高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊3.1.2　第2課時　函數(shù)的表示法(二)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊3.1.2第2課時函數(shù)的表示法(二)含答案第2課時函數(shù)的表示法(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過具體實(shí)例,了解簡單的分段函數(shù).2.會求分段函數(shù)的函數(shù)值,能畫出分段函數(shù)的圖象.3.能在實(shí)際問題中列出分段函數(shù)的表達(dá)式,并能解決有關(guān)問題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象數(shù)學(xué)建模分段函數(shù)像y=-x,x教材挖掘(P68)分段函數(shù)y=-x,x<0x提示:x在不同的范圍內(nèi)取值時,y的對應(yīng)關(guān)系不同.版本交融(蘇教P114左邊欄)函數(shù)fx=x+3與函數(shù)fx=x提示:函數(shù)fx=x+3的圖象是由函數(shù)fx=x的圖象向左平移3個單位長度得到的【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)分段函數(shù)是一個函數(shù),而不是幾個函數(shù).(√)(2)分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的交集. (×)提示:分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集.(3)分段函數(shù)的定義域一定要分開寫成幾個集合的形式. (×)提示:分段函數(shù)的定義域只能寫成一個集合的形式.(4)分段函數(shù)的圖象,一定不是連續(xù)的曲線. (×)提示:分段函數(shù)的圖象也可能是連續(xù)的,如函數(shù)y=-x,類型一分段函數(shù)求值(范圍)問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(類題·節(jié)節(jié)高)已知函數(shù)f(x)=x+1(1)求f(-5),f(f(1))的值;【解析】(1)因?yàn)?5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),所以f(-5)=-5+1=-4,f(1)=3×1+5=8,又8∈[2,+∞),f(f(1))=f(8)=2×8-1=15.(2)若f(a)=3,求實(shí)數(shù)a的值;【解析】(2)當(dāng)a≤-2時,f(a)=a+1=3,即a=2>-2,不符合題意,舍去;當(dāng)-2<a<2時,f(a)=3a+5=3,即a=-23∈當(dāng)a≥2時,f(a)=2a-1=3,即a=2∈[2,+∞),符合題意.綜上可得,當(dāng)f(a)=3時,a的值為-23或2(3)若f(a2+2)≥a+4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;【解析】(3)因?yàn)閍2+2≥2,所以f(a2+2)=2(a2+2)-1=2a2+3,所以不等式f(a2+2)≥a+4化為2a2-a-1≥0,解得a≥1或a≤-12即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,-12∪(4)若f(x)>2x,求x的取值范圍.【解析】(4)當(dāng)x≤-2時,f(x)>2x可化為x+1>2x,即x<1,所以x≤-2;當(dāng)-2<x<2時,f(x)>2x可化為3x+5>2x,即x>-5,所以-2<x<2;當(dāng)x≥2時,f(x)>2x可化為2x-1>2x,則x∈?.綜上可得,x的取值范圍是{x|x<2}.【總結(jié)升華】1.分段函數(shù)求值的關(guān)注點(diǎn)(1)注意所給自變量的值所在的范圍,代入相應(yīng)的解析式求得.(2)含有多層“f”的問題,按照“由里到外”的順序,層層處理.(3)已知函數(shù)值求相應(yīng)的自變量值時,應(yīng)在各段中分別求解.2.解分段函數(shù)不等式的注意點(diǎn)(1)注意分類討論.(2)最后結(jié)果取并集.【即學(xué)即練】1.已知f(x)=12x+1,x≤0-(x-1)A.[-4,2) B.[-4,2]C.(0,2] D.(-4,2]【解析】選B.當(dāng)x≤0時,f(x)≥-1即12x+1≥-1,解得x∈當(dāng)x>0時,f(x)≥-1即-(x-1)2≥-1,解得x∈(0,2],綜上,x∈[-4,2].2.設(shè)函數(shù)f(x)=1-x2,x≤1x2+【解析】因?yàn)閤>1時,f(x)=x2+x-2,所以f(2)=22+2-2=4,1f(2又x≤1時,f(x)=1-x2,所以f(1f(2))=f(14)=1-(1類型二分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用(直觀想象)角度1畫分段函數(shù)的圖象【典例2】已知函數(shù)f(x)=1+|x|-x2(1)用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)f(x);【解析】(1)當(dāng)0≤x≤2時,f(x)=1+x-當(dāng)-2<x<0時,f(x)=1+-x-x所以f(x)=1,(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象;【解析】(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.(3)寫出函數(shù)f(x)的值域.【解析】(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域?yàn)閇1,3).【總結(jié)升華】畫分段函數(shù)圖象的策略(1)整段作圖分段取:先不考慮定義域的限制,用虛線分別作出各段圖象,再用實(shí)線保留定義域內(nèi)的圖象.(2)端點(diǎn)實(shí)虛要明確:一定要明確區(qū)間端點(diǎn)是否包含在內(nèi),且用實(shí)心點(diǎn)或空心圈表示.【即學(xué)即練】已知f(x)=x2(1)畫出f(x)的圖象;【解析】(1)利用描點(diǎn)法,作出f(x)的圖象,如圖所示.(2)求f(x)的值域.【解析】(2)由條件知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.由圖象知,當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=x2的值域?yàn)閇0,1],當(dāng)x>1或x<-1時,f(x)=1,所以f(x)的值域?yàn)閇0,1].角度2分段函數(shù)圖象的應(yīng)用【典例3】(教材P68例6改編)將x1,x2,…,xn中的最小數(shù)記為min{x1,x2,…,xn},最大數(shù)記為max{x1,x2,…,xn},則min{max{x2-4x+4,2x-1,-x+8}}(x∈R)的值為()A.1 B.5 C.4 D.6【解析】選B.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=x2-4x+4,y=2x-1以及y=-x+8的圖象,根據(jù)題意可得max{x2-4x+4,2x-1,-x+8}的圖象如圖中的實(shí)線部分所示,聯(lián)立y=2x所以min{max{x2-4x+4,2x-1,-x+8}}(x∈R)的值為5.【總結(jié)升華】分段函數(shù)圖象應(yīng)用的解題策略(1)在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象,觀察圖象,圖象在上方的相應(yīng)函數(shù)值大,圖象在下方的相應(yīng)函數(shù)值小.(2)根據(jù)所求選擇上方或下方的圖象,就得到分段函數(shù)的圖象,通過圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的函數(shù)值可以求函數(shù)的值域.【即學(xué)即練】已知函數(shù)f(x)=-x2+2,g(x)=x,令φ(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的較小者).(1)分別用圖象和解析式表示φ(x);【解析】(1)在同一個坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x),g(x)的圖象如圖①.由圖①中函數(shù)取值的情況,結(jié)合函數(shù)φ(x)的定義,可得函數(shù)φ(x)的圖象如圖②.令-x2+2=x,得x=-2或x=1.結(jié)合圖②,得出φ(x)的解析式為φ(x)=-x(2)求函數(shù)φ(x)的定義域、值域.【解析】(2)由圖②知,φ(x)的定義域?yàn)镽,φ(1)=1,所以φ(x)的值域?yàn)?-∞,1].類型三分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例4】《中華人民共和國個人所得稅法》最新規(guī)定,公民全月工資、薪金所得不超過5000元的部分不必納稅,超過5000元的部分為全月應(yīng)納稅所得額,此項(xiàng)稅款按下表分段累計計算:全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過3000元的部分3%超過3000元至12000元的部分10%超過12000元至25000元的部分20%某職工每月收入為x元,應(yīng)繳納的稅額為y元.(1)請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;【解析】(1)由題意,得y=0,(2)有一職工八月份繳納了54元的稅款,請問該職工八月份的工資是多少?【解析】(2)因?yàn)樵撀毠ぐ嗽路堇U納了54元的稅款,所以5000<x≤8000,(x-5000)×3%=54,解得x=6800.故該職工八月份的工資是6800元.【總結(jié)升華】分段函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)應(yīng)用情境日常生活中的出租車計費(fèi)、自來水費(fèi)、電費(fèi)、個人所得稅的收取等,都是最簡單的分段函數(shù).(2)注意問題求解分段函數(shù)模型問題應(yīng)明確分段函數(shù)的“段”,一定要合理.【即學(xué)即練】某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規(guī)則制定:(1)5km以內(nèi)(含5km),票價2元;(2)5km以上,每增加5km,票價增加1元(不足5km的按5km計算).如果某條線路的總里程為20km,請根據(jù)題意,寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)的圖象.【解析】設(shè)票價為y元,里程為xkm.由題意可知,自變量x的取值范圍是(0,20].由票價的制定規(guī)則,可得到以下函數(shù)解析式.y=2,函數(shù)圖象如圖.3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時函數(shù)的單調(diào)性(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合函數(shù)圖象,會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性.2.會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.能利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性.【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象、數(shù)學(xué)抽象邏輯推理邏輯推理一、增函數(shù)與減函數(shù)函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖示條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D:如果?x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)結(jié)論f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減定義若f(x)在定義域D上單調(diào)遞增,則為增函數(shù)若f(x)在定義域D上單調(diào)遞減,則為減函數(shù)教材挖掘(P77思考)若A?D,?x1,x2∈A,且x1≠x2,當(dāng)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0時,f(x)在A上單調(diào)遞增嗎?提示:f(x)在A上單調(diào)遞增.版本交融(人BP101想一想)能否說y=1x【提示】不能.函數(shù)f(x)=1x的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),若x1∈(-∞,0),x2∈則x1<x2,而f(x1)<f(x2),所以f(x)不是減函數(shù),原因是函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不是連續(xù)的.【教材深化】函數(shù)單調(diào)性的定義的等價形式設(shè)x1,x2∈[a,b],那么有:(1)f(x1)-f(x2)x(2)f(x1)-f(x2)x1二、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間條件:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;結(jié)論:(1)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有單調(diào)性;(2)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是區(qū)間D.版本交融(北師大版P64練習(xí)T1(2))若存在x1,x2∈(a,b),使得f(x1)-f(x2)提示:不能.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若f(x)是R上的減函數(shù),則f(-3)>f(2). (√)提示:減函數(shù)的性質(zhì).(2)如果f(-1)<f(2),那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增. (×)提示:函數(shù)單調(diào)性中x1,x2應(yīng)具有任意性.(3)函數(shù)y=f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,則[0,2]是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間. (×)提示:函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間遞減,這個區(qū)間不一定是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,它可能是單調(diào)遞減區(qū)間的子集.(4)若f(x)在R上是增函數(shù),且f(x1)>f(x2),則x1>x2. (√)提示:由增函數(shù)的定義知,正確.類型一函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(1)(2023·長沙高一檢測)下列命題正確的是 ()A.函數(shù)y=x2在R上是增函數(shù)B.函數(shù)y=-1xC.函數(shù)y=x2和函數(shù)y=x的單調(diào)性相同D.函數(shù)y=1x和函數(shù)y=x+1【解析】選C.對于A項(xiàng),函數(shù)y=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減,故A錯誤;對于B項(xiàng),函數(shù)y=-1x的定義域?yàn)?-∞,0)∪對于C項(xiàng),函數(shù)y=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減,函數(shù)y=|x|=x,對于D項(xiàng),對于函數(shù)y=f(x)=x+1x,?x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2則f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2-1x2=(x1-x2)+由0<x1<x2,所以x1-x2<0,當(dāng)0<x1<x2<1,0<x1x2<1時,則x1x2-1<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.當(dāng)1<x1<x2時,x1x2>1,則x1x2-1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.故函數(shù)y=x+1x在(1,+∞)上單調(diào)遞增.同理可知函數(shù)y=x+1x在(0,1),(-1,0)上單調(diào)遞減,在(1,+∞),(-∞,-1)上單調(diào)遞增函數(shù)y=1x和y=x+1x的單調(diào)性不同.(2)已知函數(shù)f(x)=x①請在給定的坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象;②寫出此函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間.【解析】①函數(shù)f(x)的圖象如圖所示:②函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-3)和(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(-3,-1)和(0,+∞).【總結(jié)升華】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)注點(diǎn)(1)若所給函數(shù)是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等,可根據(jù)其單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)不是上述函數(shù)且函數(shù)圖象容易作出,可作出其圖象,根據(jù)圖象寫出其單調(diào)區(qū)間;(3)一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時,不能用“∪”連接兩個單調(diào)區(qū)間,而要用“和”連接或用“,”分開.【即學(xué)即練】1.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是12,【解析】f(x)=|2x-1|=2結(jié)合函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為12,+2.函數(shù)y=x+1x-2的單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】因?yàn)閥=x+1x-y=x+1x-2的圖象由y=3x-2的圖象向上平移1個單位長度得到,由y=【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=x2-4|x|+3,x∈R.根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.【解析】f(x)=x2-4|x|+3=x如圖.由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2,0),[2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-2),[0,2).類型二定義法證明函數(shù)的單調(diào)性(邏輯推理)【典例2】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知函數(shù)f(x)=x+1x+2,判斷并證明f(【解析】(1)f(x)=x+1x+2=x?x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1-1x1+2-(1-1x2+2)=因?yàn)?2<x1<x2,所以x1+2>0,x2+2>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增.(2)已知函數(shù)f(x)=axx+2(a≠0),判斷并證明f(x【解析】(2)當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞減,證明如下:?x1,x2∈(-2,2),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=ax1x1+2又由-2<x1<x2<2,則x1+2>0,x2+2>0,x1-x2<0,當(dāng)a>0時,a(x1-x2)<0,此時f(x1)-f(x2)<0,則f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,同理:當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞減.【備選例題】判斷并證明函數(shù)f(x)=ax2+1x(其中1<a<3)在(1,2)上的單調(diào)性【解析】f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增.證明如下:設(shè)?x1,x2∈(1,2),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=ax12+1x1-(a=(x1-x2)[a(x1+x2)-1x1因?yàn)閤1,x2∈(1,2),且x1<x2,1<a<3,所以x1-x2<0,2<x1+x2<4,1<x1x2<4,所以2<a(x1+x2)<12,14<1所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增.【總結(jié)升華】利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟提醒:證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是判斷差式的正負(fù).【即學(xué)即練】已知函數(shù)f(x)=x+12x+12,當(dāng)x∈[1,+∞)時,判斷f(【解析】f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.證明如下:設(shè)?x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1+12x1+12-