山西省晉城市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省晉城市2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A.2.已知集合且，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】在集合中且，有三個(gè)元素，所以，則的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C.3.若向量,，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，且，則，即，解得.故選：A.4.若甲、乙、丙、丁、戊隨機(jī)站成一排，則甲、乙不同時(shí)站兩端的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榧?，乙同時(shí)站兩端的概率為，所以甲，乙不同時(shí)站兩端的概率為.故選：B.5.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析∵，∴，由題意得，對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立．∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴，∴，即的取值范圍為．故選：D.6.已知為定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，又，所以，根據(jù)題意作出的大致圖象，如下圖所示，等價(jià)于，或，由圖可得.故選：D.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為的右支上一點(diǎn)，，則的離心率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意得，的離心率為，在中，由正弦定理可得，故選：B.8.設(shè)表示中最大的數(shù).已知均為正數(shù)，則的最小值為（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】設(shè).因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則.因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則.所以，則的最小值為3.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選耤的得0分.9.已知曲線，則（）A.曲線不可能是一個(gè)圓B.曲線可能為一條直線C.當(dāng)且時(shí)，曲線的準(zhǔn)線方程為D.當(dāng)時(shí)，曲線關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BC【解析】取，得，即，A錯(cuò)誤.取時(shí)，該方程為，B正確.當(dāng)且時(shí)，，曲線的準(zhǔn)線方程是，C正確.當(dāng)時(shí)，該方程為，即，曲線關(guān)于直線對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.與的最小正周期相等B.當(dāng)時(shí)，C.與的圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)D.與在上的單調(diào)性相同【答案】ABD【解析】與的最小正周期均為，A正確；若，則，B正確；作出與在上的大致圖象，如圖所示.由圖可知，與的圖象在上只有1個(gè)交點(diǎn)，與在上均為增函數(shù).C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.11.已知正棱錐的體積為，則其側(cè)棱長(zhǎng)可能為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】CD【解析】設(shè)正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面正多邊形的外接圓的半徑為，則，則正棱錐的高，正棱錐的底面多邊形的面積，所以正棱錐的體積，其中，令，可得.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.可知，則，解得.故選：CD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為銳角三角形的三條邊，則直線與圓的位置關(guān)系是__________.【答案】相交【解析】由題意可知，則，圓的圓心到直線的距離.所以直線與圓相交.故答案為：相交.13.已知一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為2，其中，則這組數(shù)據(jù)的極差為_(kāi)_________.【答案】2或3【解析】因?yàn)椋实?0百分位數(shù)為第5位數(shù)，當(dāng)時(shí)，將數(shù)據(jù)從小到大排列為，第5位數(shù)為2，滿足題意，此時(shí)極差為，當(dāng)時(shí)，將數(shù)據(jù)從小到大排列為，第5位數(shù)為2，滿足題意，此時(shí)極差為，當(dāng)時(shí)，將數(shù)據(jù)從小到大排列為，第5位數(shù)為，不滿足題意，故這組數(shù)據(jù)的極差為2或3.故答案為：2或3.14.如圖，現(xiàn)有一個(gè)半球形容器（有蓋），其表面積為平方分米，忽路容器的厚度，若在該容器內(nèi)放入兩個(gè)半徑均為分米的球，則的最大值為_(kāi)_________.（結(jié)果精確到0.1）.【答案】或【解析】設(shè)半球形容器對(duì)應(yīng)的半球的半徑為分米，則該容器表面積為平方分米，得.根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)兩個(gè)球外切且均與半球相切（與球面相切，且與容器蓋所在平面相切）時(shí)，取得最大值，這也相當(dāng)于求半徑為10分米的四分之一個(gè)球的內(nèi)切球，如圖，由，得.故答案：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在四棱錐中，底面為矩形，且．（1）證明：平面底面．（2）若，，，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌鏋榫匦危?，又，，平面，所以平面．因?yàn)榈酌?，所以平面底面．?）解：由（1）得，，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則，，，，則，，設(shè)，因?yàn)?，則，解得，所以，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，得．因?yàn)椋灾本€與平面所成角的正弦值為．16.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.甲、乙、丙人進(jìn)行跳棋比賽，人兩兩各進(jìn)行局，共進(jìn)行局，贏的局?jǐn)?shù)多者獲勝，且這人只有人可獲勝，若沒(méi)有獲勝者，則這人兩兩再各進(jìn)行局，若還沒(méi)有獲勝者，則比賽結(jié)束.假設(shè)甲、乙、丙每人每局贏的概率均為，每局是平局的概率均為，每人每局的結(jié)果相互獨(dú)立.設(shè)每贏局得分，平局得分，輸局得分.（1）求該跳棋比賽前局沒(méi)有獲勝者且乙和丙的得分相等的概率；（2）已知前局中甲、乙、丙各贏局，這人兩兩再各進(jìn)行局，記甲在這局中獲得的總分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）依題意可得乙和丙不可能都得分或分，則乙和丙可能都得分或分，當(dāng)乙和丙都得分時(shí)，這局均為平局或這局每人各贏局；當(dāng)乙和丙都得分時(shí)，乙與丙都贏了甲且乙與丙的對(duì)局結(jié)果為平局.所以該跳棋比賽前局沒(méi)有獲勝者且乙和丙的得分相等的概率為.（2）依題意可得的可能取值為，則，，，，，則的分布列為：65432故.18.若數(shù)列是等差數(shù)列，則稱與互為和等差數(shù)列.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）若，試問(wèn)與是否互為和等差數(shù)列？說(shuō)明你的理由.（2）設(shè)為等比數(shù)列，，且與互為和等差數(shù)列.①求的通項(xiàng)公式；②設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，滿足上式，因此，而，則，，所以與互為和等差數(shù)列.（2）①數(shù)列中，，由，得，當(dāng)時(shí)，，即，則，又，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，，即，由與互為和等差數(shù)列，得數(shù)列為等差數(shù)列，又為等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.②，所以.19.已知橢圓的離心率為，過(guò)定點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線的斜率不為0.（1）求的長(zhǎng)軸長(zhǎng).（2）若，證明：直線的斜率之和為定值.（3）若，設(shè)直線分別交于都異于兩點(diǎn)，且的斜率存在，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).（1）解