2022年廣東省深圳市龍崗區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試題（解析版）

2022年廣東省深圳市龍崗區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試題一．選擇題：（每小題只有一個選項，每小題3分，共計30分）1.下列四個幾何體中，左視圖為圓的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖的法則可得出答案.【詳解】解：左視圖為從左往右看得到的視圖，A.球的左視圖是圓，B.圓柱的左視圖是長方形，C.圓錐的左視圖是等腰三角形，D.圓臺的左視圖是等腰梯形，故符合題意的選項是A.【點睛】錯因分析較容易題.失分原因是不會判斷常見幾何體的三視圖.2.一元二次方程的解是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】這個式子先移項，變成x2=4，從而把問題轉(zhuǎn)化為求4的平方根．【詳解】移項得，x2=4開方得，x=±2，故選D．【點睛】（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點．3.Rt△ABC中∠C＝90°，sinA，則tanA的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由sinA，得出∠A＝30°，再等角30°的正切值得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠C＝90°，sinA，∴∠A＝30°，∴tan30°．故選：C．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值,牢記特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．4.如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線分別交邊AD、BC于E、F兩點，則陰影部分的面積是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EDB=∠OBF，DO=BO，在△EDO和△FBO中，∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴S△DEO=S△BFO，陰影面積故選：A.5.某校前年用于綠化的投資為20萬元，今年用于綠化的投資為36萬元，設(shè)這兩年用于綠化投資的年平均增長率為x，則列方程得（）A.20（1+2x）＝36 B.20（1+x2）＝36C.20（1+x）2＝36 D.20（1+x）+20（1+x）2＝36【答案】C【解析】【分析】是增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），設(shè)這兩年綠化投資的年平均增長率為x，根據(jù)“前年用于綠化的投資為20萬元，今年用于綠化的投資為36萬元”，可得出方程．【詳解】解：設(shè)這兩年綠化投資的年平均增長率為x，依題意得20（1+x）2＝36．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，平均增長率問題，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．6.某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（）實驗次數(shù)10020030050080010002000頻率0.3650.3280.3300.3340.33603320.333A.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃B.拋一個質(zhì)地均勻正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5C.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”D.拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率【答案】C【解析】【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到實驗的概率在0.33左右，再分別計算出四個選項中的概率，然后進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為，不符合題意；B、拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5的概率為，不符合題意；C、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”的概率是，符合題意；D、拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率為，不符合題意，故選C．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，ABC與DEF位似，原點O是位似中心，則E點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到ABDE，求出，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：∵A（1，0），D（3，0），∴OA＝1，OD＝3，∵△ABC與△DEF位似，∴ABDE，∴＝＝，∴△ABC與△DEF的位似比為1：3，∵點B的坐標(biāo)為（2，1），∴E點的坐標(biāo)為（2×3，1×3），即E點的坐標(biāo)為（6，3），故選：D．【點睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出△ABC與△DEF的位似比是解題的關(guān)鍵．8.下列命題中，假命題的是（）．A.順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所形成的圖形是菱形；B.各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形相似；C.反比例函數(shù)的圖像既是軸對軸圖形，也是中心對稱圖形；D.已知二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x的增大而減小．【答案】B【解析】【分析】真命題就是正確的命題,即如果命題的題設(shè)成立,那么結(jié)論一定成立．【詳解】A選項，順次連接對角線相等的四邊形的四邊中點所形成的圖形是菱形，是真命題，不符合題意．B選項，各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形相似；凸凹多邊形各邊成比例時，不是相似多邊形，符合題意．C選項，反比例函數(shù)的圖像既是軸對軸圖形，也是中心對稱圖形；是真命題，不符合題意．D選項，已知二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x的增大而減??；是真命題，不符合題意．故選B【點睛】此題考察的知識點：菱形的性質(zhì)、多邊形相似的概念、反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像的性質(zhì)；掌握真假命題的概念是解答此題的關(guān)鍵．9.如圖，A，B兩點的坐標(biāo)分別是，，拋物線的頂點在線段AB上運(yùn)動，與x軸交于C，D兩點（C在D的左側(cè)），點C的最小值為，則D點的橫坐標(biāo)的最大值是（）A.1 B.3 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)A，B點的坐標(biāo)分析出當(dāng)對稱軸時，C有最小值為，可得D點的橫坐標(biāo)為3，，當(dāng)對稱軸時，得，根據(jù)，可得．【詳解】解：由題意可知：當(dāng)對稱軸時，C有最小值為，∵對稱軸，可得，，當(dāng)對稱軸時，得，∵，可得，∴D點的橫坐標(biāo)的最大值為5，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)頂點坐標(biāo)以及與x軸的交點，關(guān)鍵是理解C有最小值時，對稱軸，求出D坐標(biāo)，以及CD長，當(dāng)對稱軸平移，C，D點也平移，此時，利用CD的距離可求出D坐標(biāo)．10.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在BC的延長線上取一點E，連接OE交CD于點F．已知，，則CF的長是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作OGCD交BC于點G，根據(jù)平行線分線段成比例定理證明BG＝CG，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OB＝OD，則GO是△BCD的中位線，可求出BG、CG和OG的長，再求出GE的長，由CFGO可得△ECF∽△EGO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CF的長．【詳解】解：如圖，作OGCD交BC于點G，∵四邊形ABCD是菱形，且AB＝5，∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，∴，∴BG＝CG＝，∴GO是△BCD的中位線∴GO＝CD＝，GOCD∵CE＝1，∴GE＝CG+CE＝+1＝，∵CFGO，∴∠ECF=∠EGO∵∠E=∠E∴△ECF∽△EGO，∴，∴CF＝，∴CF的長為，故選：D．【點睛】此題考查菱形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題：（每小題3分，共計15分）11.四條線段a、b、c、d成比例，其中cm、cm、cm，則線段___cm．【答案】9【解析】【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據(jù)定義ad＝cb，將a，b及c的值代入即可求得d．【詳解】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝3cm，c＝3cm，∴d＝＝9，則d＝9cm．故答案為：9．【點睛】本題考查了比例線段，關(guān)鍵是理解比例線段的概念，列出比例式，用到的知識點是比例的基本性質(zhì)．12.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則k＝___．【答案】1【解析】【分析】因為方程有兩個相等的根，所以根的判別式，故可求出k的值．【詳解】解：∵方程有兩個相等的根，∴，解得：，故答案為：1．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，根據(jù)方程根的情況求參數(shù)，屬于容易題．13.小明的身高為1.6m，某一時刻他在陽光下的影子長為2m，與他鄰近的一棵樹的影長為10m，則這棵樹的高為_____m．【答案】8【解析】【分析】利用平行投影的特征以及相似三角形的性質(zhì)可求出答案．【詳解】解：假設(shè)樹高為hm，由題意可知：，解得：，即樹高8m．故答案為：8．【點睛】本題考查平行投影及相似三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是理解平行投影的特點：兩個物體豎直放在地面上，兩個物體及它們各自的影子及光線構(gòu)成的兩個直角三角形相似，利用相似的性質(zhì)求解.14.如圖，A，B兩點分別在x軸正半軸，y軸正半軸上且，，將△AOB沿AB翻折得ADB，反比例函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過D點，則k的值是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO＝ABcos30°＝＝6，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6，求得∠DAO＝60°，過D作DC⊥OA于C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，AB＝，∴AO＝ABcos30°＝＝6，∵將△AOB沿AB翻折得△ADB，∴∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6，∴∠DAO＝60°，過D作DC⊥OA于C，∴∠ACD＝90°，∴AC＝AD＝3，CD＝AD＝，∴D（3，），∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好經(jīng)過D點，∴k＝3×＝，故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)點的坐標(biāo)特征，翻折變換（折疊問題），直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在正方形ABCD中，M是對角線BD上一點，連接AM，將AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AN，連接MN交AD于E點，連接DN．則下列結(jié)論中：①；②；③；④當(dāng)時，則．其中正確結(jié)論的序號是_____．【答案】①②④【解析】【分析】由“SAS”可證△ABM≌△DAN，可得∠ABM=∠ADN=45°，可證DN⊥BD，故①正確；通過證明點A，點M，點D，點N四點共圓，可得∠MAE=∠DNE，故②正確；通過證明△AEN∽△AND，可得MN2=2AD?AE，故③錯誤；通過證明△ANE∽△MDE，可得，故④正確，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，∵將AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AN，∴AM=AN，∠MAN=90°=∠BAD，∴∠BAM=∠DAN，∴△ABM≌△DAN（SAS），∴∠ABM=∠ADN=45°，∴∠BDN=∠ADB+∠ADN=90°，∴DN⊥BD，故①正確；∵∠MAN=∠MDN=90°，∴點A，點M，點D，點N四點共圓，∴∠MAE=∠DNE，故②正確；∵AM=AN，∠MAN=90°，∴MN2=AM2+AN2=2AN2，∠ANM=45°，∵∠DAN=∠NAE，∠ANM=∠ADN=45°，∴△AEN∽△AND，∴，∴AN2=AD?AE，∴MN2=2AD?AE，故③錯誤；設(shè)AB=AD=a，則BD=，∵AD=MD=a，∴BM=（）a=DN，∴MN2=DN2+MD2=2AN2，∴AN2=（）a2，∵點A，點M，點D，點N四點共圓，∴∠DAN=∠DMN，∠ANM=∠ADM，∴△ANE∽△MDE，∴，故④正確，故答案為：①②④．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．三．解答題：（本題共7小題，其中第16題6分，第17題6分，第18題7分，第19題8分，第20題9分，第21題9分，第22題10分，共55分）16.計算：【答案】【解析】【分析】直接利用負(fù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡和零指數(shù)冪分別計算，然后根據(jù)實數(shù)的混合運(yùn)算法則計算即可求解．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查負(fù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡和零指數(shù)冪，熟記相關(guān)運(yùn)算法則和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．17.為了豐富校園文化生活，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)展，學(xué)校開展了多種社團(tuán)活動．小明喜歡的社團(tuán)有：合唱社團(tuán)、足球社團(tuán)、書法社團(tuán)、科技社團(tuán)（分別用字母A，B，C，D依次表示這四個社團(tuán)），并把這四個字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面上，然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上．（1）小明從中隨機(jī)抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率是．（2）小明先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母后不放回，再從剩余的卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母．請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的概率．【答案】（1）；（2）見解析，.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解；（2）利用列表法展示所有12種等可能性結(jié)果，再找出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）小明從中隨機(jī)抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率＝；（2）列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表可知共有12種等可能結(jié)果，小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的結(jié)果數(shù)為6種，所以小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的概率為.【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率18.如圖，上午9時，一條船從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30分到達(dá)B處，從A，B兩處分別測得小島C在北偏東45°和北偏東15°．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求B處船與小島C的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）30°（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）過點B作BD⊥AC與點D，根據(jù)已知可求得BD的長，再根據(jù)三角函數(shù)即可求得BC的長．【小問1詳解】解：由題意可知∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠C＝180°－105°－45°＝30°．【小問2詳解】解：作BD⊥AC于D點，則∠ADB=∠BDC=90°，Rt△ABD中，，∠BAC＝45°，∴，在Rt△CBD中，∠C＝30°，∴．即B處船與小島C的距離為海里．【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，解題的關(guān)鍵是把一般三角形的問題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．19.如圖，等腰ABC中，，交BC于D點，E點是AB的中點，分別過D，E兩點作線段AC的垂線，垂足分別為G，F(xiàn)兩點．（1）求證：四邊形DEFG為矩形；（2）若，，求CG的長．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）欲證明四邊形DEFG為矩形，只需推知該四邊形為平行四邊形，且有一內(nèi)角為直角即可；（2）首先根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的長度；最后結(jié)合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可．【小問1詳解】證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴點D是BC的中點．∵E點是AB中點，∴DE是△ABC的中位線．∴DEAC.∵DG⊥AC，EF⊥AC，∴EFDG∴四邊形DEFG是平行四邊形．又∵∠EFG＝90°，∴四邊形DEFG為矩形；【小問2詳解】解：∵AD⊥BC交BC于D點，∴∠ADB=∠ADC=90°∴△ADB是直角三角形∵E點是AB的中點，AB＝10，∴DE＝AE＝BC＝5．由（1）知，四邊形DEFG為矩形，∴GF＝DE＝5在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF＝．∵AB＝AC＝10，F(xiàn)G＝ED＝5，∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，根據(jù)題意找到長度相等的線段是解題的關(guān)鍵．20.某水果超市以每千克20元的價格購進(jìn)一批櫻桃，規(guī)定每千克櫻桃售價不低于進(jìn)價又不高于40元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，櫻桃的日銷售量y（千克）與每千克售價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，（1）該超市要想獲得1000元的日銷售利潤，每千克櫻桃的售價應(yīng)定為多少元？（2）當(dāng)每千克櫻桃的售價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）30元；（2）當(dāng)每千克櫻桃的售價定為40元時，日銷售利潤最大，最大利潤是1600元．【解析】【分析】（1）設(shè)每千克櫻桃的售價為元，從而可得，再根據(jù)“日銷售利潤為1000元”建立方程，解方程即可得；（2）設(shè)當(dāng)每千克櫻桃的售價為元時，日銷售利潤為元，先求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：（1）設(shè)每千克櫻桃的售價為元，則，由題意得：，解得（不符題意，舍去），答：每千克櫻桃的售價應(yīng)定為30元；（2）設(shè)當(dāng)每千克櫻桃的售價為元時，日銷售利潤為元，由題意得：，整理得：，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在內(nèi)，隨的增大而增大，則當(dāng)時，取得最大值，最大值為，答：當(dāng)每千克櫻桃的售價定為40元時，日銷售利潤最大，最大利潤是1600元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，依據(jù)題意，正確建立方程和函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．21.如圖1，直線的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點D是線段AB上一點，過D點分別作OA、OB的垂線，垂足分別是C、E，矩形OCDE的面積為4，且．（1）求D點坐標(biāo)；（2）將矩形OCDE以1個單位/秒的速度向右平移，平移后記為矩形MNPQ，記平移時間為t秒．①如圖2，當(dāng)矩形MNPQ的面積被直線AB平分時，求t的值；②如圖3，當(dāng)矩形MNPQ的邊與反比例函數(shù)的圖像有兩個交點，記為T、K，若直線TK把矩形面積分成1：7兩部分，請直接寫出t的值．【答案】（1）；（2）①；②或．【解析】【分析】（1）假設(shè)，利用矩形的面積以及可求出D點坐標(biāo)；（2）①假設(shè)QM、PN和直線AB分別交于點T，S，找出M，N坐標(biāo)，表示出MT，SN的長，利用梯形面積等于矩形面積的一半可求出t，②對交點分情況，（?。┙稽c在QP，PN上；（ⅱ）交點在QM，PN上；找出T，K的坐標(biāo)，利用把矩形面積分成1：7的條件求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)，即，，∵，∴，解得：，，∵，∴，即．【小問2詳解】解：①設(shè)QM、PN和直線AB分別交于點T，S，設(shè)，則，則，，S梯形MNST，解得：．②或．（?。┊?dāng)交點如圖所示時，設(shè)，則，，∵由題意可知：，解得：，（舍），∴．（ⅱ）如圖，設(shè)，則，∵由題意可知：S梯形MNKT，解得：，（舍），