高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價十八　復(fù)數(shù)的幾何意義含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價十八復(fù)數(shù)的幾何意義含答案十八復(fù)數(shù)的幾何意義(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知z=-1-i,則|z|=()A.0 B.1 C.2 D.2【解析】選C.|z|=(-1)22.(5分)(2024·曲靖高一檢測)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)3+2i,-2+3i對應(yīng)的向量分別是,,其中O是坐標原點,則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.1+i B.5-iC.5-3i D.-5+i【解析】選D.由題設(shè)得,=(3,2),=(-2,3),則=-=(-5,1),所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5+i.3.(5分)(2024·重慶高一檢測)設(shè)復(fù)數(shù)z=4-3i,則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為()A.7 B.1 C.5 D.25【解析】選C.復(fù)數(shù)z=4-3i,則z=4+3i,所以|z|=42+4.(5分)已知復(fù)數(shù)z1=6-5i,z2=-2+3i,若z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A,B,線段AB的中點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則|z|=()A.5 B.5 C.3 D.3【解析】選A.由題意得A(6,-5),B(-2,3),則線段AB的中點C的坐標為(2,-1),其對應(yīng)的復(fù)數(shù)z=2-i,則|z|=(-1)25.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-3=0,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是()A.一個圓 B.線段 C.兩點 D.兩個圓【解析】選A.因為|z|2-2|z|-3=0,所以(|z|-3)(|z|+1)=0,所以|z|=3,所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是以原點為圓心,3為半徑的一個圓.6.(5分)(多選)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位)的四個命題,其中正確的是()A.|z|=2B.z對應(yīng)的點在第一象限C.z的虛部為iD.z的共軛復(fù)數(shù)為-1+i【解析】選AB.因為復(fù)數(shù)z=1+i,所以|z|=2,故A正確;因為z對應(yīng)的點(1,1)在第一象限,故B正確;因為z的虛部為1,故C錯誤;因為z的共軛復(fù)數(shù)為1-i,故D錯誤.7.(5分)四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形,A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,2-i,-3+i,則點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為____________.

【解析】依題意,因為A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,2-i,-3+i,所以A(1,3),B(2,-1),C(-3,1).因為ABCD是平行四邊形,所以=.設(shè)D(x,y),則(1,-4)=(-3-x,1-y),故-3-x所以D(-4,5),則點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-4+5i.答案:-4+5i8.(5分)若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,|z|=5,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在函數(shù)y=43x的圖象上,則z=__________【解析】由題意設(shè)z=3t+4ti(t∈R),則z=3t-4ti.因為|z|=5,所以9t2+16t2=25,所以t2=1.又z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,所以t<0,所以t=-1,所以z=-3+4i.答案:-3+4i9.(5分)若復(fù)數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于虛軸上,則實數(shù)m的取值集合為__________.

【解析】因為m為實數(shù),且復(fù)數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(m2-m-2,m2-3m+2)位于虛軸上,所以m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.答案:{-1,2}10.(10分)在復(fù)平面內(nèi),O是原點,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i.(1)如果點A關(guān)于實軸的對稱點為點B,求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)如果(1)中的點B關(guān)于虛軸的對稱點為點C,求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù).【解析】(1)設(shè)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1=x1+y1i(x1,y1∈R),則點B的坐標為(x1,y1).由題意可知,點A的坐標為(2,1).根據(jù)對稱性可知,x1=2,y1=-1,故z1=2-i.(2)設(shè)點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2=x2+y2i(x2,y2∈R),則點C的坐標為(x2,y2).由對稱性可知,x2=-2,y2=-1,故z2=-2-i.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·煙臺高一檢測)已知i為虛數(shù)單位,x,y∈R,若復(fù)數(shù)z=x+yi,z1=2+i,z1的共軛復(fù)數(shù)為z1,且z=z1,則x+y=(A.3 B.-1 C.1 D.-3【解析】選C.z1=2+i,則z1=2-i=x+yi,則x=2,y=-1,x+y=112.(5分)(多選)已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位),且a+b=1,則下列命題正確的是()A.z不可能為純虛數(shù)B.若z的共軛復(fù)數(shù)為z,且z=z,則z是實數(shù)C.若z=|z|,則z是實數(shù)D.|z|可以等于1【解析】選BC.當(dāng)a=0時,b=1,此時z=i,為純虛數(shù),A錯誤;若z的共軛復(fù)數(shù)為z,且z=z,則a+bi=a-bi,因此b=0,B正確;由|z|是實數(shù),且z=|z|知,z是實數(shù),C正確;由|z|=12得a2+b2=14,又a+b=1,b=1-a,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程無實數(shù)解,即|z|不可以等于113.(5分)在復(fù)平面內(nèi),把復(fù)數(shù)3-3i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)π3,則所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________【解析】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標為(3,-3),對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)π3,則對應(yīng)的點的坐標為(0,-23),所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-23i答案:-23i14.(10分)已知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量為(O為坐標原點),與實軸正方向的夾角為120°,且復(fù)數(shù)z的模為2,求復(fù)數(shù)z.【解析】由題意設(shè)點Z的坐標為(a,b)(a<0),因為||=|z|=2,與實軸正方向的夾角為120°,則a2+b2=4解得a=-1,b=±3,即點Z的坐標為(-1,3)或(-1,-3),所以z=-1+3i或z=-1-3i.15.(10分)(1)求復(fù)數(shù)z=x+(2x+1)i(x∈R)的模的最小值;(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),若|z|≥1,0<a<2,0<b<2,求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合形成的圖形的面積.【解析】(1)因為z=x+(2x+1)i(x∈R),所以|z|=x2+=5(x+2當(dāng)且僅當(dāng)x=-25所以當(dāng)x=-25時,|z|取得最小值5(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面上的對應(yīng)點的坐標為(a,b),因為|z|≥1,0<a<2,0<b<2,所以a2+b2≥1,0<a<2,0<b<2,所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合形成的圖形如圖中的陰影部分(不包括x,y軸上的點):所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合形成的圖形的面積S=2×2-π4=4-π【補償訓(xùn)練】設(shè)z∈C,且滿足下列條件,求在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是什么圖形.(1)|z|<3;(2)|z|=2.【解析】(1)由|z|<3得向量的模小于3,所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是以原點O為圓心,3為半徑的圓面,不包括邊界.(2)由|z|=2得向量的模等于2,所以滿足|z|=2的點Z的集合是以原點O為圓心,2為半徑的圓.十二平面幾何中的向量方法向量在物理中的應(yīng)用舉例(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)在△ABC中,若(+)·(-)=0,則△ABC()A.是正三角形 B.是直角三角形C.是等腰三角形 D.形狀無法確定【解析】選C.(+)·(-)=-=0,即||=||,即CA=CB,則△ABC是等腰三角形.【補償訓(xùn)練】(2024·佛山高一檢測)若非零向量與滿足(+)·=0,·=0,則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形【解析】選C.因為非零向量與滿足(+)·=0,又因為,均為單位向量,所以角A的平分線垂直于BC,則AB=AC,因為·=0,所以⊥,即AB⊥AC,所以△ABC為等腰直角三角形.2.(5分)一物體在力F的作用下,由點A(4,-2)移動到點B(5,4).已知F=(3,2),則F對該物體所做的功為()A.-15J B.15J C.28J D.-28J【解析】選B.由A(4,-2),B(5,4),所以=(1,6),又F=(3,2),所以F對物體做的功W=F·=1×3+6×2=15(J).3.(5分)(2024·南充高一檢測)在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=3,=2,=12,CN與BM交于點P,則cos∠BPN的值為()A.55 B.-255 C.-55【解析】選D.建立如圖所示的平面直角坐標系,則B(0,2),N(0,1),C(3,0),M(2,0),得=(-3,1),=(-2,2),所以cos∠BPN==810×24.(5分)(2024·新鄉(xiāng)高一檢測)若平面上的三個力F1,F2,F3作用于一點,且處于平衡狀態(tài).已知|F1|=1N,|F3|=2N,F1與F3的夾角為60°,則F2的大小為()A.1N B.3N C.7N D.3N【解析】選C.根據(jù)三力平衡得F1+F3+F2=0,即F1+F3=-F2,兩邊同時平方得F12+2F1·F3+F3即|F1|2+2|F1||F3|cos60°+即12+2×1×2×12+22=7=|解得|F2|=7.5.(5分)(2024·上海高一檢測)已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點,D是AB的中點,動點P滿足=(1-λ)·+λ(λ∈R),則點P的軌跡一定過△ABC的()A.內(nèi)心 B.垂心C.重心 D.AC邊的中點【解析】選C.由動點P滿足=(1-λ)+λ(λ∈R),且1-λ+λ=1,所以P,C,D三點共線,又因為D為AB的中點,所以CD為△ABC的邊AB的中線,所以點P的軌跡一定過△ABC的重心.【補償訓(xùn)練】在△ABC中,設(shè)-=2·,那么動點M形成的圖形必經(jīng)過△ABC的()A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心【解析】選C.假設(shè)BC的中點是O,則-=(+)·(-)=2·=2·,即(-)·=·=0,所以⊥,所以動點M在線段BC的垂直平分線上,所以動點M形成的圖形必經(jīng)過△ABC的外心.6.(5分)(多選)下列說法錯誤的是()A.若∥,則直線AB與直線CD平行B.若△ABC是直角三角形,則必有·=0C.在△ABC中,若·+=0,則△ABC為等邊三角形D.若A(xA,yA),B(xB,yB),則||=(xB【解析】選ABC.A錯,可能為同一條直線;B錯,直角不一定是∠C;C錯,由條件可得·(+)=·=0,所以∠BAC為直角,即△ABC為直角三角形,非等邊三角形;=(xB-xA,yB-yA),所以||=(xB7.(5分)已知平行四邊形ABCD中,=(1,2),=(3,1),則平行四邊形ABCD的對角線AC的長為__________.

答案:5【解析】由=+=(4,3),所以||=42+38.(5分)加強體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運動,處于如圖所示的平衡狀態(tài)時,若兩只胳膊的夾角為60°,每只胳膊的拉力大小均為2003N,則該學(xué)生的體重(單位:kg)約為________kg.(參考數(shù)據(jù):取重力加速度大小為g=10m/s2)

答案:60【解析】如圖,||=||=2003,∠AOB=60°,作平行四邊形OACB,則OACB是菱形,=+,||=2||sin60°=600,所以|G|=||=600,因此該學(xué)生體重為600g=60010=60(kg).9.(5分)已知向量a=-12,32,=a-b,=a+b,若△OAB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形,則△OAB的面積為________.

答案:1【解析】由題意,得|a|=1.又△OAB是以O(shè)為直角頂點的等腰直角三角形,所以⊥,||=||.由⊥,得(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|.由||=||,得|a-b|=|a+b|,所以a·b=0,所以|a+b|2=|a|2+|b|2=2,則||=||=2,所以S△OAB=12×2×2=1.10.(10分)一條東西方向的河流兩岸平行,河寬250m,河水的速度為向東23km/h.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā),航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距2503m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h,則當(dāng)小貨船的航程最短時,求合速度的方向,并求此時小貨船航行速度的大小.【解析】如圖,AB=250m=0.250km,BC=2503m=34tan∠CAB=BCAB=340.250所以∠CAB=60°,所以∠CAD=90°+60°=150°,所以合速度的方向與水流的方向成150°的角.設(shè)小貨船的速度為v1,水流速度為v2,合速度為v,則v1=v-v2,所以|v1|=v262-2×6×23所以小船航行速度的大小為221km/h.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(多選)在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P,下列結(jié)論正確的是()A.AM=39B.BN=21C.∠MPN的余弦值為21D.++=0【解析】選BD.如圖所示:由題可知,M,N分別為BC,AC中點,則=12(+),同時平方得=14(++2·)=14(++2||||cos∠BAC)=14(4+25+2×2×5×12)=394,則|AM|=392,故A錯誤;又=-,同時平方得==+-2·=254+4-2×52×2×12=214,則||=212,故B正確;cos∠MPN====12×=12×-4+252-12×2×5×++=-+(-)+(-)=+-3=+-3×23=+-3×23×12(+)=0,故D正確.12.(10分)設(shè)作用于同一點的三個力F1,F2,F3處于平衡狀態(tài),若|F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為23π,如圖所示(1)求F3的大小;(2)求F2與F3的夾角.【解析】(1)由題意|F3|=|F1+F2|,因為|F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為23π,所以|F3|=|F1+F2|=1+4+2×1×2×(-12(2)設(shè)F