)為：，即內(nèi)射線的條線是n時(shí)，角總個(gè)數(shù)為：（3）當(dāng)內(nèi)有射線條數(shù)是2020時(shí)，角總個(gè)數(shù)為：（個(gè)）．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角的概念，掌握其規(guī)律是解題的關(guān)鍵．有公共頂點(diǎn)的n條射線，一共可構(gòu)成n（n-1）個(gè)角．25．（2023秋·浙江七年級(jí)月考）(1)觀察思考如圖所示，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總條數(shù)有如下關(guān)系：如果線段AB上有3個(gè)點(diǎn)，那么線段總條數(shù)為3；如果線段AB上有4個(gè)點(diǎn)，那么線段總條數(shù)為6；如果線段AB上有5個(gè)點(diǎn)，那么線段總條數(shù)為________．3＝2＋1＝

6＝3＋2＋1＝(2)模型構(gòu)建:如果線段上有m個(gè)點(diǎn)(包括線段的兩個(gè)端點(diǎn))，那么共有________條線段．(3)拓展應(yīng)用:8位同學(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制(即每?jī)晌煌瑢W(xué)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽)，那么一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？請(qǐng)將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為上述模型，并直接應(yīng)用上述模型的結(jié)論解決問題．【答案】(1)10(2)；（3）見解析.(3)把8位同學(xué)看作線段上的8個(gè)點(diǎn)，每?jī)晌煌瑢W(xué)之間的一場(chǎng)比賽看作一條線段，線段上8個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的線段條數(shù)就等于比賽的場(chǎng)數(shù)，因此一共要進(jìn)行＝28(場(chǎng))比賽．【詳解】【分析】（1）根據(jù)圖形可以得出5個(gè)點(diǎn)的線段總數(shù)為1+2+3+4=10條，故得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意就可以得出m個(gè)點(diǎn)就有1+2+3+…+(m-1)=條線段；（3）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成（2）的模型，借助（2）的結(jié)論即可得出結(jié)論．【詳解】（1）根據(jù)題意可知線段AB上有5個(gè)點(diǎn)，那么線段總條數(shù)為1+2+3+4=10條，故答案為10；（2）設(shè)線段上有m個(gè)點(diǎn)，該線段上共有線段x條，則x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x=m（m﹣1），∴x=，故答案為；（3）把8位同學(xué)看作直線上的8個(gè)點(diǎn)，每?jī)晌煌瑢W(xué)之間的一場(chǎng)比賽看作為一條線段，直線上8個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的線段條數(shù)就等于比賽的場(chǎng)數(shù)，因此一共要進(jìn)行=28場(chǎng)比賽，答：一共要進(jìn)行28場(chǎng)比賽.【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律性問題，線段的條數(shù)，根據(jù)題意得出直線上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與線段的總條數(shù)間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.26．（2023·山東·七年級(jí)假期作業(yè)）探究歸納題：（1）試驗(yàn)分析：如圖1，經(jīng)過A點(diǎn)可以作1條對(duì)角線；同樣，經(jīng)過B點(diǎn)可以作______條對(duì)角線；經(jīng)過C點(diǎn)可以作______條對(duì)角線；經(jīng)過D點(diǎn)可以作______條對(duì)角線．通過以上分析和總結(jié)，圖1共有______條對(duì)角線．（2）拓展延伸：運(yùn)用1的分析方法，可得：圖2共有______條對(duì)角線；圖3共有______條對(duì)角線；（3）探索歸納：對(duì)于n邊形，共有______條對(duì)角線．（用含n的式子表示）（4）特例驗(yàn)證：十邊形有______對(duì)角線．【答案】（1）1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線的定義，可得答案；（2）根據(jù)對(duì)角線的定義，可得答案；（3）根據(jù)探索，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（4）根據(jù)對(duì)角線的公式，可得答案．【詳解】解：（1）經(jīng)過點(diǎn)可以做1條對(duì)角線；同樣，經(jīng)過點(diǎn)可以做1條；經(jīng)過點(diǎn)可以做1條；經(jīng)過點(diǎn)可以做1條對(duì)角線．通過以上分析和總結(jié)，圖1共有2條對(duì)角線．故答案為：1、1、1、2；（2）拓展延伸：運(yùn)用（1）的分析方法，可得：圖2共有5條對(duì)角線；圖3共有9條對(duì)角線，故答案為：5、9；（3）探索歸納：對(duì)于邊形，共有條對(duì)角線．故答案為：；（4）特例驗(yàn)證：十邊形有對(duì)角線．故答案為：35.【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，發(fā)現(xiàn)多邊形對(duì)角線公式是解題關(guān)鍵．27．（2023.湖南懷化七年級(jí)期末）為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分，我們從最簡(jiǎn)單的情形入手：（1）一條直線把平面分成2部分；（2）兩條直線最多可把平面分成4部分；（3）三條直線最多可把平面分成7部分…；把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理，列表分析：直線條數(shù)把平面分成部分?jǐn)?shù)寫成和形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………（1）當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成部分，寫成和的形式；（2）當(dāng)直線為n條時(shí)，把平面最多分成部分．【答案】16，1+2+3+4+5；1+n（n+1）．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，把平面最多分成1+1+2+3+4+5=16部分；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，得出當(dāng)直線為n條時(shí)，把平面最多分成：1+1+2+3+…+n=1+n（n+1）．考點(diǎn)：探尋規(guī)律．28．（2023秋·山西太原·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察探究及應(yīng)用．（1）如圖，觀察圖形并填空：一個(gè)四邊形有_______條對(duì)角線；一個(gè)五邊形有_______條對(duì)角線；一個(gè)六邊形有_______條對(duì)角線；（2）分析探究：由凸邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作_______條對(duì)角線，多邊形有個(gè)頂點(diǎn)，若允許重復(fù)計(jì)數(shù)，共可作_______條對(duì)角線；（3）結(jié)論：一個(gè)凸邊形有_______條對(duì)角線；（4）應(yīng)用：一個(gè)凸十二邊形有多少條對(duì)角線？【答案】（1）2；5；9；（2）(n-3)；n(n-3)；（3）；（4）54【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)出對(duì)角線條數(shù)即可；（2）根據(jù)所畫圖形可推導(dǎo)出凸n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出(n-3)條對(duì)角線，進(jìn)而可得共可作n(n-3)條對(duì)角線；（3）由（2）可知，任意凸n邊形的對(duì)角線有條，即可解答；（4）把n=12代入（3）計(jì)算即可．【詳解】解：（1）根據(jù)圖形數(shù)出對(duì)角線條數(shù)，一個(gè)四邊形有2條對(duì)角線，一個(gè)五邊形有5條對(duì)角線，一個(gè)六邊形有9對(duì)角線；故答案為：2；5；9；（2）∵從凸4邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作1條對(duì)角線，從凸5邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作2條對(duì)角線，從凸6邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作3條對(duì)角線，從凸7邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可作4條對(duì)角線，…∴從凸n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出(n-3)條對(duì)角線，若允許重復(fù)計(jì)數(shù)，共可作n(n-3)條對(duì)角線；故答案為：(n-3)；n(n-3)．（3）由（2）可知，任意凸n邊形的對(duì)角線有條，故答案為：．（4）把n=12代入計(jì)算得：=54．故一個(gè)凸十二邊形有54條對(duì)角線．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線，解題關(guān)鍵是n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有(n-3)條．29．（2023春·山東·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【思路探究】（1）上學(xué)期我們學(xué)習(xí)了線段，如圖1，B，C，D是線段上異于點(diǎn)A，E的三個(gè)點(diǎn)，圖中共有多少條線段？

（2）本學(xué)期我們又學(xué)習(xí)了角，如圖2，從的頂點(diǎn)O引出3條射線，且在的內(nèi)部，圖中共有多少個(gè)大于且小于的角？

（3）圖3是同學(xué)練習(xí)寫字用的米字格，圖3中含有多少個(gè)三角形？

【問題解決】（4）若從的頂點(diǎn)O出發(fā)，在的內(nèi)部引出條射線，則圖中共有多少個(gè)大于而小于的角？（5）圖4是同學(xué)練習(xí)寫字用的九宮格，圖中含有多少個(gè)長(zhǎng)方形（包括正方形）？

【答案】（1）條；（2）個(gè)；（3）個(gè)；（4）個(gè)；（5）個(gè)【分析】（1）數(shù)出線段的條數(shù)即可；（2）數(shù)出角的個(gè)數(shù)即可；（3）數(shù)出三角形的個(gè)數(shù)即可；（4）根據(jù)角的定義，得到每相鄰兩條射線組成的角有個(gè)，每相隔1條射線的兩條射線組成的角有個(gè)，，每相隔條射線的兩條射線組成的角有2個(gè)，每相隔條射線的兩條射線組成的角有1個(gè)，再進(jìn)行相加即可；（5）由一個(gè)格子組成的長(zhǎng)方形有9個(gè)；由兩個(gè)格子組成的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)有（個(gè)）；由3個(gè)格子組成的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)有6個(gè)；由4個(gè)格子組成的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)有4個(gè)；由6個(gè)格子組成的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)有4個(gè)；由9個(gè)格子組成的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)有1個(gè)；再進(jìn)行相加即可．【詳解】解：（1）圖中的線段有條：．答：圖中共有條線段．（2）圖中共有個(gè)大于且小于的角：答：圖中共有個(gè)大于且小于的角．（3）由一個(gè)三角形組成的三角形個(gè)數(shù)有8個(gè)，由兩個(gè)三角形組成的三角形個(gè)數(shù)有4個(gè)，由四個(gè)三角形組成的三角形個(gè)數(shù)有4個(gè)，所以共有：（個(gè)）．答：圖3中含有個(gè)三角形．（4）若從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引出條射線，則大于且小于的角中，每相鄰兩條射線組成的角有個(gè)，每相隔1