量子力學(xué)中微擾理論的簡單論述

-PAGE11-量子力學(xué)中微擾理論的簡單論述微擾理論是量子力學(xué)的重要的理論，對于中等復(fù)雜度的哈密頓量，很難找到其薛定諤方程的精確解，只有幾個量子模型有精確解，像氫原子、量子諧振子、與箱歸一化粒子.這些量子模型都太過理想化，無法適當(dāng)?shù)孛枋龃蠖鄶?shù)的量子系統(tǒng).應(yīng)用微擾理論，可以將這些理想的量子模型的精確解，用來生成一系列更復(fù)雜的量子系統(tǒng)的解答.\o"量子力學(xué)"量子力學(xué)的微擾理論引用一些\o"數(shù)學(xué)"數(shù)學(xué)的\o"攝動理論"微擾理論的近似方法.當(dāng)遇到比較復(fù)雜的量子系統(tǒng)時，這些方法試著將復(fù)雜的量子系統(tǒng)簡單化或理想化，變成為有精確解的量子系統(tǒng)，再應(yīng)用理想化的量子系統(tǒng)的精確解，來解析復(fù)雜的量子系統(tǒng).基本的方法是，從一個簡單的量子系統(tǒng)開始，這簡單的系統(tǒng)必須有精確解，在這簡單系統(tǒng)的\o"哈密頓量"哈密頓量里，加上一個很弱的微擾，變成了較復(fù)雜系統(tǒng)的哈密頓量.假若這微擾不是很大，復(fù)雜系統(tǒng)的許多物理性質(zhì)（例如，\o"能級"能級，\o"量子態(tài)"量子態(tài)，波函數(shù)）可以表達(dá)為簡單系統(tǒng)的物理性質(zhì)加上一些修正.這樣，從研究比較簡單的量子系統(tǒng)所得到的知識，可以進(jìn)而研究比較復(fù)雜的量子系統(tǒng).微擾理論可以分為兩類，不含時微擾理論與含時微擾理論.不含時微擾理論的微擾哈密頓量不含時間，而含時微擾理論的微擾哈密頓量含時間.1非簡并定態(tài)微擾論1.1理論簡述近似方法的精神是從已知的較簡單的問題準(zhǔn)確解出發(fā)，近似地求較復(fù)雜的一些問題的解，當(dāng)然，還希望了解這些求解方法的近似程度，估算出近似解和準(zhǔn)確解之間的最大偏離.下面我們將討論體系在受到外界與時間無關(guān)的微小擾動時，它的能級和波函數(shù)所發(fā)生的變化.[1]假設(shè)體系的哈密頓量不顯含，定態(tài)的薛定諤方程滿足下述條件：（1）可分解為和兩部分厄米，而且遠(yuǎn)小于：，上式表示，與的差別很小，可視為加與上的微擾.由于不顯含，因此無論或是均不顯含.（2）的本征值和已經(jīng)求出，即在的本征方程中，能級及波函數(shù)都是已知的.微擾論的任務(wù)就是從的本征值和本征函數(shù)出發(fā)，近似求出經(jīng)過微擾后，的本征值和本征函數(shù).（3）的能級無簡并，嚴(yán)格來說，是要求通過微擾論來計算它的修正的那個能級無簡并.例如，要通過微擾論計算對的第個能級的修正，就要求無簡并，它相應(yīng)的波函數(shù)只有一個.其他能級既可以是簡并的，也可以不是簡并的.[2]（4）的能級組成分立譜，或者嚴(yán)格點說，至少必須要求通過微擾來計算它的修正的那個能級處于分立譜內(nèi)，是束縛態(tài).在滿足上述條件下，可利用定態(tài)非簡并微擾論從已知的的本征值和本征函數(shù)近似求出的本征值和本征函數(shù).為表征微擾的近似程度，通?？梢M(jìn)一個小的參數(shù)，將寫成，將的微小程度通過反映出來.體系經(jīng)微擾后的薛定諤方程是：將能級和波函數(shù)按展開：，，…，，…分別表示能級和波函數(shù)的一級，二級…修正.將上兩式代入薛定諤方程中得： 然后比較上式兩端的的同次冪，可得出各級近似下的方程式：：：=：……零級近似顯然是無微擾時的定態(tài)薛定諤方程式，同樣還可以列出準(zhǔn)確到，……等各級的近似方程式.[3]1.2一級微擾求一級微擾修正只需要求解=.由于厄米，的本征函數(shù)系系展開將此式代入的近似薛定諤方程中的為求出展開系數(shù)，以左乘上式并對全空間積分，利用系的正交歸一性后，得當(dāng)時，得 當(dāng)時，得那么接下來計算，利用的歸一條件，在準(zhǔn)確到數(shù)量級后，又因波函數(shù)歸一，得：將代入上式得必為純虛數(shù)，即為實數(shù).準(zhǔn)確到的一級近似，微擾后體系的波函數(shù)是上式表明，的貢獻(xiàn)無非是使波函數(shù)增加了一個無關(guān)緊要的常數(shù)相位因子，那么，不失普遍性，可取因此，準(zhǔn)確到一級近似，體系的能級和波函數(shù)是上式表明，準(zhǔn)確到一級近似，在無微擾能量表象中的對角元給出能量的一級修正，非對角元給出波函數(shù)的一級修正.[4]1.3二級修正求二級修正需要求解=與求一級修正的步驟相似，將二級修正波函數(shù)按展開將此式代入上式得:以左乘上式，并對全空間進(jìn)行積分后得：當(dāng)時，得，考慮到0，由上式得：當(dāng)時，由上式得：、至于，同樣可以由波函數(shù)的歸一條件算出，由得或同樣，若取為實數(shù)，那么由上式得：綜合上述，準(zhǔn)確到二級近似嗎，體系的能級和波函數(shù)是：同理，其他各級近似也可用類似的方法算出.[5]1.4非簡并定態(tài)微擾的討論（1）由微擾后的能級可知，微擾實用的條件是只有滿足該式，才能滿足微擾級數(shù)的收斂性，保證微擾級數(shù)中最后一項小于前一項.這就是的明確表示，微擾方法能否應(yīng)用，不僅決定于微擾的大小，而且決定于微擾的大小，而且還決定于無微擾體系兩個能級之間的間距.只有當(dāng)微擾算符在兩個無微擾體系波函數(shù)之間的矩陣元的絕對值遠(yuǎn)小于五微擾體系相應(yīng)的兩能級間隔時，才能用微擾論來計算.這就是為什么必須要求作微擾計算的能級處于分立譜，因為如果能級是連續(xù)譜，它和相鄰的能級的能級間距趨于零，對于除能外的其他所有能級，是不可能都被滿足的.[6]（2）如何在中劃分和十分重要，和取得好，上式不僅可以滿足，而且可以使級數(shù)收斂的很快，避免了繁長的微擾計算.一般，除了要求的本征值和本征函數(shù)必須已知外，還可以從體系的對稱性及微擾矩陣元是否滿足一定的選擇定則來考慮劃分和.（3）能量本征函數(shù)和本征值的二級修正由相應(yīng)的一級修正給出，這樣我們可以說，微擾論其實也是一種逐步逼近法.（4）關(guān)于的討論：由得出，若設(shè)我們將看成一個可變化的參數(shù)，則顯然當(dāng)0時，，這時體系未受到微擾的影響；當(dāng)1時，，微擾全部加進(jìn)去了.因此、可以想象體系當(dāng)從0緩慢變化到1的過程，也就是體系從無微擾的狀態(tài)逐步變成有微擾的狀態(tài)的過程.[7]1.5海曼—費曼定理設(shè)是的函數(shù)，因此他的本征方程和歸一條件為：由上式得：上式就是費曼—海曼定理，它通過對微擾參數(shù)的積分給出了含微擾的能量和無微擾能量之差.2簡并定態(tài)微擾論2.1理論簡述：除一維束縛態(tài)外，一般情況下均有簡并，因此簡并微擾比非簡并微擾更具有普遍性，可以說，簡并微擾是非簡并微擾的特例.假定的第個能級有度簡并，即對應(yīng)于有個本征函數(shù)（=1，2，3…….）.與簡并微擾不同，現(xiàn)在由于不知道在這個本征函數(shù)中應(yīng)該取哪一個作為無微擾本征函數(shù).因此，簡并微擾要解決的第一個問題就是：如何適當(dāng)選擇零級波函數(shù)進(jìn)行微擾計算.設(shè)的本征方程是：歸一化條件是：的本征方程是：由于是完備系，將按展開后，得：將此式代入上式得：以左乘上式兩端，對全空間進(jìn)行積分后有：其中：按微擾的精神，將的本征值和在表象中的本征函數(shù)按的冪級數(shù)作微擾展開：再將這兩式代入后得：比較上式給出的兩端的同次冪，給出：：：如果討論的能級是第個能級，即，由的0次冪方程式得：即：是個待定的常數(shù).再由一級近似下的薛定諤方程得：在上式中，當(dāng)，得能級的一級修正為：為方便書寫起見，略去指標(biāo)，記同一能級中，不同簡并態(tài)，之間的矩陣元為.因此，上式可改寫為：上式是一個以系數(shù)為未知數(shù)的線性齊次方程組，它有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零，即：這是個次的久期方程.由這個久期方程可以解出的個根（a=1,2,3……）將這個根分別代入上個齊次線性方程組式后，可得出相應(yīng)的組解（a=1,2,3……），將它們代入后，得出與相應(yīng)的零級波函數(shù)的系數(shù).從而給出零級波函數(shù)和能量本征值的一級修正.它們分別是：那么，由上式可知，新的零級波函數(shù)實際上是原來相應(yīng)于第個能級的各個簡并本征函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)由久期方程決定.一般地，如果久期方程無重根，將求得的代入：原則上可以求出組不同的解，那么可以求出個零級近似的波函數(shù).[8]2.2簡并定態(tài)微擾論的討論（1）簡并來自對守恒量的不完全測量.每一個守恒量對應(yīng)于一種對稱性.若由這個次的久期方程解出的（a=1,2,3……）無重根，那么，無微擾能級經(jīng)微擾后分裂為條，它們的波函數(shù)由各自對應(yīng)的（a=1,2,3……）表示.這時，簡并將完全消除，原來帶來簡并的對稱性或守恒量將發(fā)生或缺.同理，若有重根，只要不是重根，都將部分地消除簡并，引起部分對稱或缺.[9]（2）經(jīng)過重新組合后的零級波函數(shù)（a=1,2,3……）彼此互相正交，滿足.（3）在屬于的維子空間中，若經(jīng)過非簡并微擾方法重新組合后的（a=1,2,3……）為基矢，則有：由上式可知，在經(jīng)過非簡并微擾方法處理后的簡并態(tài)構(gòu)成的子空間中，對應(yīng)對角矩陣.因此，簡并微擾方法的主要精神在于：重新組合簡并態(tài)