專題17 勾股定理的實(shí)際應(yīng)用模型（解析版）

專題17勾股定理的實(shí)際應(yīng)用模型勾股定理將圖形與數(shù)量關(guān)系有機(jī)結(jié)合起來，在解決實(shí)際問題和幾何應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用。運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：（1）從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形（建模）；（2）確定要求的線段所在的直角三角形；（3）確定三邊，找準(zhǔn)直角邊和斜邊：①若已知兩邊,則根據(jù)勾股定理直接計(jì)算第3邊；②若已知一邊,則根據(jù)勾股定理列方程間接求解。（挖掘兩個(gè)未知邊之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)出一邊為未知數(shù)，把另一邊用含有未知數(shù)的式子表示出來）。模型1、梯子滑動(dòng)模型相關(guān)模型背景：梯子滑動(dòng)、繩子移動(dòng)等。解題關(guān)鍵：梯子的長度為不變量、墻與地面垂直。梯子滑動(dòng)模型解題步驟：1）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之前在墻上或者地面上的距離；2）運(yùn)用勾股定理求出梯子滑動(dòng)之后在墻上或者地面上的距離；3）兩者相減即可求出梯子在墻上或者地面上滑動(dòng)的距離。例1．（2023·福建龍巖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？

【答案】(1)梯子的頂端距地面24米；(2)梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米；【分析】（1）利用勾股定理直接得出的長即可；（2）根據(jù)條件求出，再利用勾股定理直接得出的長，進(jìn)而得出答案．．【詳解】（1）解：由題意得：米，米，∴米，答：梯子的頂端距地面24米；（2）解：由（1）得：米，∵梯子的頂端下滑了4米到，∴米，∵米，∴米，則米，答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米；【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵．例2．（2023秋·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，巷子寬米，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為米，則的長度為多少？

【答案】的長度為米．【分析】根據(jù)勾股定理，，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，，，∵，∴，∴，∴，答：的長度為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．例3．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀﹫D中的兩個(gè)滑塊A，B由一個(gè)連桿連接，分別可以在垂直和水平的滑道上滑動(dòng)．開始時(shí)，滑塊A距O點(diǎn)20厘米，滑塊B距O點(diǎn)15厘米．問：當(dāng)滑塊A向下滑13厘米時(shí)，滑塊B滑動(dòng)了厘米．

【答案】9【分析】根據(jù)勾股定理求出的長，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，繼而求出滑塊B滑動(dòng)的距離．【詳解】解：依題意得：，設(shè)滑動(dòng)后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)位置是，由勾股定理得，(厘米)，當(dāng)滑塊A向下滑13厘米時(shí)，(厘米)，∴(厘米)，∴滑塊B滑動(dòng)的距離為：(厘米)，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┪挥谔K州樂園的漂流項(xiàng)目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點(diǎn)A拉回點(diǎn)B的位置（如圖）．在離水面垂直高度為的岸上點(diǎn)C，工作人員用繩子拉船移動(dòng)，開始時(shí)繩子的長為，工作人員以米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問此時(shí)游船移動(dòng)的距離的長是多少？【答案】此時(shí)游船移動(dòng)的距離的長是【分析】在中用勾股定理求出，在中用勾股定理求出，再根據(jù)的出結(jié)果．【詳解】解：在中，，，，∴，∵工作人員以米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，∴，∴，∴．答：此時(shí)游船移動(dòng)的距離的長是．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．模型2、輪船航行模型相關(guān)模型背景：輪船航行等。解題關(guān)鍵：輪船航行的模型要注意兩船終點(diǎn)之間的距離通常為直角三角形的斜邊長。航行模型解題步驟：1）根據(jù)航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；2）根據(jù)航行速度和時(shí)間表示出直角三角形兩直角邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解航行角度、速度或距離。例1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，某天下午2時(shí)，兩艘船只分別從港口O點(diǎn)處出發(fā)，其中快船沿北偏東方向以2海里/時(shí)的速度行駛，慢船沿北偏西方向以1海里/時(shí)的速度行駛，當(dāng)天下午4時(shí)，兩艘船只分別到達(dá)A，B兩點(diǎn)，則此時(shí)兩船之間的距離等于（

）A．海里 B．海里 C．2海里 D．2海里【答案】D【分析】根據(jù)方位圖和勾股定理解題即可．【詳解】由題可知：，∴海里，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查方位角和勾股定理，正確識(shí)別方位角是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以16海里/時(shí)的速度向北偏東40°航行，乙船向南偏東50°航行，小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若CB兩島相距17海里，問乙船的航速是多少？【答案】30（海里/時(shí)）【分析】根據(jù)題意，利用勾股定理求得AB的長，再利用速度=路程÷時(shí)間即可求得答案．【詳解】解：依題意可知：∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，（海里），BC＝17海里，∴AB＝＝＝15（海里），∴乙船的航速為（海里/時(shí)）．【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理解決直角三角形的實(shí)際問題，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在海平面上有A，B，C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西方向上，與C的距離是800海里，B在C的南偏西方向上，與C的距離是600海里．

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；(2)若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號(hào)有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時(shí)會(huì)發(fā)射一次信號(hào)，此時(shí)在點(diǎn)B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時(shí)20海里．輪船在駛向A處的過程中，最多能收到多少次信號(hào)？（信號(hào)傳播的時(shí)間忽略不計(jì)）．【答案】(1)海里(2)最多能收到14次信號(hào)【分析】（1）由題意易得是直角，由勾股定理即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離；（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，在上取點(diǎn)M，N，使得海里，分別求得的長，可求得此時(shí)輪船過時(shí)的時(shí)間，從而可求得最多能收到的信號(hào)次數(shù)；【詳解】（1）由題意，得：；∴；∵；∴海里；（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)H，在上取點(diǎn)M，N，使得海里．

∵；∴；∵；∴；∵；∴；則信號(hào)次數(shù)為（次）．答：最多能收到14次信號(hào)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形的判定等知識(shí)，涉及路程、速度、時(shí)間的關(guān)系，熟練掌握勾股定理是關(guān)鍵．模型3、信號(hào)站（中轉(zhuǎn)站）選擇模型相關(guān)模型背景：信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站等。解題關(guān)鍵：信號(hào)塔和中轉(zhuǎn)站模型要注意兩個(gè)目的地到信號(hào)塔或中轉(zhuǎn)站的距離是相等的。信號(hào)塔、中轉(zhuǎn)站模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出未知量（一般求誰設(shè)誰），并根據(jù)設(shè)出的未知量表示出兩個(gè)直角三角形的直角邊長；2）在兩個(gè)直角三角形中分別用勾股定理表示出斜邊長；3）根據(jù)斜邊長相等建立方程求解。例1．（2023春·廣東汕頭·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，A、B兩點(diǎn)相距14km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，現(xiàn)在要在AB上建一個(gè)供水站E，使得C、D兩村到供水站E站的距離相等，則：（1）站應(yīng)建在距站多少千米處？（2）和垂直嗎？說明理由．【答案】（1）E站應(yīng)建在距A站6千米處；（2）DE和EC垂直，理由見解析【分析】（1）根據(jù)使得C，D兩村到E站的距離相等，需要證明DE=CE，再根據(jù)△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km；（2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，進(jìn)而可以證明．【詳解】解：（1）∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，∴AE2+AD2=BE2+BC2，設(shè)AE=x，則BE=AB-AE=（14-x），∵DA=8km，CB=6km，∴x2+82=（14-x）2+62，解得：x=6，∴AE=6km．答：E站應(yīng)建在距A站6千米處；（2）DE和EC垂直，理由如下：在△DAE與△EBC中，，∴△DAE≌△EBC（SAS），∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB，∵∠DEA+∠D=90°，∴∠DEA+∠CEB=90°，∴∠DEC=90°，即DE⊥EC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，證明線段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解決問題的關(guān)鍵．例2．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)C在OA邊上，OA=36cm，OB=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AO方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以相同的速度沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)恰好在C點(diǎn)相遇，求BC的長度？【答案】20cm【分析】由題意知：BC=AC，設(shè)BC=xcm，則OC=（36-x）cm．在Rt△BOC中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意BC=AC是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖鐵路上A，B兩點(diǎn)相距40千米，C，D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分別為A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．現(xiàn)在要在鐵路旁修建一個(gè)煤棧E，使得C，D兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．無法確定【答案】B【分析】設(shè)AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，則，解方程即可．【詳解】解：設(shè)AE＝xkm，則BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D兩村到煤棧的距離相等，∴，∴，∴，解得：x＝16，則煤棧E應(yīng)距A點(diǎn)16km．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意得到是解題的關(guān)鍵．模型4、臺(tái)風(fēng)（噪音）、爆破模型相關(guān)模型背景：有爆破、臺(tái)風(fēng)（噪音）等。解題關(guān)鍵：通常會(huì)用到垂線段最短的原理。臺(tái)風(fēng)、爆破模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計(jì)算爆破點(diǎn)或臺(tái)風(fēng)中心到目的地的最短距離；2）將計(jì)算出的最短距離跟爆破或臺(tái)風(fēng)的影響范圍的半徑作比較；3）若最短距離大于影響半徑則不受影響，若最短距離小于半徑則受影響。例1．（2023春·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在王屋山景區(qū)附近的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一處需要爆破，已知點(diǎn)與公路上的?？空镜木嚯x為150米，與公路上的另一?？空镜木嚯x為200米，且，如圖所示．為了安全起見，爆破時(shí)點(diǎn)周圍半徑125米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，則在進(jìn)行爆破時(shí)，公路段是否需要暫時(shí)封鎖？請說明理由．

【答案】需要暫時(shí)封鎖，見解析【分析】本題需要判斷點(diǎn)C到的距離是否小于125米，如果小于則有危險(xiǎn)，大于則沒有危險(xiǎn)．因此過C作于D，然后根據(jù)勾股定理在直角中即可求出的長度，然后利用三角形的公式即可求出，然后和125米比較大小即可判斷需要暫時(shí)封鎖．【詳解】解：需要暫時(shí)封鎖理由如下：如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D．

∵米，米，，在中，，∴（米）．∵，∴（米）．∵，∴在進(jìn)行爆破時(shí)，公路段需要暫時(shí)封鎖．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．例1．（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一處需要爆例2．（2023秋·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）為了積極響應(yīng)國家新農(nóng)村建設(shè)的號(hào)召，遂寧市某鎮(zhèn)政府采用了移動(dòng)宣講的形式進(jìn)行廣播宣傳．如圖，筆直的公路的一側(cè)點(diǎn)處有一村莊，村莊到公路的距離為，假使宣講車周圍以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路上沿方向行駛．(1)村莊能否聽到廣播宣傳請說明理由．(2)已知宣講車的速度是，如果村莊能聽到廣播宣傳，那么總共能聽多長時(shí)間【答案】(1)村莊能聽到廣播宣傳，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)村莊到公路的距離為米米，即可得出村莊能聽到廣播宣傳．（2）根據(jù)勾股定理得到米，求得米，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：村莊能聽到廣播宣傳，理由如下：村莊到公路的距離為米米，村莊能聽到廣播宣傳．（2）如圖：假設(shè)當(dāng)宣傳車行駛到點(diǎn)開始能聽到廣播，行駛到點(diǎn)剛好不能聽到廣播，則米，米，由勾股定理得：米，米，能聽到廣播的時(shí)間為：分鐘，村莊總共能聽到的宣傳．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，結(jié)合生活實(shí)際，便于更好地理解題意是解題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·河南周口·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，公路和公路在點(diǎn)P處交匯，且，點(diǎn)Q處有一座火箭發(fā)射塔，，假設(shè)龍卷風(fēng)來臨時(shí)，周圍150km內(nèi)都會(huì)受到大風(fēng)影響．

(1)若龍卷風(fēng)恰好沿公路由B向A處行進(jìn)，火箭發(fā)射塔是否會(huì)受到影響？請說明理由；(2)已知龍卷風(fēng)的速度為300km/h，若受影響，那么火箭發(fā)射塔受影響的時(shí)間為多少分鐘？【答案】(1)受影響，理由見解析(2)火箭發(fā)射塔受影響的時(shí)間為36分鐘【分析】（1）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，只要計(jì)算的長與150作比較，若比150小，則受影響，反之，則不受影響；（2）設(shè)龍卷風(fēng)行至點(diǎn)E處開始影響火箭發(fā)射塔，在點(diǎn)F處結(jié)束影響，連接，勾股定理求出的長，則可得的長，再除以其速度即得時(shí)間．【詳解】（1）受影響．理由如下：過點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，∵，∴．∴．∴．∵，在中，，∴．∴火箭發(fā)射塔會(huì)受到大風(fēng)的影響．

（2）設(shè)龍卷風(fēng)行至點(diǎn)E處開始影響火箭發(fā)射塔，在點(diǎn)F處結(jié)束影響，連接，則，在中，．∵，，∴，∴，∴（小時(shí)）（分鐘）．∴火箭發(fā)射塔受影響的時(shí)間為36分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·湖南八年級(jí)期中）如圖，某城市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，在該市正南方向的處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿方向以的速度移動(dòng)，已知城市到的距離．（1）臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從移動(dòng)到點(diǎn)？（2）已知在距臺(tái)風(fēng)中心的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到不同程度的影響，若在點(diǎn)的工作人員早上6:00接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)開始影響到臺(tái)風(fēng)結(jié)束影響要做預(yù)防工作，則他們要在什么時(shí)間段內(nèi)做預(yù)防工作？【答案】（1）臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過16小時(shí)時(shí)間從B移動(dòng)到D點(diǎn)（2）他們要在20時(shí)到24時(shí)時(shí)間段內(nèi)做預(yù)防工作【分析】（1）首先根據(jù)勾股定理計(jì)算BD的長，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)在30千米范圍內(nèi)都要受到影響，先求出從點(diǎn)B到受影響的距離與結(jié)束影響的距離，再根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算，然后求出時(shí)間段即可．【詳解】解：（1）在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD==240km，所以，臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過240÷15=16小時(shí)從B移動(dòng)到D點(diǎn)，答：臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過16小時(shí)時(shí)間從B移動(dòng)到D點(diǎn)；（2）如圖，∵距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到不同程度的影響，∴BE=BD-DE=240-30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵臺(tái)風(fēng)速度為15km/h，∴210÷15=14時(shí)，270÷15=18，∵早上6：00接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，∴6+14=20時(shí)，6+18=24時(shí)，∴他們要在20時(shí)到24時(shí)時(shí)間段內(nèi)做預(yù)防工作．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，此題的難點(diǎn)在于第二問，需要正確理解題意，根據(jù)各自的速度計(jì)算時(shí)間，然后進(jìn)行正確分析．模型5、超速模型相關(guān)模型背景：有汽車超速、信號(hào)干擾、測河寬等。解題關(guān)鍵：要將速度統(tǒng)一單位后再進(jìn)行比較。超速模型解題步驟：1）根據(jù)勾股定理計(jì)算行駛的距離；2）根據(jù)行駛距離和時(shí)間求出實(shí)際行駛速度；3）比較實(shí)際行駛速度和規(guī)定速度。例1．（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)期中）交通安全是社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)進(jìn)行了測試汽車速度的實(shí)驗(yàn)．如圖，先在筆直的公路1旁選取一點(diǎn)P，在公路1上確定點(diǎn)O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．這時(shí)，一輛轎車在公路1上由B向A勻速駛來，測得此車從B處行駛到A處所用的時(shí)間為3秒，并測得∠APO＝60°．此路段限速每小時(shí)80千米，試判斷此車是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：＝1.41，＝1.73）．【答案】此車超速，理由見解析.【分析】解直角三角形得到AB=OA-OB=73米，求得此車的速度≈86千米/小時(shí)＞80千米/小時(shí)，得到結(jié)論．【詳解】解：此車超速，理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝100米，∵∠APO＝60°，∴OA＝OP＝100≈173米，∴AB＝OA﹣OB＝73米，∴≈24米/秒≈86千米/小時(shí)＞80千米/小時(shí)，∴此車超速．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用問題．此題難度適中，解題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例2．（2023秋·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）小王與小林進(jìn)行遙控賽車游戲，終點(diǎn)為點(diǎn)A，小王的賽車從點(diǎn)C出發(fā)，以4米/秒的速度由西向東行駛，同時(shí)小林的賽車從點(diǎn)B出發(fā)，以3米/秒的速度由南向北行駛（如圖）．已知賽車之間的距離小于或等于25米時(shí)，遙控信號(hào)會(huì)產(chǎn)生相互干擾，AC＝40米，AB＝30米．出發(fā)3秒鐘時(shí)，遙控信號(hào)是否會(huì)產(chǎn)生相互干擾？【答案】不會(huì)【分析】根據(jù)題意可分別求出出發(fā)3秒鐘時(shí)小王和小林的賽車行駛的路程，從而可分別求出他們的賽車距離終點(diǎn)的距離，再結(jié)合勾股定理即可求出出發(fā)3秒鐘時(shí)他們賽車的距離，和遙控信號(hào)會(huì)產(chǎn)生相互干擾的距離小于或等于25米作比較即可得出答案．【詳解】解：如圖，出發(fā)3秒鐘時(shí)，米，米，∵AC=40米，AB=30米，∴AC1=28米，AB1=21米，∴在中，米＞25米，∴出發(fā)3秒鐘時(shí)，遙控信號(hào)不會(huì)產(chǎn)生相互干擾．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．讀懂題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某人欲從點(diǎn)A橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離預(yù)到達(dá)點(diǎn)B240m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了510m．求該河的寬度．【答案】450米.【詳解】從實(shí)際問題中找出直角三角形，利用勾股定理解答，根據(jù)題意可知△ABC為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊AB的距離,正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，運(yùn)用勾股定理求得（米），故河寬為450米.考點(diǎn):勾股定理的應(yīng)用.模型6、風(fēng)吹蓮動(dòng)模型相關(guān)模型背景：蓮花、蘆葦、吸管、筷子、秋千等。解題關(guān)鍵：“蓮花”高度為不變量。風(fēng)吹蓮動(dòng)模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“水深”或者“蓮花”的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023春·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有一個(gè)水池，水面是邊長為10尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池的一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度是（

）A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺【答案】C【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)蘆葦?shù)拈L度為尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)蘆葦?shù)拈L度為尺，則為尺，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L度尺，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．例2．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)?？计谀┯幸患芮锴?，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推送（水平距離時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索的長度．

【答案】【分析】設(shè)秋千的繩索長為，根據(jù)題意可得，利用勾股定理可得，再解方程即可得出答案．【詳解】解：在中，，設(shè)秋千的繩索長為，則，故，解得：，答：繩索的長度是．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出、的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．例3．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，一根長為18cm的牙刷置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長度hcm，則h的取值范圍為．

【答案】【分析】根據(jù)杯子內(nèi)牙刷的長度取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)牙刷與杯底垂直時(shí)h最大，h最大（cm）．當(dāng)牙刷與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，如圖，此時(shí)（cm），（cm）．∴h的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)牙刷的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．模型7、折竹抵地模型相關(guān)模型背景：竹子、旗桿（風(fēng)箏）拉繩等。解題關(guān)鍵：“竹子”高度為不變量。折竹抵地模型解題步驟：1）根據(jù)問題設(shè)出“竹子”折斷之前或者折斷之后距離地面的高度；2）根據(jù)題目條件表示出題目中涉及的直角三角形的另外兩條邊長；3）根據(jù)勾股定理列方程求解。例1．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷后垂直地面的竹子高度為x尺，則可列方程為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則尺，尺，在中，，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．例1．（2023春·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”意思是：一根筆直生長的竹子，高一丈（一丈=10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺?設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，利用勾股定理解題即可；【詳解】設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得到：；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而應(yīng)用勾股定理解題．例2．（2022秋·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┠车卦馀_(tái)風(fēng)襲擊，馬路邊豎有一根高為8m的電線桿，被大風(fēng)從離地面2m的B處吹斷裂，倒下的電線桿頂部，是否會(huì)落在與它的底部A距離5m的快車道上？【答案】倒下的電線桿頂部會(huì)落在與它的底部A距離5m的快車道上．【分析】先根據(jù)線段的和差求出的長度，再由勾股定理求出的長度，與5進(jìn)行大小比較即可．【詳解】解：根據(jù)題意，m，m，則m，∴m，又因?yàn)?，∴倒下的電線桿頂部會(huì)落在與它的底部A距離5m的快車道上．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是正確求出的長度．例3．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，同學(xué)們想測量旗桿的高度．他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個(gè)問題的方案如下：小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余米，如圖；②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部米，如圖．小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到點(diǎn)處，如圖3．

(1)請你按小明的方案求出旗桿的高度；(2)已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿米遠(yuǎn)，此時(shí)繩結(jié)離地面多高？【答案】(1)旗桿的高度為米(2)繩結(jié)離地面米高【分析】（1）由題可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答；（2）由題可知，米，米．在中根據(jù)勾股定理列出方程，求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）如圖，設(shè)旗桿的長度為米，則繩子的長度為米，在中，由勾股定理得：，解得：，故旗桿的高度為米：（2）由題可知，米，米．在中，由勾股定理得：，解得：，∴（米），∴米．故繩結(jié)離地面米高．

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．模型8、不規(guī)則圖形面積模型相關(guān)模型背景：有草坪面積、土地面積、網(wǎng)格等。解題關(guān)鍵：一般所求圖形面積為不規(guī)則的四邊形，要注意轉(zhuǎn)換為兩個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行求解。面積模型解題步驟：1）連接兩點(diǎn)作輔助線，將四邊形分為兩個(gè)直角三角形；2）根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理求出所連線段長度；3）運(yùn)用勾股定理逆定理判定另一個(gè)三角形為直角三角形；4）分別求出兩個(gè)直角三角形的面積相加或相減即為所求四邊形面積。例1．（2022·河北保定·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形中，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，勾股定理求得,，進(jìn)而勾股定理逆定理證明，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論根據(jù)直角三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．（1）如圖，連接.∵，，∴，.∵，，∴，是，且，∴；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·遼寧鞍山·八年級(jí)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長都為1．求出四邊形ABCD的周長和面積．【答案】周長為；面積為26【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB，BC，CD，AD的長即可得到四邊形ABCD的周長；根據(jù)四邊形ABCD的面積等于其所在的長方形面積減去周圍四個(gè)三角形面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，，，，故四邊形ABCD的周長：；四邊形ABCD的面積：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）（1）已知三邊長分別為，，，小迪在解決這一問題時(shí)有以下思路：先畫如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為1），再畫出格點(diǎn)三角形ABC，利用外接長方形面積減去周圍三個(gè)直角三角形的面積，即可求出的面積．請你幫助小迪計(jì)算出的面積；（2）若三邊長分別為，，，在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為a）中，畫出格點(diǎn)三角形DEF，并求出的面積；（3）若三邊長分別為，，，在圖③的長方形網(wǎng)格（小長方形長均為m，寬均為n）中，畫出格點(diǎn)三角形OPQ，并求出的面積．【答案】（1）5；（2）作圖見解析，；（3）作圖見解析，【分析】（1）用長為4寬為3的長方形面積減去周圍三個(gè)三角形的面積求解即可；（2）先根據(jù)勾股定理的確定周圍三個(gè)三角形的邊長，再作圖即可，再利用外接長方形面積減去周圍三個(gè)直角三角形的面積，即可求出面積；（3）先根據(jù)勾股定理的確定周圍三個(gè)三角形的邊長，再作圖即可，再利用外接長方形面積減去周圍三個(gè)直角三角形的面積，即可求出面積．【詳解】（1）的面積，所以，的面積為5；（2）是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，作圖如下：的面積；（3）是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，是直角邊長分別為的直角三角形的斜邊長，格點(diǎn)三角形OPQ如圖所示：的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及三角形的面積問題，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練31．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的是一個(gè)長方體筆筒，底面的長、寬分別為和，高為，將一支長為的簽字筆放入筆筒內(nèi)，則簽字筆露在筆筒外的的長度最少為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】長方體內(nèi)斜對(duì)角線是最長的，當(dāng)簽字筆在筆筒里對(duì)角放置的時(shí)候露在外面的長度最小，求出筆筒的對(duì)角線長度即可得簽字筆露在外面的最短長度．【詳解】解：由題意知：筆筒底面對(duì)角長為，∴筆筒的對(duì)角線長：，∵簽字筆長，∴簽字筆露在筆筒外面的最短長度是：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽淮南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一架長的梯子斜靠在豎直的墻面上，此時(shí)．若梯子的頂端A沿墻下滑至位置C，那么梯子底端B右移了（

）

A．大于 B． C．小于 D．不確定【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)梯子的長度不變求出的長，根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】∵中，，同理，中，∵,∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．3．（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，釣魚竿的長為，露在水面上的魚線長為．釣魚者想看魚鉤上的情況，把釣魚竿轉(zhuǎn)到的位置，此時(shí)露在水面上的魚線長為，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：在中，，，根據(jù)勾股定理得，，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想并掌握勾股定理．4．（2023春·北京懷柔·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在我軍某次海上演習(xí)中，兩艘航母護(hù)衛(wèi)艦從同一港口O同時(shí)出發(fā)，1號(hào)艦沿東偏南方向以9節(jié)（1節(jié)=1海里/小時(shí)）的速度航行，2號(hào)艦沿南偏西方向以節(jié)的速度航行，離開港口2小時(shí)后它們分別到達(dá)A，B兩點(diǎn)，此時(shí)兩艦的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】D【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理計(jì)算求解．【詳解】解：由題意可得：，∴，又∵（海里），（海里），在Rt中，（海里）∴此時(shí)兩艦的距離是海里．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及方向角，正確得出是解題關(guān)鍵．5．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明站在離水面高度為8米的岸上點(diǎn)處用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子的長為17米，小明以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，問船向岸邊移動(dòng)了米（的長）（假設(shè)繩子是直的）．【答案】9【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長，再根據(jù)題意可得CD長，然后再次利用勾股定理計(jì)算出AD長，再利用BD=AB-AD可得BD長．【詳解】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，∴（米），∵此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，∴（米），∴（米），∴（米），答：船向岸邊移動(dòng)了9米．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．6．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)．已知，點(diǎn)D到地面的垂直距離．則點(diǎn)B到地面的垂直距離是．

【答案】【分析】在中，運(yùn)用勾股定理可求出梯子的總長度，在中，根據(jù)已知條件再次運(yùn)用勾股定理可求出的長．【詳解】解：在中，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確求出梯子的長度是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，船位于船正東方向5km處．現(xiàn)在船以2km/h的速度朝正北方向行駛，同時(shí)船以1km/h的速度朝正西方向行駛，當(dāng)兩船相距最近時(shí)，行駛了h．【答案】1【分析】利用勾股定理表示出兩船的距離，然后利用配方法求出兩船的距離的最小值即可．【詳解】設(shè)時(shí)兩船相距為，則，，由題意可知：，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)兩船相距最近，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是表示出兩船之間的距離表達(dá)式，注意掌握配方法求最值的應(yīng)用．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理解答是解決問題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如右圖，小旭放風(fēng)箏時(shí)線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米，然后把風(fēng)箏線沿直線向后拉開5米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端剛好接觸地面．則風(fēng)箏距離地面的高度為米．

【答案】12【分析】設(shè)，則，依據(jù)勾股定理即可得到方程，進(jìn)而得出風(fēng)箏距離地面的高度．【詳解】解：設(shè)，則，由圖可得，，，中，，即，解得，所以風(fēng)箏距離地面的高度為12米．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．9．（2023春·廣東肇慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面3米C處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測量米，則樹原高為米．【答案】8【分析】樹高等于，在直角中，用勾股定理求出即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：米，米，，由勾股定理得，米，所以米．故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是在實(shí)際問題的圖形中得到直角三角形．10．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）某工程隊(duì)負(fù)責(zé)挖掘一處通山隧道，為了保證山腳A，B兩處出口能夠直通，工程隊(duì)在工程圖上留下了一些測量數(shù)據(jù)（此為山體俯視圖，圖中測量線拐點(diǎn)處均為直角，數(shù)據(jù)單位：米）．據(jù)此可以求得該隧道預(yù)計(jì)全長米．【答案】1000【分析】延長700米和400米的兩邊，交于點(diǎn)C，分析得出，再分別求出和，利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，延長700米和400米的兩邊，交于點(diǎn)C，由題意可得：，由圖中數(shù)據(jù)可得：，，∴米，故答案為：1000．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．11．（2023春·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是某幼兒園樓梯的截面圖，擬在樓梯上鋪設(shè)防撞地段，若防撞地毯每平方米售價(jià)為元，樓梯寬為2米，則幼兒園購買防撞地毯至少需要元．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理得，水平的直角邊為，地毯水平部分的和是水平邊的長，豎直部分的和是豎直邊的長，即可得地毯的長為，根據(jù)地毯的寬為2米，即可得地毯的面積為，即可地．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得，水平的直角邊為：，地毯水平部分的和是水平邊的長，豎直部分的和是豎直邊的長，即地毯的長為，∵地毯的寬為2米，∴地毯的面積為：，∴幼兒園購買防撞地毯至少需要：（元），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握勾股定理．12．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一根長的筷子置于底面直徑為，高為圓柱形水杯中，露在水杯外面的長度，則的取值范圍是．

【答案】【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長度的取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)筷子在杯子中的長度為，將一根長為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，在杯子中筷子最短時(shí)x等于杯子的高，最長時(shí)x等于杯子軸截面中對(duì)角線的長度，當(dāng)杯子中筷子最短等于杯子的高時(shí)，，最長時(shí)：，的取值范圍是：，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．13．（2023春·新疆昌吉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是重要的數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶．

(1)應(yīng)用場景——在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點(diǎn)．如圖1，在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線L垂直于，在L上取點(diǎn)B，使，以原點(diǎn)O為圓心，為半徑作弧，求弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C表示的數(shù)．(2)應(yīng)用場景2——解決實(shí)際問題．如圖2，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度m，將它往前推6m至C處時(shí)，水平距離m，踏板離地的垂直高度m，它的繩索始終拉直，求繩索的長．【答案】(1)(2)7.5m【分析】（1）勾股定理求出的長，進(jìn)而得到的長，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)秋千繩索的長度為xm，在中，利用，列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：在中，，∴，∴點(diǎn)C表示的數(shù)是；故答案為：．（2）解：設(shè)秋千繩索的長度為xm，由題意可得xm，四邊形為矩形，，∴，在中，，即解得；即的長度為7.5m；答：繩索的長為7.5m．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·遼寧鞍山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）七年級(jí)松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測量如圖所示的風(fēng)箏的高度，測得如下數(shù)據(jù)：①測得的長度為8米：（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線的長為17米；③牽線放風(fēng)箏的松松身高1.6米．(1)求風(fēng)箏的高度；(2)若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】(1)風(fēng)箏的高度為16.6米(2)他應(yīng)該往回收線7米【分析】（1）利用勾股定理求出的長，再加上的長度，即可求出的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）在中，由勾股定理得，，所以，（負(fù)值舍去），所以，米，答：風(fēng)箏的高度為16.6米；（2）如圖，由題意得，，，，，他應(yīng)該往回收線7米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）折竹抵地（源自《九章算術(shù)》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、問折者高幾何?大意是：在點(diǎn)C處生長的一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子在點(diǎn)A處折斷，其竹梢點(diǎn)B恰好抵地，尺，求竹子折斷后，留在原處的竹子的長為多少尺?（1丈尺）．

【答案】尺【分析】由題意可得：丈=10尺，；即在中，，，然后運(yùn)用勾股定理列方程求得即可．【詳解】解：由題意可得：丈=10尺，，∴．在中，，，由勾股定理，得，∴，解得．∴留在原處的竹子的長為尺．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意、發(fā)現(xiàn)直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023秋·山西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為了測量湖泊兩側(cè)點(diǎn)A和點(diǎn)B間的距離，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)過點(diǎn)A作了一條的垂線，并在這條垂線的點(diǎn)C處設(shè)立了一根標(biāo)桿（即）．量得，，求點(diǎn)A和點(diǎn)B間的距離．【答案】點(diǎn)和點(diǎn)間的距離為【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理計(jì)算出AB長即可．【詳解】解：∵．∴，∴在中，．∵，，∴．答：點(diǎn)和點(diǎn)間的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．17．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）印度數(shù)學(xué)家什迦羅在其著作中提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”此題的大致意思是：湖水中一枝荷花高出湖面半尺，被風(fēng)一吹，荷花傾斜，正好與湖面持平，且荷花與原來位置的水平距離為二尺，問湖水有多深．【答案】湖水深3.75尺．【分析】先根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形（即荷花的折斷與不斷時(shí)恰好構(gòu)成直角三角形），再根據(jù)已知條件求解．【詳解】設(shè)水深x尺，則荷花莖的長度為x+0.5，根據(jù)勾股定理得：解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺．【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列出方程．18．（2023春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測車速，觀測點(diǎn)設(shè)在到公路l的距離為100米的P處．這時(shí)，一輛富康轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒，并測得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，試判斷此車是否超過了每小時(shí)80千米的限制速度？【答案】此車超過每小時(shí)80千米的限制速度．【分析】首先，根據(jù)在直角三角形BPO中，∠BPO=45°，可得到BO=PO=100m，再根據(jù)在直角三角形APO中，∠APO=60°，運(yùn)用三角函數(shù)值，可得到AO=100，根據(jù)AB=AO-BO可求得AB的長；再結(jié)合速度的計(jì)算方法，求出車的速度，然后將車的速度與80千米/時(shí)進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論.【詳解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，則∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200m，AO＝＝＝100(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，則BO＝OP＝100m.∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)．∴從A到B小車行駛的速度為73÷3≈24.3(m/s)＝87.48km/h>80km/h.∴此車超過每小時(shí)80千米的限制速度．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，從復(fù)雜的實(shí)際問題中整理出直角三角形并求解是解決此類題目的關(guān)鍵．19．（2023秋·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一架25m的云梯AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為24m．（1）求這個(gè)梯子的底端距墻的垂直距離有多遠(yuǎn)；（2）當(dāng)BD=8m，且AB=CD時(shí)，AC的長是多少米；（3）如果梯子AB的底端向墻一側(cè)移動(dòng)了2米，那么梯子的頂端向上滑動(dòng)的距離是多少米？

【答案】（1）米；（2）米；（3）米．【分析】（1）由，利用勾股定理求出OB的長即可；（2）由利用勾股定理可求出OC的長，進(jìn)而可求出AC的長；（3）首先根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出的長，再利用，從而可得答案．【詳解】解：（1）由，這個(gè)梯子的底端距墻的垂直距離有米．（2）

所以AC的長是米．（3）如圖，由題意得：梯子側(cè)移到，,所以梯子的頂端向上滑動(dòng)的距離是米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中根據(jù)梯子長不會(huì)變的等量關(guān)系求解以及熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在甲村到乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有處需要爆破．已知點(diǎn)與公路上的?？空镜木嚯x分別為和，且，為了安全起見，如果爆破點(diǎn)周圍半徑的區(qū)域內(nèi)不能有車輛和行人，問在進(jìn)行爆破時(shí)，公路段是否需要暫時(shí)封閉，為什么？

【答案】爆破公路段有危險(xiǎn)，需要暫時(shí)封鎖．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由面積公式求得CD的長，并比較，即可得出公路AB上是否有危險(xiǎn)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，由勾股定理，得：，所以由，得，解得，因?yàn)?，所以爆破公路段有危險(xiǎn)，需要暫時(shí)封鎖．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形的面積列出方程求出CD的長．21．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距17km，C，D為兩村莊于點(diǎn)A，于點(diǎn)B，已知km，km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)公交車站E，使得C，D兩村到公交車站E的距離相等，則公交車站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處?(請用勾股定理的知識(shí)解決問題)

【答案】公交車站E應(yīng)建在離A點(diǎn)5km處【分析】根據(jù)使得，兩村到站的距離相等，即，再根據(jù)勾股定理，表示，求出問題；【詳解】解：因?yàn)槭沟?，兩村到公交車站的距離相等，所以，因?yàn)橛冢?，所以，所以，所以?/p>

設(shè)km,則km，因?yàn)閗m，km，所以，解得，所以km，答：公交車站應(yīng)建在離點(diǎn)km處．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是用勾股定理將兩個(gè)直角三角形的斜邊表示出來，利用兩邊相等求解即可．22．（2022春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領(lǐng)土，我國對(duì)釣魚島的巡航已經(jīng)常態(tài)化．如圖，甲、乙兩艘海警船同時(shí)從位于南北方向的海岸線上某港口出發(fā)，各自沿一固定方向?qū)︶烎~島巡航，若甲船每小時(shí)航行12海里，乙船每小時(shí)航行16海里，它們離開港口2小時(shí)后分別位于點(diǎn)、處，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏東75°方向航行，你知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？請說明理由．【答案】乙船南偏東方向航行，理由見解析【分析】直接利用勾股定理逆定理得出△PQR是直角三角形，進(jìn)而得出方向角．【詳解】解：由題意得，（海里），（海里），在中，∵，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴乙船南偏東方向航行．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及方向角，正確得出△PQR是直角三角形是解題關(guān)鍵．23．（2023春·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖第4號(hào)臺(tái)風(fēng)“黑格比”的中心于2023年8月5日下午位于浙江省紹興市境內(nèi)的B處，最大風(fēng)力有9級(jí)（23m/s），中心最低氣壓為990百帕，臺(tái)風(fēng)中心沿東北（BC）方向以25km/h的速度向D移動(dòng)在距離B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距離AD＝70km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾個(gè)小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？【答案】臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過小時(shí)從B點(diǎn)移到D點(diǎn)，在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)．【分析】由勾股定理解得BD的長，繼而解得臺(tái)風(fēng)從B點(diǎn)移到D點(diǎn)的時(shí)間，即可解得BE的長，及從點(diǎn)B到點(diǎn)E的時(shí)間，據(jù)此解題．【詳解】解：在ΔABD中，根據(jù)勾股定理，BD===240(km），則臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過240÷25=小時(shí)從B點(diǎn)移到D點(diǎn)，如圖，距臺(tái)風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到不同程度的影響，∴所以人們要在臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)E點(diǎn)之前撤離，∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小時(shí)），∴正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．24．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交匯，．公路上處距點(diǎn)240米．如果火車行駛時(shí)，周圍200米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．那么火車在鐵路上沿方向以72千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，處受噪音影響的時(shí)間為多少？（補(bǔ)充知識(shí)：在直角三角形中，所對(duì)的直角邊是斜邊長的一半）【答案】處受噪音影響的時(shí)間為16秒．【分析】首先過點(diǎn)A作AC⊥MN，求出最短距離AC的長度，然后在MN上取點(diǎn)B、D，使AB=AD=200，根據(jù)勾股定理得出BC和CD的長度，即可求出BD，然后計(jì)算出時(shí)間即可．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)A作AC⊥MN，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米<200米，在MN上取點(diǎn)B、D，使AB=AD=200，當(dāng)火車在BD上時(shí)A處產(chǎn)生噪音影響，∵AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小時(shí)=20米/秒，∴影響時(shí)間應(yīng)是：320÷20=16秒．答：處受噪音影響的時(shí)間為16秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解本題要點(diǎn)在于找出受影響的路段，從而利用勾股定理求出其長度．25．（2022·浙江麗水·七年級(jí)期末）如圖，方格中每個(gè)小正方形的邊長都為1．(1)求圖①中正方形的面積．(2)在圖②中畫一個(gè)邊長為的正方形，使它的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．【答案】(1)10(2)圖見解析【分析】（1）利用勾股定理求出的值，再根據(jù)正方形的面積公式即可得；（2）根據(jù)，結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)畫圖即可得．(1)解：，圖①中正方形的面積．(2)解：如圖②，正方形即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．26．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）【問題情境】某數(shù)學(xué)興趣小組想測量學(xué)校旗桿的高度．【實(shí)踐發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組實(shí)地勘查發(fā)現(xiàn)：系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這條繩子的長度未知【實(shí)踐探究】設(shè)計(jì)測量方案：第一步：先測量比旗桿多出的部分繩子的長度，測得多出部分繩子的長度是1米；第二步：把繩子向外拉直，繩子的底端恰好接觸地面的點(diǎn)C，再測量繩子底端C與旗桿根部B點(diǎn)之間的距離，測得距離為5米；【問題解決】設(shè)旗桿的高度為x米，通過計(jì)算即可求得旗桿的高度．

(1)依題知___________米，用含有x的式子表示為___________米，(2)請你求出旗桿的高度．【答案】(1)5，(2)12米【分析】（1）根據(jù)測量的方法即可作答；（2）利用勾股定理有，即可得，解方程即可求解．【詳解】（1）解：依題知米，用含有x的式子表示為米，故答案為：5；；（2）在中，由勾股定理得：

，即，解得（米），答：旗桿的高度為12米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，靈活運(yùn)用勾股定理，是解答本題的關(guān)鍵．27．（2023春·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某天上午海岸瞭望塔接到位于其北偏西方向且相距12海里的漁船的求救信號(hào)，于是立即通知處在瞭望塔正西方向B處的北斗救援隊(duì)前往救援，救援隊(duì)測得漁船位于的東北方向，求此時(shí)救援隊(duì)與漁船之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】海里【