2024-2025學(xué)年北京市高二年級上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷

一、單選題

1.已知直線辦+2尸2=0與3x7-2=0平行，則系數(shù)。=（）

32

A.一3B.16C.2D.3

2.經(jīng)過圓（x+l）-+V=l的圓心，且與直線x+V=°垂直的直線的方程是（）

Ax—y+l=0B.xel=0

Cx+y+l=0Dx+y-l=0

3.在三棱錐。-48。中，方+方-而等于（）

A.OAB.刀C.OCD.4c

4.若過點(diǎn)“（-2，加），"（私4）的直線的斜率等于1,則〃?的值為（）

A.1B.4C.1或3D.1或4

22

工+匕=1

5.已知橢圓3〃？m的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,0）,則實(shí)數(shù)〃?的值為（）

A.1B.^2C.2D.4

6.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三

角形的直三棱柱.如圖，在塹堵中，ACLBC,AC=BC=A4=2,則直線

4c與平面所成角的大小為（）

C.660°D.90。

7.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)G，4）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）.

A.4B.5C.6D.7

8.“a=0，，是“直線x-即+2°一1=°（aeR）與圓/+/=1相切,，的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，若點(diǎn)尸3'）在直線"+勿+%+3=°上，則當(dāng)a,6變化時(shí),

直線8的斜率的取值范圍是（）

一oo,_叵U——,+00叵

-3J3

A.B."T

_4￡「石、工叵

—00,——,+00

2222

C.LyD.

10.某地居民的居住區(qū)域大致呈如圖所示的五邊形，近似由一個(gè)正方形和兩個(gè)等腰直角三角

形組成.若/8=60而，AE=CD=30km,現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)電視轉(zhuǎn)播臺，理想方案是轉(zhuǎn)播臺距五

邊形各頂點(diǎn)距離的平方和最小，圖中用心弓舄是NC的五等分點(diǎn)，則轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在（）

c.鳥處D.無處

二、填空題

11.直線百X7+4=0與圓'+（y_1）2=1的位置關(guān)系是.

12.已知圓G：（x-a）2+）2=36與圓。2：/+3-2）2=4內(nèi)切，則0=_

13.已知圓C：x2+y2+2x+ay—3=0（a為實(shí)數(shù)）上任意一點(diǎn)關(guān)于直線1：x—y+2=0的對稱

點(diǎn)都在圓C上，則a=.

14.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1BQ1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D】E上,

點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為

15.定義：若對平面點(diǎn)集A中的任意一點(diǎn)Go，%),總存在正實(shí)數(shù)『，使得集合

22

-｝x,y)J(x-x0)+(j-y0)<rkA

I廠，則稱A為一個(gè)“開集”.給出下列集合:

①"/)尸+/=1｝；②｛(x,y)|x+y+2>0｝；

③/姍k+小6｝；④［沖</+G-⑸<i

其中為“開集”的是.

三、解答題

16.已知直線/：(2〃'+l)x+("+l)y-5加-4=0

(1)當(dāng)俏=0時(shí)，一條光線從點(diǎn)尸(2,°)射出，經(jīng)直線/反射后過原點(diǎn)，求反射光線所在直線的方

程；

(2)求證：直線/恒過定點(diǎn)；

(3)當(dāng)原點(diǎn)到直線/的距離最大時(shí)，寫出此時(shí)直線/的方程(直接寫出結(jié)果).

17.已知橢圓4x；/=l及直線y=x+7〃.

(1)當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求直線與橢圓相交所得的弦長；

(3)求直線被橢圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.

18.如圖，在四棱錐尸-43。中，底面是邊長為2的菱形，AC交BD于點(diǎn)O,

/區(qū)40=60。，PB=PD.點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，連接OE,OP.

p

B

⑴求證：〃平面PCD；

V15

(2)若平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為5,再從條件①，條件②這兩個(gè)條件中選

擇一個(gè)作為已知，求線段0P的長.

條件①：平面依OJL平面/BCD；

條件②：PB1AC,

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.已知圓G：x2+/=2和圓c*直線/與圓G相切于點(diǎn)'(I/)，圓G的圓心在射線

2x-〉=0(xN0)上，圓G過原點(diǎn)0,且被直線/截得的弦長為4G.

(1)求直線/的方程；

(2)求圓G的方程.

20.橢圓ab2的左頂點(diǎn)為外一2叼，離心率為2.

⑴求橢圓〃的方程；

(2)已知經(jīng)過點(diǎn)【)的直線/交橢圓M于氏°兩點(diǎn)，。是直線x=-4上一點(diǎn).若四邊形

/BCD為平行四邊形，求直線/的方程.

21.己知有限集X,Y,定義集合X"={x|xeX,且xeY},盧|表示集合*中的元素個(gè)數(shù).

⑴若X={123,4},丫={3,4,5},求集合和lX,以及—丫"("入)的值；

(2)給定正整數(shù)n,集合S=02…，嗎，對于實(shí)數(shù)集的非空有限子集A,B,定義集合

C={x\x=a+b,aEA,bGB)

①求證：M/+忸一S|+|S-C|NI；

②求I("-S)D(S-")I+KB-S)U(S-B)|+KC-S)U(S—C)|的最小值.

答案:

題號12345678910

答案BACACAAABA

1.B

【分析】

。22

——=—w—

由直線的平行關(guān)系可得3-1-2,解之可得.

【詳解】

解：：直線°x+2y+2=0與直線3x-y-2=0平行，

all

—=—w—

3-1-2,解得a=-6.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系確定斜率，結(jié)合圓心坐標(biāo)并應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程.

【詳解】由直線與直線x+>=°垂直，故所求直線斜率為1,

又經(jīng)過圓（x+i）~+V=i的圓心（T,。），故所求直線為>=x+i,

所以所求直線方程為x-y+i=°.

故選：A

3.C

【分析】應(yīng)用向量加減法法則化簡.

【詳解】由況+方_瓦=礪+數(shù)=雙.

故選：C

4.A

【分析】根據(jù)斜率公式即可得到方程，解出即可.

4—m1

---=I1

【詳解】由題意得加+2,解得加=L

故選：A.

5.C

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合即可求解.

【詳解】由條件可知，/=3，〃，b2=m,c=2,

所以/一/=02加=4,得加=2,

故選：C

6.A

【分析】根據(jù)線面角定義找到直線4c與平面所成角的平面角，結(jié)合已知求其大小.

【詳解】由題設(shè)知，直三棱柱底面為等腰直角三角形，且/C=2C=2,AC1BC,

若。是N8中點(diǎn)，連接則。1/2,且8=及，

由面面/8C,CDu面N8C,面PI面2臺。=/臺,

ABB

所以C。上面^,則直線4c與平面ABBA,所成角為銳角ZCAtD

且4。u面4BB4,則CD14。,

CD1

sinNC/Q=—

由題意，在口1^。4。中4°=2正，則4c2,故/。0=30。

故選：A

7.A

【分析】求出圓心°的軌跡方程后，根據(jù)圓心"到原點(diǎn)。的距離減去半徑1可得答案.

【詳解】設(shè)圓心c(x/),則J(x-3y+(y_4)=1,

化簡得(xf+G-4)2=1,

所以圓心C的軌跡是以河(3,4)為圓心，1為半徑的圓,

所以|0。+1臼。蛆=乒不=5,所以|。。25-1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí)取得等號，

故選：A.

本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出a的取值范圍，再根據(jù)充分條件，必要條件的定義解

出.

【詳解】由題知，圓的圓心為（°刀），半徑為1,

設(shè)圓心到直線x一町+2。-1=0（。eR）的距離為d

1

<7=-L_=1_3

則，1+（一。）2

，解得：…或

3

CI———

由此可知,=0”是°或4”的充分不必要條件,

故選：A.

9.B

【分析】將點(diǎn)尸代入直線方程中得出點(diǎn)。為圓上的動點(diǎn),

結(jié)合圖像分析即可求出直線8的斜率的取值范圍.

［詳解］因?yàn)辄c(diǎn)尸（"S）在直線辦+如+4a+3=0上,

所以a?a+b?b+4a+3=0,

日口〃+廿+4。+3—0（a+2）+/=1

則尸3'）表示圓心為（一2，°）,半徑為1的圓上的點(diǎn),

如圖:

由圖可知當(dāng)直線。尸與圓相切時(shí)，直線0P的斜率得到最值,

設(shè)聯(lián)：y=kx,

由圓與直線相切，故有圓心（一2，°）到直線險(xiǎn)的距離為半徑1,

即V1+F,

由圖分析得：直線。尸的斜率的取值范圍是L33

故選：B.

10.A

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)轉(zhuǎn)播臺建在尸（X/）處，可將歸"「+盧砰+

附舊哂+|時(shí)表示為2的形式，即5（74）2+5-247+5040,由此可確定當(dāng)

x=24且，=24時(shí)距離平方和最小，由此可確定轉(zhuǎn)播臺位置.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則勺(6,6),6(12,12),6(18,18),小24,24)

設(shè)轉(zhuǎn)播臺建在尸(X/)處，

貝1J\p^+|ra|2+|PC|2+|PD|2+\PE^=X2+J2+(X-60)2+J2+(X-30)2+(y-30)2

+(x-30)2+(y-60)2+尤2+(y-30)2=5/-(]20+60+60卜+5/一(60+120+60%

2222

+2X60+4X30=5(X-24)+5(J.-24)+5040)

.?.當(dāng)x=24且y=24時(shí)，岡2+M+1尸C「+閥「+隹「最小,

，轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在4處.

故選：A.

11.相離

【分析】確定圓心和半徑，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心與直線距離，并與半徑比大小，即可得

答案.

【詳解】由、2+&-以=1的圓心為(°，1),半徑為1,

33

廠d=-r==->\

圓心至U13x-y+4=°的距離V3+12,

所以直線與圓相離.

故相離

12.±2百

【分析】利用兩圓內(nèi)切的定義表達(dá)式即可求得.

【詳解】由圓G：J一4+'=36知圓心為G(。,0),半徑為/=6,由圓G:f+(y_2)2=4知圓

心為G(。，2)泮徑為2=2,

因兩圓內(nèi)切，故/GH八一々1,即J/+4=4,解得：a=±2A/3.

故土26.

13.-2

(-1,--)

【詳解】經(jīng)分析知，直線/經(jīng)過圓C的圓心，而圓C的圓心坐標(biāo)為2,所以有

-l-(-^)+2=0,a=-2

2V|

14.5

【詳解】點(diǎn)P到直線CCi的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在

平面ABCD上的射影為P，，顯然點(diǎn)P到直線CCi的距離的最小值為PC的長度的最小值，當(dāng)

2x12」

P'CIDE時(shí)，P9的長度最小，此時(shí)p，C=@+1=5.

15.②④

【分析】根據(jù)開集的定義逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案.

【詳解】①,2+/=1}表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓,

則在該圓上任意取點(diǎn)G。'打）,以任意正實(shí)數(shù)，?為半徑的圓面，

也力及^丫+^一％?<rhA

均不滿足I廠故①不是開集;

②{（x,加+y+2>0},在平面點(diǎn)集A中的任取-點(diǎn)（”。）,

設(shè)該點(diǎn)到直線的距離為d,取「=",

6）J（尤-/7+（/-%丫<r

則滿足I廠，故該集合是開集；

③卜+小6},在曲線卜+止6任意取點(diǎn)（后,%）,以任意正實(shí)數(shù)『為半徑的圓面,

J（尤-J+G一%）2<r24

均不滿足I廠，故該集合不是開集；

”）。4+0-⑸。表示以點(diǎn)（°，⑸為圓心,

④1為半徑除去圓心和圓周的圓面,

在該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)，則該點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最短距離為"，取『=4,

J(x-Xo)2+(>-%)2<r

則滿足,廣，故該集合是開集.

故②④.

本題屬于集合的新定義型問題，考查學(xué)生即時(shí)掌握信息、解決問題的能力，正確理解開集的

定義是解決本題的關(guān)鍵.

16.（1嚴(yán)2”0；

（2）證明見解析；

(3)/：x+3)-10=0

【分析】（1）令/（。/）是P（Z°）關(guān)于/的對稱點(diǎn)，利用垂直和中點(diǎn)在直線上求點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而

寫出直線方程；

⑵將直線寫成加（2尤+y-5）+x+y-4=0,可求定點(diǎn)8（1,3）,即可證；

（3）由題設(shè)易知08,/,利用垂直及點(diǎn)斜式寫出直線方程.

【詳解】（1）由題設(shè)/：x+y-4=0,令是尸0，。）關(guān)于/的對稱點(diǎn)，

一

<a-2

'a+2bAn卜=4

則122,可得僅=2,故/（4,2）,

由題意，反射光線過“（4,2）和原點(diǎn)，

所以反射光線所在直線方程為x-2y=0.

（2x+y—5=0（x=1

（2）由直線可改寫為皿2x+y-5）+x+y-4=0,聯(lián)立［x+y-4=0,可得［片3,

將點(diǎn)8（1,3）代入原直線方程，顯然成立，故直線恒過定點(diǎn)8（1,3）,得證.

（3）當(dāng)原點(diǎn)到直線/的距離最大，即點(diǎn)°（°，°）到點(diǎn)2（1，3）的距離1=麗，此時(shí)08'/,

由3=3,則3,故3,整理得/：x+3y-10=0

亞//亞

------<m<—

17.（1）22.

272

⑵5.

一旦x2

⑶4x+y=0且io10.

【分析】（1）聯(lián)立橢圓與直線得一元二次方程，利用A?。求參數(shù)范圍；

（2）根據(jù)題設(shè)條件求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求弦長；

（3）應(yīng)用韋達(dá)定理求中點(diǎn)坐標(biāo)，即可得軌跡方程.

【詳解】（1）聯(lián)立直線>=x+7〃與橢圓4*+/=1,可得4X2+（X+%）2=I,

整理得5'2+2mx+療_1=o,

由直線與橢圓有公共點(diǎn)，故A=4療-20(%2-1紜0,可得加

JQ-2..

(2)由題設(shè)及(1),聯(lián)立直線與橢圓得5乂+2%=0,則1=0或5,

23

,1x——y——

而直線為N=x+1,當(dāng)x=0有》=1,當(dāng)5有5,

L2.3.272

j(o+-y2+(i——y2=—

所以弦長為V§55.

(3)由⑴有5/+2蛆+加2T=0,令直線與橢圓交點(diǎn)為次占，%),Rz，%),

2m,8m,m4m.

Xi+XQ=--------y,+y—x+x,+2加=—(---,---)

所以5,貝『9’I25,故中點(diǎn)坐標(biāo)為55

由22,則10510,

------SXS-----

所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為V=-4x,即4x+y=°且10"-"10

18.(1)證明見解析

⑵6

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證明；

(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值，即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)榈酌?BCD是菱形，所以。是NC中點(diǎn)，

因?yàn)镋是棱PA的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PC,

又因?yàn)镻Cu平面PCD,OEN平面PCD,

所以〃平面PCD.

(2)選擇條件①：

因?yàn)镻B=PD,。是8。的中點(diǎn)，所以尸。,30,

因?yàn)槠矫鍼BD1平面ABCD，平面PBDH平面ABCD=BD,

POu平面尸8。，

所以尸。，平面/BCD,因?yàn)?Cu平面/BCD,所以尸。，/C,

又/C18O,所以08,℃,°P兩兩垂直，

以°為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系°一中z,

因?yàn)榱庑蔚倪呴L為2,48/0=60。

所以BD=2,AC=2^/3

所以C(0,6,0),￡>(-1,0,0),設(shè)尸(0,0,0(?>0),

所以皮=(1,6,0),赤=(1,0,f),

設(shè)”=(x,%z)為平面PCD的一個(gè)法向量,

nLDC,n-DC^O,'x+s/3y=0,

由i叱麗，得［萬?。尸=0,所以.

x+tz=O,

取x=5,y=T,z=一6,所以〃=(瘋,

因?yàn)槠矫媸?C,所以平面尸/C的一個(gè)法向量為々=a°，°)

平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為5,

lx"_岳

=,

1,所以~T

所以I5

所以5〃=4/+3,所以『=3,因?yàn)?0,所以"0,所以"6.

所以線段OP的長為百.

選擇條件②:

因?yàn)槭?,NC,在菱形/BCD中，BDLAC,

因?yàn)?。u平面PBD,PBu平面PBD,PBCBD=B,

所以NCL平面P8D,

因?yàn)镻Ou平面P2。，所以/C_LP。，因?yàn)槭?/p>

所以°民℃,°尸兩兩垂直，

以0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系°-工尸，

因?yàn)榱庑蔚倪呴L為2,乙8/。=60°

所以3。=2,比？=26，

所以C(0,百,0),￡>(-1,0,0),設(shè)P(0,0,t)(/>0),

所以詼=(1,百,0),麗=(1,0,。，

設(shè)"=。，gZ)為平面PCD的一個(gè)法向量，

?-LDC,n-DC=0,卜+島=0,

由［近赤，得［亢?麗=0,所以1x+tz=0,

取苫=4^>t,y=-t,z=-V3,所以“=(A/3Z,-?,->/3),

因?yàn)?°/平面尸NC,所以平面尸NC的一個(gè)法向量為4=(I，。，。)，

V15

平面PAC與平面PCD的夾角的余弦值為5,

,__后_________"_________|=史

所以gs<〃,白>卜可，所以J(百，)2+(-廳+(-6)葭1|5，

所以5r=4〃+3,所以『=3,因?yàn)閒>0,所以f>0,所以t=

所以線段OP的長為

19.⑴x+y-2=0；⑵(x-2)~+(/-4)2=20.

【分析】(1)由題可求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求直線方程即可；

(2)設(shè)出圓心坐標(biāo)，求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得半徑，得

出圓的方程.

【詳解】(1)由題意知：直線/過點(diǎn)/(I/)，且斜率為-1,

故直線/的方程為x+P-2=°

(2)根據(jù)題意設(shè)：C2的圓心”坐標(biāo)為C，2/)C?0)

.「卜+2-2||3-2|

圓°?的半徑〃=6乙圓心到直線/的距離為"T了1V2

戶=dM;也瓜）

解得：'=T4（舍）或"2.

圓G的半徑廠=2石圓心河（2,4）

圓g的方程為G-2）2+（y-4”20.

X22,

——+y=1

20.（1）4；

工上行V3

（2）22或2

【分析】（1）直接由頂點(diǎn)和離心率求出橢圓方程即可；

（2）設(shè)。（-4,7）,由右。=心。表示出直線/的斜率，進(jìn)而寫出直線’的方程，聯(lián)立橢圓求出弦

長忸Q,由忸。=以力求出f,即可求得直線/的方程.

2

a=2—=——+y=1

【詳解】（1）由題意知：%2,貝故橢圓"的方程為4-；

（2）

k=_L=ko,--

設(shè)D(-4,/),3(XQ)C(X2，%),又/(-2,0),故328。,又直線/經(jīng)過點(diǎn)I2J,故

tV3

y=——x-\-----

/的方程為22,

聯(lián)立橢圓方程14」可得(1+/”_2&_1=0,顯然A>0,

J（4+7）+,2+i）

1+?

J（4+Z2）（4/2+l）.——-

又|/。|=而，由忸cR/必，可得W=5+〃

解得/=±0或f=0,

土文+",V3

V

故直線/的方程為22或,

21.(1)X-Y={1,2},Y-X={5},|(X-Y)U(YUX)|=3；(2)①見解析；②"+L

【分析】(1)直接根據(jù)定義求解即可；

(2)①分若AUB中含有一個(gè)不在S中的元素和/=且BUS,兩種情況討論即可，當(dāng)

且3=S時(shí)，可通過lec得證；

②結(jié)合①知K"一S