河源一模數(shù)學(xué)試題及答案

河源一模數(shù)學(xué)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，且a1+a5=30，則a3的值為（）

A.10B.12C.14D.16

2.在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，cosB=1/2，則三角形ABC的周長(zhǎng)為（）

A.7B.8C.9D.10

3.函數(shù)f(x)=x^2-2x+1在區(qū)間[1,3]上的最大值為（）

A.0B.1C.2D.3

4.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+2x+1，若f'(x)=0的解為x1，x2，則f(x)的極值點(diǎn)為（）

A.x1、x2B.x1、x2+1C.x1+1、x2D.x1+1、x2+1

5.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，若a1+a2+a3=12，a2+a3+a4=18，則a1*a4的值為（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空題（每題5分，共25分）

6.在等差數(shù)列{an}中，若a1=1，公差d=2，則第10項(xiàng)an=______。

7.在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=5，b=7，c=8，則角A的余弦值為_(kāi)_____。

8.函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值為_(kāi)_____。

9.已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+2x+1，若f'(x)=0的解為x1，x2，則f(x)的極小值為_(kāi)_____。

10.在等比數(shù)列{an}中，若a1=2，公比q=3，則第5項(xiàng)an=______。

三、解答題（每題10分，共40分）

11.（10分）已知等差數(shù)列{an}的公差為d，若a1+a5=16，a3+a7=32，求d的值。

12.（10分）在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，cosB=1/2，求角C的正弦值。

13.（10分）函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

14.（10分）已知函數(shù)f(x)=2x^3-3x^2+2x+1，求f(x)的極值點(diǎn)和極值。

四、解答題（每題10分，共40分）

15.（10分）已知函數(shù)f(x)=x^2-2x-3，求函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

16.（10分）已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3，公比q=2，求第n項(xiàng)an。

17.（10分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,-3)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

18.（10分）解方程組：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

x-y=1

\end{cases}

\]

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

19.（10分）某商品原價(jià)為x元，打折后的價(jià)格為y元，打折比例為p（0<p<1）。已知打折后價(jià)格比原價(jià)降低了20%，求打折后的價(jià)格y。

20.（10分）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的兩倍，若長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為40cm，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

六、證明題（每題10分，共20分）

21.（10分）已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且a1+a4=10，a2+a3=12，證明d=1。

22.（10分）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，有1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B

解析思路：由等差數(shù)列的性質(zhì)，a1+a5=2a3，所以2a3=30，解得a3=15。

2.D

解析思路：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，代入已知值，解得b^2=9，所以b=3，由三角形的性質(zhì)，a+b>c，c=a+b，所以周長(zhǎng)為a+b+c=3+4+5=12。

3.B

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-2x+1是一個(gè)完全平方公式，其最小值為0，因?yàn)閤=1時(shí)取得。

4.A

解析思路：求導(dǎo)得f'(x)=6x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x1=x2=1/2，這是函數(shù)的極值點(diǎn)。

5.B

解析思路：由等比數(shù)列的性質(zhì)，a1*a4=a2*a3，代入已知值，解得a1*a4=2*3=6。

二、填空題

6.19

解析思路：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，代入已知值，得a10=1+9*2=19。

7.3/5

解析思路：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入已知值，解得cosA=3/5。

8.2

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，所以最大值在x=3處取得，f(3)=3^2-4*3+3=2。

9.0

解析思路：由導(dǎo)數(shù)的定義，f'(x)=0時(shí)，f(x)取得極值，f'(x)=6x^2-6x+2，解得x1=x2=1/2，f(1/2)=0。

10.486

解析思路：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1*q^(n-1)，代入已知值，得a5=3*2^(5-1)=486。

三、解答題

11.d=2

解析思路：由等差數(shù)列的性質(zhì)，a1+a5=2a3，a3+a7=2a5，代入已知值，得2a3=16，2a5=32，解得d=2。

12.1/2

解析思路：由余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入已知值，解得cosC=1/2，所以角C的正弦值為√(1-cos^2C)=√(1-(1/2)^2)=√(3)/2。

13.最大值為2，最小值為0

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，所以最大值在x=3處取得，f(3)=2，最小值在x=1處取得，f(1)=0。

14.極大值點(diǎn)為x1=x2=1/2，極大值為0；極小值點(diǎn)為x3=1，極小值為-1

解析思路：求導(dǎo)得f'(x)=6x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x1=x2=1/2，這是函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(1/2)=0；f'(x)在x=1處為0，這是函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(1)=-1。

四、解答題

15.對(duì)稱軸x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,-2)

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-2x-3是一個(gè)二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x,f(x))。

16.an=3*2^(n-1)

解析思路：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1*q^(n-1)，代入已知值，得an=3*2^(n-1)。

17.Q(3,2)

解析思路：點(diǎn)P(2,-3)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)Q，坐標(biāo)交換，得Q(3,2)。

18.解為x=3，y=1

解析思路：將第二個(gè)方程x-y=1代入第一個(gè)方程2x+3y=8，解得x=3，代入x-y=1，解得y=1。

五、應(yīng)用題

19.y=0.8x

解析思路：由題意，y=px，所以0.8x=px，解得p=0.8，所以y=0.8x。

20.長(zhǎng)為20cm，寬為10cm

解析思路：設(shè)寬為x，則長(zhǎng)為2x，由周長(zhǎng)公式2(x+2x)=40，解得x=10，所以長(zhǎng)為20cm，寬為10cm。

六、證明題

21.d=1

解析思路：由等差數(shù)列的性質(zhì)，a1+a4=2a3，a2+a3=2a4，代入已知值，得a3=5，a4=7，所以d=a4-a3=2，a1+a4=10，解得a1=3，所以d=1。

22.證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，有1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

解析思路：使用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=1時(shí)，等式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即1^2+2^2+3^