專題25 圓錐曲線情景下直線方程求解【一題一專題 技巧全突破】 熱點(diǎn)題型 專項(xiàng)突破（原卷版）

專題25圓錐曲線情景下直線方程求解高考定位圓錐曲線是高考必考內(nèi)容，而圓錐曲線綜合試題其本質(zhì)是點(diǎn)和直線的處理，因此點(diǎn)和直線的求解和表示才是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)。專題解析（1）圓錐曲線背景下求直線方程（2)探索直線的存在性（3）探索動(dòng)點(diǎn)在定直線上（軌跡）專項(xiàng)突破類型一、圓錐曲線背景下求直線方程例1-1.(2021·天津卷)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，離心率為eq\f(2\r(5),5)，且|BF|＝eq\r(5).(1)求橢圓的方程；(2)直線l與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M，與y軸的正半軸交于N，過N與BF垂直的直線交x軸于點(diǎn)P.若MP∥BF，求直線l的方程.練．已知橢圓：的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為且，求直線的傾斜角.練．已知雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn).（1）求C的方程；（2）若斜率為的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)M，若Q為PM的中點(diǎn)，求l的方程.練．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且為圓的圓心．過點(diǎn)的直線交拋物線與圓分別為，，，（從上到下）．（1）求拋物線方程并證明是定值；（2）若，的面積比是，求直線的方程．練．已知橢圓，一組平行直線的斜率為，經(jīng)計(jì)算當(dāng)這些平行線與橢圓相交時(shí)，被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在定直線l上，則直線l的方程為___________.練．已知是拋物線（）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）動(dòng)直線垂直于線段，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形面積為時(shí)，求直線的方程.練.（揚(yáng)州市2021屆一摸T22）已知橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線方程為．（1）求橢圓方程；AEPBF（2）P(0，1)，A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，過A作斜率為k1的直線交橢圓于E，連接EP并延長交橢圓于F，記直線BF的斜率為k2，若k1＝3k2AEPBF練.(廣東省汕頭市金山中學(xué)2021屆高三下學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)測試T21)．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線過點(diǎn)且與軌跡交于點(diǎn)，若是等腰三角形，求直線的方程.練.（廣東省汕頭市金山中學(xué)2021屆高三下學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)測試T21）．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線過點(diǎn)且與軌跡交于點(diǎn)，若是等腰三角形，求直線的方程.練.如圖，已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝eq\f(1,2).(1)求橢圓E的方程；(2)求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程．類型二、探索直線的存在性例2-1．設(shè)分別是平面直角坐標(biāo)系中軸正方向上的單位向量，若向量，，且，其中.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在直線，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.練．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心過橢圓左焦點(diǎn)的圓與直線相切，的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，是否存在常數(shù)，使得點(diǎn)的軌跡在橢圓上？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.練．已知橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，線段與圓相切于該線段的中點(diǎn)，且的面積為2.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓上是否存在三個(gè)點(diǎn)A，，，使得直線過橢圓的左焦點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.例2-2．已知雙曲線過點(diǎn)，焦距為，．（1）求雙曲線C的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，使△構(gòu)成以為頂角的等腰三角形？若存在，求出所有直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．練．已知橢E：的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，上?下頂點(diǎn)分別為B，C，，直線CF交線段AB于點(diǎn)D，且.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線l，使得l交E于M，N兩點(diǎn).且F恰是△BMN的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.例2-3．已知橢圓，，為左、右焦點(diǎn)，直線過交橢圓于，兩點(diǎn)．（1）若直線垂直于軸，求；（2）當(dāng)時(shí)，在軸上方時(shí)，求、的坐標(biāo)；（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．練．雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，與其漸近線分別交于，（從左至右）兩點(diǎn)．①證明：；②是否存在這樣的直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．例2-4．已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．是否存在直線使得以為直徑的圓過點(diǎn)？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由．練．從拋物線上各點(diǎn)向軸作垂線段，記垂線段中點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線；（2）過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)、，線段的垂直平分線交曲線于兩點(diǎn)、，探究是否存在直線使、、、四點(diǎn)共圓？若能，請(qǐng)求出圓的方程；若不能，請(qǐng)說明理由．類型三、探究動(dòng)點(diǎn)在定直線上總結(jié)：探求圓錐曲線中的定直線問題的兩種方法：一是參數(shù)法，即先利用題設(shè)條件探求出動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)(包含參數(shù))，再消去參數(shù)，即得動(dòng)點(diǎn)T在定直線上；二是相關(guān)點(diǎn)法，即先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題設(shè)條件得到已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)，再將動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)代入已知的曲線方程，即得動(dòng)點(diǎn)T在定直線上.例3-1(2021·福州檢測)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)D(1，2)的直線l交C于點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn)，QR⊥x軸交C于點(diǎn)R，且eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\o(RT,\s\up6(→))，證明：動(dòng)點(diǎn)T在定直線上.練(2021·宿州質(zhì)檢)已知點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝4，P點(diǎn)的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)已知圓x2＋y2＝R2上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為：x0x＋y0y＝R2，類比可知橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為：eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.記l1為曲線C在任意一點(diǎn)P處的切線，過點(diǎn)B作BP的垂線l2，設(shè)l1與l2交于Q，試問動(dòng)點(diǎn)Q是否在定直線上？若在定直線上，求出此直線的方程；若不在定直線上，請(qǐng)說明理由.練.(2021·鄭州調(diào)研)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F恰好為橢圓C的右焦點(diǎn)，且該拋