2023-2024學(xué)年滬科版七年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（5月份）解析版

2023-2024學(xué)年七年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（5月份）

【滬科版】

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2024七年級(jí)?浙江杭州?階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（）

A.7（7T-4）2=4-7TB.7（±2）2=±2

C.認(rèn)-2>=2D.V（-4）2=-4

【答案】A

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根與立方根的意義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A,4^J（?！?）2=4一兀=2,故該選項(xiàng)正確，符合題意；

B.誨歲=2=2,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.雙方=-2,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.疝于=4,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根的意義及立方根的意義，靈活運(yùn)用而=|a|、是解題關(guān)鍵.

2.（3分）（2024七年級(jí)?湖南永州?階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式（〃?一1）x>加一1可變成形為貝|（）

A.冽<—1B.—1C.機(jī)>1D.m<l

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：,?,關(guān)于％的不等式（m-1）加-1的解集為

則m<l,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的基本性質(zhì).

3.（3分）（2024七年級(jí)?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）已知2a=4,2b=12,2c=6,那么%b、c之間滿足的關(guān)系是

（）

A.a+c=b+lB.a+c=2bC.a\b\c=1:3:2D.ac=2b

【答案】A

【分析】本題考查同底數(shù)塞的乘法，根據(jù)2b=12可得2"1=24,再根據(jù)4*6=24得到2。-2'=2/）+1,最后

根據(jù)同底數(shù)幕的乘法可得出結(jié)論.熟練掌握它們的運(yùn)算法則及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???2°=4,2b=12,2c=6,

.-.2x2fe=2X12,

即：2"i=24,

v4x6=24,

?2。.2c=2“i,

.2^+c=2匕+1

.,.a+c=b+1,

故選：A.

4.（3分）（2024七年級(jí)?浙江?自主招生）已知a,6為實(shí)數(shù)，且昉=1,設(shè)"=捻+言，"=三+6，則

M,N的大小關(guān)系是（）

A.M>NB.M=NC.M<ND.無(wú)法確定

【答案】B

【分析】先將M,N的值進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行比較.

a(b+l)+Z?(a+l)2ab+a+b11b+l+a+1a+b+2

【詳解】解:???M=--------N=—___I_____=------------------=------------------

熱+言(a+l)(b+l)(a+l)(b+l)'-a+1丁b+1~(a+l)(b+l)—(a+l)(b+l”

,?tab=1,

“2+a+b2

-'-M=(a+l)(b+l)=此

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查異分母的分式的加減.熟練掌握異分母分式加減的運(yùn)算法則，利用整體思想代入求值,

是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2024七年級(jí)?河北邯鄲?階段練習(xí)）若65-11-35以11的結(jié)果為整數(shù),則整數(shù)〃的值不可能是（）

A.44B.55C.66D.77

【答案】D

【分析】將直包業(yè)1和各選項(xiàng)進(jìn)行因式分解，依次判斷，即可求解，

本題考查了，因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解.

［詳解］解.652><11-352><1,1_11X(652352)=llx(65+35)(6535)=11x100x30二11x23x3x53

nnnnn

A、44=22x11,是11x23x3x53的因子，可使結(jié)果為整數(shù)，不符合題意，

B、55=5x11,是11X23、3X53的因子，可使結(jié)果為整數(shù)，不符合題意，

C、66=2x3x11,是11x23x3x53的因子，可使結(jié)果為整數(shù)，不符合題意，

D、77=7X11,不是11x23x3x53的因子，不可使結(jié)果為整數(shù)，符合題意，

故選：D.

6.(3分)(2024七年級(jí)?河南南陽(yáng)?階段練習(xí))已知關(guān)于加的不等式組,且〃?為整數(shù)，則關(guān)于x

的分式方程言=2的解是()

X—771

A.%=5B.x=1C.x=3D.不能確定

【答案】C

【分析】本題主要考查了求不等式組的整數(shù)解，解分式方程，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)"同大取大,

同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到(無(wú)解)"求出不等式組的解集，進(jìn)而求出其整數(shù)解，即加的

值，然后解分式方程即可得到答案.

【詳解】解：｛7笈0鴛

解不等式①得小>；，

解不等式②得：m<2,

??.不等式組的解集為:<爪<2,

,-m為整數(shù)，

.,.m=1,

??.原分式方程為誓=2,

去分母得：X+1=2(x-l),

去括號(hào)得：x+1—2x—2,

解得x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=3是原方程的解，

故選：C

7(3分)(2024七年級(jí)?湖南衡陽(yáng)?階段練習(xí))已知(2023—a)(—a+2022)=4,則(2023—a)?+(2022—a)?

的值為()

A.7B.8C.9D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)(2023-a)-(2022-a)=1，貝盯(2023-a)-(2022-a)『=儼，所以(2023-a)2-2(2023-a)

(2022-ci)+(2022-a)2=1,把(2023-a)(—a+2022)=4代入計(jì)算即可求解.

【詳解】解：,?,(2023-砌一(2022-a)=1

“(2023-a)—(2022-a)f=12

???(2023-爐-2(2023-a)(2022-a)+(2022-a)2=1

??,(2023—a)(—a+2022)=4

???(2023—a)2-2X4+(2022-a)2=1

???(2023-爐+(2022-a)2=9

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用.熟練掌握運(yùn)用完全平方公式計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

8.(3分)(2024七年級(jí)?北京?期中)已知min{a力,c}表示取三個(gè)數(shù)中最小的那個(gè)數(shù).例如:當(dāng)乂=-2時(shí)，

min{|—2],(—2)2,(—2)3}=-8,當(dāng)min{石久}=正時(shí)，則久的值為()

1111

A?癡B-8C-4D.5

【答案】C

【分析】本題分別計(jì)算石=2,/=2，k=2的X值，找到滿足條件的X值即可.

loioio

【詳解】解：當(dāng)￡=去時(shí)，X=與，x<&不合題意；

loZoo

當(dāng)%2=2時(shí)，%=±p當(dāng)％=-；時(shí)，X<X2i不合題意；

當(dāng)％=；時(shí)，VX=Px2<x<Vx，符合題意；

2

當(dāng)％=4時(shí)，久2=與，X<%,不合題意，

loZDO

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較，算術(shù)平方根及其最值問(wèn)題，解決此題時(shí)，注意分類思想的運(yùn)用.

9.(3分)(2024七年級(jí)?浙江寧波?期末)如圖，將兩張長(zhǎng)為a,寬為b的長(zhǎng)方形紙片按圖1,圖2兩種方式放

置，圖1和圖2中兩張長(zhǎng)方形紙片重疊部分分別記為①和②，正方形力BCD中未被這兩張長(zhǎng)方形紙片覆蓋

部分用陰影表示，圖1和圖2中陰影部分的面積分別記為Si和若知道下列條件，仍不能求Si-S2值的是

)

A.長(zhǎng)方形紙片的周長(zhǎng)和面積B.長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)和寬的差

C.①和②的面積差D.長(zhǎng)方形紙片和①的面積差

【答案】D

【分析】

設(shè)正方形48CD的邊長(zhǎng)為X,分別求出S1-S2、①和②的面積、長(zhǎng)方形紙片的面積與周長(zhǎng)，再逐項(xiàng)判斷即可

得.

【詳解】解：如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,

則S]=(x-a)2+(x-b)2,

S2=2(x—a)(x—b),

2222

Si-S2=(x-a)+(x-b)-2(x-a)(x-b)=(a-b)=(a+b)-4ab,

長(zhǎng)方形紙片的周長(zhǎng)為2(a+b),面積為ab,

二若知道長(zhǎng)方形紙片的周長(zhǎng)和面積或長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)和寬的差，能求出Si-S2,即選項(xiàng)A、B不符合題意;

圖中①的面積為(b-x+a)2=(a+b)2-2x(a+b)+x2=(a+b)2-2ax-2bx+x2,

②的面積為(2a-x)(2b-x)=4ab-2ax-2bx+x2,

①和②的面積差為(a+b)2-2ax-2bx+x2-(4ab-2ax-2bx+x2)=(a+b)2-4ab,

???若知道①和②的面積差，能求出S1-S2,即選項(xiàng)C不符合題意；

長(zhǎng)方形紙片和①的面積差為ab-(a+b)2+2ax+2bx-x2,

???若知道長(zhǎng)方形紙片和①的面積差，不能求出S1-S2,即選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法、完全平方公式在圖形中的應(yīng)用，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

10.(3分)(2024七年級(jí)?重慶?階段練習(xí))對(duì)任意非負(fù)數(shù)X,若記舒，給出下列說(shuō)法，其中正確的個(gè)

數(shù)為()

①f(0)=l；

@/(x)=貝1k=3；

③f(2)+/(4)+-+/(22023)+/(1)+/?+…+/(圭)=0；

2

④對(duì)任意大于3的正整數(shù)幾，有/'(2)/(3)…

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查了代數(shù)式求值、解分式方程、數(shù)字類規(guī)律題等知識(shí)點(diǎn)，找出相關(guān)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

將％=o代入即可判斷①，解方程即可判斷②，分別計(jì)算外2)=舒=,fG)=F=3=_g

2

1__3

/(4)=W=g得=—1.…即可判斷③,同理分別求得/(2)/(3),找到規(guī)律,進(jìn)而即可判

、JT,!1□\4?■/ALi'—A□

斷④.

【詳解】解：解(x)=舒,

當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=W=-L故①錯(cuò)誤，

1?1/(X)=|＞即4=表解得：x=3,經(jīng)檢驗(yàn)x=3是原方程的解，故②正確；

1Y11Y3

1

r2-117"~21r=4-1=3f/l\=ZZ1_Z4=_3

?

4(2)===]=九4)-4+1-5^\4)~1+1￡-5*

2T±24T4

?"(2)+/(4)+-+/(22023)+/Q)+/Q)+-+/(金)=°，故③正確；

「2-11￡3-12￡4-13.n

.力2)=百=*九3)=詬="八4)=，==5,……/(九)=能

123n

."(2)"(3)"(n—l)f(幾)一3*4x5xx5+2)

1x222

(n+l)(n+2)—(71+1)5+2)=故④車日誤，

綜上，正確的有2個(gè).

故選：c.

填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2024七年級(jí)■遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）在實(shí)數(shù)-1.414,瓜n,3.14,2+百,3.212212221...,3.14

中，無(wú)理數(shù)的有一個(gè).

【答案】4

【分析】無(wú)理數(shù)常見(jiàn)的三種類型（1）開(kāi)不盡的方根（2）特定結(jié)構(gòu)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（3）含有兀的絕大部

分?jǐn)?shù)，如2n.

【詳解】解：-1.414是有限小數(shù)，是有理數(shù)，血是無(wú)理數(shù)，n是無(wú)理數(shù)，3.i4無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，2+V3

是無(wú)理數(shù)，3.212212221…是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，3.14有限小數(shù)是有理數(shù).共有4個(gè)

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)，掌握無(wú)理數(shù)的常見(jiàn)類型是解題的關(guān)鍵.

12.（3分）（2024七年級(jí)?安徽合肥?期中）己知3a=2、36=5、3c=祗，那么a、b、c之間滿足的等量關(guān)系是.

【答案】3a+b-c=2

【分析】由題意知23x5+9=與，則有（3。）3*3匕+32=3,，化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】解：由題意知23x5+9=等

?■?（3a）3X3。+32=3。

.^3u-^-b—2_3c

???3Q+b—2=c

??0、b、。之間滿足的等量關(guān)系是3a+b-c=2

故答案為：3a+b—c=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了嘉的乘方，同底數(shù)幕的乘法，同底數(shù)幕的除法.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握同底數(shù)嘉乘

法、同底數(shù)幕的除法的運(yùn)算法則.

13.（3分）（2024七年級(jí)?廣西欽州,階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式小尤-幾>0的解集是則關(guān)于x的不等

式（九—771）、>租+九的解集是.

【答案】X>—1/x>—1|

【分析】先根據(jù)第一個(gè)不等式的解集求出mV0,n<0,m=4n,再代入第二個(gè)不等式，求出不等式的解

集即可.

【詳解】解：,*'mx-n>0,

???mx>n,

,*,關(guān)于x的不等式—九>0的解集是久<q

c九1

???巾<°，m=P

rn=4n,n<0,

???n—m=-3n,m+n=5n,

>m+n,

：.—3nx>5n,而—3九>0,

5

,''X>一

關(guān)于X的不等式(九一小)%>m+71的解集為x>-|.

故答案為：x>—

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，求出巾=4n是解此題的關(guān)鍵.

14.(3分)(2024七年級(jí)?安徽滁州?階段練習(xí))在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算"※"：小※力0).請(qǐng)解

決下列問(wèn)題：

(1)3X2=；

AR

(2)右(％—1)※(工+2)+則.

【答案】一：一5

【分析】(1)根據(jù)定義的運(yùn)算代入計(jì)算；

(2)根據(jù)定義運(yùn)算得到等式，運(yùn)用分式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值.

【詳解】解：(1)3X2=安=?=一!

/—、、./(%—1)+(%+2)—62.x—5

(2)(工-1)※(工+2)=(%—1)(%+2)=—

AB_A(x+2)+8(%-1)_(4+B)x+(2/-8)

x—1-1-%+2(x—1)(%+2)(x—1)(%+2)

2x-5_(A+B)x+(2A-B)

"(%—1)(x4-2)—(%—1)(%+2)

.?.貝!]24—8=—5.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

15.(3分)(2024七年級(jí)?山東淄博?階段練習(xí))對(duì)于(2+1)(22+DR4+1)…032+1)-1,計(jì)算結(jié)果的個(gè)

位數(shù)字是.

【答案】4

【分析】本題考查了平方差公式，原式變形后，利用平方差公式計(jì)算得到結(jié)果，歸納總結(jié)即可確定出結(jié)果

的個(gè)位數(shù)字.

【詳解】解：(2+1)(22+1)(24+1)-(232+1)-1

=(2-1)-(2+1)-(22+1)-(24+1)---(232+1)-1

=(22-1)-(22+1)-(24+1)-(232+1)-1

=(24-1)-(24+1)-(232+1)-1

=26J-I

=264-2,

...21=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,

二其結(jié)果個(gè)位數(shù)以2,4,8,6循環(huán)，

???64+4=16,

??.264的計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為6,

即原式計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為4.

故答案為：4.

16.(3分)(2024七年級(jí)?江蘇宿遷?階段練習(xí))己知實(shí)數(shù)0、q滿足p2=3p+2,2q2=3q+l,且pH2q,則

p2+4q2=.

【答案】13

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用.解題時(shí)，注意"整體代入"數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.

根據(jù)已知條件得到：p2—3p=4q2—6q=2,利用因式分解法分別求得p、q的值，然后代入所求的代數(shù)式進(jìn)

行求值即可.

【詳解】解：：由p2=3p+2得：p2—3p=2.

由2q2=3q+l得：4/=6q+2,

?1?4q2-6q=2,

則p2-3p=4q2-6q,

p2-3p-4q2+6q=(p+2q)(p-2q)-3(p-2q)=(p-2q)(p+2q-3)=0,

vp豐2q,

■-p+2q-3=0,

???p+2q=3,

???p2+4/=(2+3p)+(6q+2)=3(p+2q)+4=9+4=13.BPp2+4g2=13.

故答案為：13.

三.解答題(共7小題，滿分52分)

17.(6分)(2024七年級(jí)?河南關(guān)B州?階段練習(xí))(1)計(jì)算：263.3771-(37712)2+^6+62；

(2)計(jì)算：(2x+5)(2x-5)-x(4x-3);

【答案】(1)-2m4；(2)3x-25

【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

(1)原式先計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，積的乘方和幕的乘方以及同底數(shù)塞的除法，再合并即可;

(2)原式根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則將括號(hào)展開(kāi)后再合并即可.

【詳解】解：(1)2m3-3m-(3m2)2+m6m2

=6m4—9m4+m4

=~2m4;

(2)(2%+5)(2x-5)-x(4x-3)

=4x2—25—4x2+3x

=3x—25.

18.(6分)(2024七年級(jí)?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))(1)計(jì)算：(&一1)°+|—3|—?dú)v+(—I)?。?1.

(2)先化簡(jiǎn)，再求值：U+W)?六，其中久=3.

VX2+4X+4X+2/X-1

【答案】(1)0；(2)甚p-

【分析】

本題考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，涉及零指數(shù)塞，立方根的求解，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，平方差以及完

全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)零指數(shù)幕，絕對(duì)值，立方根，乘方的運(yùn)算法則運(yùn)算出各項(xiàng)，再加減即可；

(2)先將括號(hào)里的通分相加，再算乘法約分即可.

【詳解】解：(1)(e一1)°+|—3|—舊+(—1)2021

=1+3-3-1

=0;

(x4-2)(x—2)x1

=-----------------4--------------

(X+2)2x+2]X-1

_/x-2x\1

-lx+2+x+2Jx-1

_2(x-l)1

x+2x—1

2

-x+2J

當(dāng)x=3時(shí)，原式二蓑二今

19.（8分）（2024七年級(jí)?山西太原?階段練習(xí)）閱讀下列解題過(guò)程:

（2）按照你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)你寫出第九個(gè)等式：

（3）利用這一規(guī)律計(jì)算：J（1一*）（1一得）（1一日）???（1一^^

2n+l__上zx1

【答案】（）（）1--n+1：

1O2^7i7so

【分析】（1）仿照已知等式確定出所求即可;

（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可;

（3）原式變形后，仿照上式得出結(jié)果即可.

【詳解】解：⑴白=點(diǎn)=4

故答案為：

O

（2）觀察上面的解題過(guò)程，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為:

1492401

4X9X16X，，，X2500

1

-50,

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

20.(8分)(2024七年級(jí)?山東濰坊?階段練習(xí))易通汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌N款汽車，隨著汽車的普及，

其價(jià)格也在不斷下降.去年3月份銷售總額為100萬(wàn)，今年4款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬(wàn)元，

售出的4款汽車的數(shù)量與去年相同，但是銷售總額比去年同期減少10萬(wàn).

問(wèn)題：

⑴今年3月份/款汽車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元？

(2)為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車.已知/款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬(wàn)元，B款汽

車每輛進(jìn)價(jià)為6萬(wàn)元，售價(jià)7萬(wàn).公司總部預(yù)計(jì)用至多105萬(wàn)元購(gòu)入兩款汽車共15輛，且要求利潤(rùn)不少于

19萬(wàn)元，共有幾種進(jìn)貨方案？

【答案】(1)今年3月份/款汽車每輛售價(jià)9萬(wàn)元；

(2)共有3種進(jìn)貨方案.

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出

未知數(shù)，找出合適的數(shù)量關(guān)系，列方程和不等式組求解.

(1)設(shè)今年3月份4款汽車每輛售價(jià)x萬(wàn)元,根據(jù)題意可得,去年銷售額100萬(wàn)元與今年銷售額100-10=90

萬(wàn)元所賣的車輛數(shù)量相等，據(jù)此列方程求解;

(2)設(shè)/款汽車能購(gòu)進(jìn)y輛，則3款汽車能購(gòu)進(jìn)(15-y)輛，根據(jù)購(gòu)車資金不多于1。5萬(wàn)元，利潤(rùn)不少于

19萬(wàn)元，列不等式組求解.

【詳解】(1)解：設(shè)今年3月份4款汽車每輛售價(jià)x萬(wàn)元，則去年同期每輛售價(jià)(x+1)萬(wàn)元,

I,曰10090

由題意得：市=爰

解得：x=9,

經(jīng)檢驗(yàn)：％=9是原分式方程的解，且符合題意,

答：今年3月份4款汽車每輛售價(jià)9萬(wàn)元;

(2)解：設(shè)/款汽車能購(gòu)進(jìn)夕輛，則8款汽車能購(gòu)進(jìn)(15-y)輛,

中星頁(yè)煮得.[7.5y+6(15-y)W105

田達(dá)惠付?t(9_7.5)y+(7_6)yN19,

解得:｛援搭

?.》是整數(shù)，

故丁可以取值：8、9、10.

答：共有3種進(jìn)貨方案.

21.(8分)(2024七年級(jí)?陜西西安?階段練習(xí))閱讀下面的材料，然后解決問(wèn)題：

蘇菲?熱門，19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)研究上造詣?lì)H深.下面是他寫的數(shù)學(xué)著作中的一個(gè)問(wèn)題：因式分

解d+4時(shí)，因?yàn)樵撌街挥袃身?xiàng)，而且屬于平方和的形式，即(久2)2+22,所以要使用公式就必須添加一項(xiàng)

4久2,同時(shí)減去4/,即刀4+4=久4+4%2+4-4%2=(久2+2)2-(2%)2=(久2+2%+2)(/一2%+2).人們?yōu)?/p>

了紀(jì)念蘇菲?熱門給出的這一解法，就把它叫做“熱門定理".請(qǐng)你依照蘇菲?熱門的做法，將下列各式因式分

解：

(1)X4+4y4；

(2)/—2ax一片一2a°；

(3)x3+2%2—5x—6.

【答案】⑴(一+2xy+2yz)(x2—2xy+2y2)

(2)(x+b)(x—2a—b)

(3)(%+1)(%+3)(%—2)

【分析】本題考查因式分解，掌握添項(xiàng)構(gòu)造完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

(1)原式變形為(/+4%2y2+4y4)—4%2y2,再利用完全平方公式和平方差公式分解可得；

(2)原式變形為公-2互+02一Q2一廬一2防，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得；

(3)原式變形為%3+2/+%―6%-6,再利用完全平方公式和提取公因式分解可得.

【詳解】(1)解：x4+4y4

=(X4+4%2y2+4y4)—4%2y2

=(x2+2y2)2—(2%y)2

=(x2+2xy+2y2)(x2—2xy+2y2);

(2)x2-2ax-b2-2ab

=x2—2ax+az—a1—b2—2ab

=(x—a)2—(a+Z?)2

=(x-a+a+b)(x—a—a—b')

=(x+/?)(%—2a—h);

32

(3)解：%+2X-5X-6

—x3+2x2+x—6x—6

=x(x+l)2—6(%+1)

=(x+l)(x2+x—6)

=(x+l)(x+3)(x—2).

22.(8分)(2024七年級(jí)?四川巴中?階段練習(xí))如圖。是一個(gè)長(zhǎng)為2爪，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀

平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖6的形狀，拼成一個(gè)正方形.

⑴請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積.方法①方法②—

(2)觀察圖6,請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式+n)2,n)2,加〃之間的等量關(guān)系是

⑶若x+y=-6,xy=2.75,利用(2)題中提供的等量關(guān)系計(jì)算：%-y=_；

⑷實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來(lái)解釋，如圖C,它表示了(m+n)(27n+7i)=2ni2+3nm+

n2,現(xiàn)有一個(gè)代數(shù)恒等式(a+b)(a+36)=a2+4ab+3b2,請(qǐng)用一個(gè)幾何圖形的面積來(lái)解釋它的正確性.

【答案】⑴(m+n)2—4mn,(m—n)2

(2)(m+n)2-4mn=(m—n)2

⑶±5

⑷見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)陰影部分的面積可以看作正方形的面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積或邊長(zhǎng)為(巾-n)的正方形

的面積，即可列式；

(2)根據(jù)陰影部分的面積相等可得答案；

(3)由(2)可得(x+y)2-4xy=(x-y)2,代入久+丁=-6,xy=2.75求值即可；

(4)根據(jù)等式的意義畫出符合要求的圖形即可.

【詳解】(1)解：方法①：大正方形的面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即陰影部分的面積為(巾+九)2-4巾71,

方法②：看作邊長(zhǎng)為(6-71)的正方形的面積，即陰影部分的面積為(血-九/，

故答案為：(6+幾)2-4血幾，(m-n)2

(2)根據(jù)陰影部分的面積相等可得：(6+71)2—4/n?l=(771—71)2,即071+幾)2,(血—九猿，加〃之間的等量關(guān)

系是：(m+n)2-4mn=(m-n)2,

故答案為：(血+n)2-4mn=(m—n)2

(3)由(2)可得(％+y)2—4%y=(%—y)2,

若x+y=-6,xy=2.75,

則(%-y)2=(x+y)2—4xy=(-6)2—4x2.75=25,

■■-x—y=+5,

故答案為：±5

(4)如圖所示，

abbh

圖形面積可以表示為長(zhǎng)為(a+3b)，寬為(a+b)的大長(zhǎng)方形的面積，即(a+b)(a+3b);還可看作四個(gè)正方

形的面積與四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和，即a?+4ab+3b2,

?■?(a+b)(a+3b)—a2+4ab+3b2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的乘法與幾何圖形面積之間的聯(lián)系，從幾何的圖形來(lái)解釋多項(xiàng)式乘法的意

義.解此類題目的關(guān)鍵是正確的分析圖形，找到組成圖形的各個(gè)部分，并用面積的兩種求法作為相等關(guān)系

列式子.

23.(8分)(2024七年級(jí)?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)："對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形

式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則.

閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際

運(yùn)算時(shí)難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)(分式)拆分成一個(gè)整數(shù)(整式)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)(分式)的和(差)

的形式，通過(guò)對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)題