2024高考數(shù)學(xué)常考題型 抽象函數(shù)7種導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造（解析版）

第8講抽象函數(shù)7種導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造

【題型目錄】

題型一：具體函數(shù)抽象化解不等式

題型二：構(gòu)造幕函數(shù)型解不等式

題型三：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型解不等式

題型四：構(gòu)造對數(shù)函數(shù)型解不等式

題型五：構(gòu)造三角函數(shù)型解不等式

題型六：構(gòu)造/'(x)+左型函數(shù)解不等式

題型七：復(fù)雜型：二次構(gòu)造

【典例例題】

題型一：具體函數(shù)抽象化解不等式

【例1】(2022?廣東?南海中學(xué)高二階段練習(xí))已知〃尤)=2|x|+cosx,xeR,若。一/(I一2。之0成立,

則實數(shù)，的取值范圍是()

A.［o,|JB.0,1C.(田,。)口］：,+8)D.(-w,0)^0,.|

【答案】B

【解析】

【分析】

由奇偶性的定義得出函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知函數(shù)y=在區(qū)間［。,+“)上為增函數(shù)，由偶函

數(shù)的性質(zhì)將不等式-絢"變形為川1-山”("細，利用單調(diào)性得出|1-/|>|1-2?|,從而可

解出實數(shù)/的取值范圍.

【詳解】

解：函數(shù)y=/(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱，

Qf(-x)=2|-^|+cos(-x)=2|x|+cosx=/(^),函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù)，

當時，/(x)=2x+cosx,/z(x)=2-sinx>0,

則函數(shù)y=/(x)在［。,+8)上為增函數(shù)，

由-2/)20得〃

由偶函數(shù)的性質(zhì)得川1—|絲川1-24,

由于函數(shù)y=/(x)在[。,+8)上為增函數(shù)，貝|]|1一|2—2小即(17)2"1-2/)2,

整理得3產(chǎn)-2%40,解得0(^：,因此，實數(shù)方的取值范圍是0,-.

故選：B.

【題型專練】

1.(2022?貴州遵義?高二期末(理))已知函數(shù)〃到=111龍-己，設(shè)。=〃1。832),6=〃1。8().20.5),c=/(ln4),

則a,b,。的大小為()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【答案】A

【解析】

【分析】

利用函數(shù)解析式求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)大于零恒成立，故確定函數(shù)單調(diào)性，比較自變量大小確定函數(shù)值a,b,

的大小即可.

【詳解】

解：因為〃x)=lnx-p則xe(0,+s),所以

r(x)

又xe(0,+co)時，efl,(xd，所以/'(x)>0恒成立

所以〃x)=ln尤在xe(°，E)上單調(diào)遞增；

又0<log32<l,log020.5=log1-=log52<log32,ln4>1

52

所以如4>log32>k>go2：0.5,則C>a>b.

故選：A.

2.(2022?上海?復(fù)旦附中高二期末)設(shè)〃x)=2x+sinx,f(2022x+1)+/(1-2021^)>0,則x的取值范

圍是■

【答案】x>-2

【解析】

【分析】

奇偶性定義判斷了(無)奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究人尤)的單調(diào)性，再應(yīng)用奇偶、單調(diào)性求尤的范圍.

【詳解】

由/(-犬)=-2%-$M工=-(2X+$111%)=-7'(%)且工€1i,易知：/(X)為奇函數(shù)，

所以f(2Q22x+1)>/(202lx-1),

又/'(x)=2+cos無>0,故/⑺在xeR上遞增，

所以2022x+122021x—l,可得x2-2.

故答案為：x>-2

題型二：構(gòu)造基函數(shù)型解不等式

【例1】(2022?黑龍江?哈師大附中高二期末)己知定義在(0,+oo)上的函數(shù)〃尤)滿足才⑺-〃力<0,

其中尸⑺是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若2022)>(加-2022)/(1),則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(0,2022)B.(2022,+oo)C.(2023,+oo)D.(2022,2023)

【答案】D

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x),使得g(x)="'(x)；〃x)<0,然后根據(jù)函數(shù)g(x)的單調(diào)性解不等式即可.

X

【詳解】

由題設(shè)g(x)=這ng'(x)=4’(x)；<o,所以g(x)在(o,+8)上單調(diào)遞減，又

XX

f(m-2022)>(m-2022)/⑴n藍?>平'即8(m~2022)>g⑴n機一2022<l^m<2023,又

函數(shù)〃x)的定義域為(。,+巧，所以〃z—2022>0=w>2022,綜上可得：2022<m<2023.

故選：D.

【例2】(2022.四川雅安.高二期末(理))設(shè)奇函數(shù)/⑺("0)的導(dǎo)函數(shù)是尸(%),且/(-2)=0,當%>0時，

^(%)-2/(%)<0,則不等式f(x)<0的解集為.

【答案】(一2,0)(2,收)

【解析】

【分析】

設(shè)g(x)=整，利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)在(0,+⑹為單調(diào)遞減函數(shù)，進而得到函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，且g(x)在

(-8,0)為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】

,幾/\"X)r，曰，/\(X)-2F(X)

設(shè)g(x)=uj,可得g[x)=———3,

XX

因為當x>0時，xf'(x)-2f(x)<0,可得g'(x)<0,

所以g(x)在(0,+s)為單調(diào)遞減函數(shù),

又因為函數(shù)/(“為奇函數(shù)，且〃-2)=0,可得"2)=0,

則滿足8(一外=資=一坐

=-g(x),所以函數(shù)g(尤)也為奇函數(shù),

所以g(x)在(-8,0)為單調(diào)遞減函數(shù)，且g(—2)=g(2)=o,

當x>0時，由f(x)<0,即g(x)<0,即g(x)<g(2),可得尤>2；

當x<0時，由/(x)<0,即g(尤)<0,即g(x)<g(—2),可得-2<x<0；

所以不等式/(力<。的解集為(-2,0>(2,”).

故答案為：(-2,0)(2,y).

【例3】(2022.河南信陽.高二期中(理))已知定義域為R的函數(shù)“X)滿足〃力+礦(力>1(尸⑺為函數(shù)

的導(dǎo)函數(shù))，則不等式(1+村/(1-爐)>〃1一力+》的解集為()

A.(0,+co)B.(0,1]C.(-oo,l]D.(-oo,0)u[l,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=4(x)-x,由題意可知g(x)在R上單調(diào)遞增，再對尤分情況討論，利用函數(shù)g(x)的單調(diào)性

即可求出不等式的解集.

【詳解】

由(1+尤)/(1-x2)>f(l-x)+X,

(1)當XV]時,可得(1一尤)(1+尤)/(1一無2)>(lrx))(l—x)+(l-x)x,

即(l-x2)/(l-%2)>(1-%)/(1-%)+%-x2,

即(1—尤2)/(1—尤~)—(1—Y)>(1—X)于(1—X)—(1—X),

構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf{x}-x,g\x)=f(尤)+xf\x)-l>0,

所以函數(shù)g(無)單調(diào)遞增，

貝打一天2>1—尤，止匕時0<x<l,即0<x<l滿足；

(2)當x>l_時,可得(1—x~)/(l—x?)—(1—x?)<(1—尤)/(1—尤)—(1—x),

由函數(shù)g(x)遞增,則止匕時x<0或x>l,即x>l滿足；

(3)當x=l時，2/(0)>/(0)+1,即3(0)>1滿足y(x)+x"'(無)>1.

綜上，尤e(0,+oo).

故選：A.

【例4】已知定義在R上的奇函數(shù)/⑺，其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),當xNO時，恒有§/(力+/(尤)>0.則不等式

只/■(均-(1+2為3/(1+2外<0的解集為().

A.{x|-3<x<-l}B.{x|-l<x<-g}

C.{x[x<-3或x>-l}D.{x|x<T或x>-g}

【答案】D

【解析】

先通過;/'(x)+/(x)>o得到原函數(shù)g(x)=%區(qū)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到y(tǒng)軸距離求解不等式即

可.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=E等，

貝小，3=苫2/(小爭0=《打(切+小)]

由題可知:八x)+/(x)>0,所以g(x)=E誓在X20時為增函數(shù)；

由/為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以g(x)=="為偶函數(shù)；

又x3/(x)-(l+2x)3/(I+2%)<0,即x3f(x)<(1+2x)3/(I+2%)

即g(x)<g(l+2x)

又g(x)為開口向上的偶函數(shù)

所以|x|<|l+2x|,解得x<-l或

故選：D

【點睛】

此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識點，屬于較難題目.

【例5】函數(shù)〃尤)是定義在區(qū)間(0,+句上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，且滿足步(力+2〃力>0,則

不等式5+2020)?x+202())<3/^)的解集為

A.{x|x>-2017}B.{x|x<-2017}

C.{x|-2020cx<0}D.{^|-2020<x<-2017)

【答案】D

【解析】

設(shè)函數(shù)g(x)=d/(x),(x>0),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算和題設(shè)條件，求得函數(shù)g(x)在(0,+。)上為增函數(shù)，把不等

式轉(zhuǎn)化為(x+2020)27(尤+2020)<32/(3),即g(x+2020)<g(3),利用單調(diào)性，即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)函數(shù)g(x)=x2/(x)(x>0),

則g'(x)=(x2/-/(x)+x2-f'(X)=x2f'(x)+2xf(x),

因為〃x)是定義在區(qū)間(0,+e)上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足礦(力+2/(力>0,

所以g'(x)>0,所以函數(shù)g(。在(0,+8)上為增函數(shù),

又由。+2。2。)小+2。2。)<以"，叫X+2020)2f(x+2020)<3?/(3),

3x+2020

即g(x+2020)<g(3),所以0<尤+2020<3,解得一2020<x<—2017,

即不等式的解集為{%1-2020<x<-2017}.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系及應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造新函數(shù)

g(x)=x2/(xXx>0)是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計算能力.

【題型專練】

1.(2021.新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)(理))定義在R上的偶函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),

且當x>0時，靖(x)+2/(x)<0.則()

A.迪〉中B.9/(3)>/(1)C,迪<勺1D,迫>勺1

4e2V7V79e29e2

【答案】D

【解析】

【分析】

由題構(gòu)造函數(shù)g(x)=f/(x),利用導(dǎo)函數(shù)可得函數(shù)g(X)=x2〃X)在(0,+8)上為減函數(shù)，且為偶函數(shù)，再

利用函數(shù)的單調(diào)性即得.

【詳解】

設(shè)g(x)=x2/(x),則g\x)=2xf{x}+x2f(x)=x[2f(x)+(-^)]，

又當無>0時，礦(x)+2〃x)<0,

:.g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x\2f{x)+xf'(x\\<0,

則函數(shù)g(x)=x2/(x)在(0，+oo)上為減函數(shù)，

是定義在R上的偶函數(shù)，

g(-X)=(-x)2f(-x)=x"(x)=g(x),

即g(x)為偶函數(shù)，

所以g(e)<g(2),即￡回〈工學(xué)，故A錯誤；

4e

g⑶<g⑴，即9〃3)<〃1),故B錯誤；

g(e)>g(3),即坐>要

9e

因為/■(》)為偶函數(shù)，所以/(—3)=/(3),

所以坐1>工1，故C錯誤，D正確.

9e2

故選：D.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g(x)=f〃x),結(jié)合條件可判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，即得.

2.(2022?黑龍江.哈爾濱市阿城區(qū)第一中學(xué)校高二期末)已知是定義在(-x,0)U(0,+w)上的奇函數(shù)，

當x>。時，“￡)+靖(耳>0且/(2)=；,則不等式的解集是.

【答案】(一2,0).(2,y)

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=#(x)并得出函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系得出函數(shù)g(x)的

單調(diào)性進而可以即可求解.

【詳解】

設(shè)g(x)=w(x),則g〈x)=/(x)+礦(X)

因為“X)是定義在(-力,o)u(o,y)上的奇函數(shù)，

所以g(-%)=-xf(T)=獷(x)=g(x),

所以g(x)是(T,0)U(0,M)上的偶函數(shù)，

當x>0時，g,(x)=/(x)+#,(x)>0,所以g(x)在(0,田)上單調(diào)遞增,

所以g(x)在(—,0)上單調(diào)遞減.因為“2)=：,所以g⑵=2〃2)=2xg=l,

所以g(—2)=g(2)=l.

對于不等式

X

當x>0時，#(尤)>1,即g(x)>g(2),解得尤>2；

當x<0時，獷(x)<l,即g(x)<g(-2),解得一2<x<0,

所以不等式的解集是(-2,0)(2,”).

故答案為：(-2,0)(2,+(?)

【點睛】

解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，進而討論新函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解不等式的解集.

3.設(shè)函數(shù)〃尤)是定義在(一j0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/且有2〃力+3白)>/則不等式

(x+2019)2〃》+2019)-4〃-2)<0的解集為()

A.(-2019,-2017)B.(-2021,-2019)

C.(-2019,-2018)D.(-2020,-2019)

【答案】B

【解析】

【分析】

令戶(x)=V/(x),確定尸(X)在(F,0)上是減函數(shù)，不等式等價為產(chǎn)(X+2019)-/(-2)<0,根據(jù)單調(diào)性解

得答案.

【詳解】

2/(x)+xf'(x)>x2,(x<0),得2^(^)+X2/'(X)<X3,

即[尤2〃尤)],<無3<0,令戶(%)=*2"彳)，

則當x<0時，得F(x)<0,即爪尤)在(-8,0)上是減函數(shù)，

F(x+2019)=(x+2019)2/(x+2019),F(-2)=4/(-2),

即不等式等價為F(x+2019)-F(-2)<0,

Q/(力在(一8,0)是減函數(shù)，...由尸(x+2019)<F(-2)得x+2019>-2,

即x>-2021,又x+2019<0,解得x<—2019,2021<%<-2019.

故選:：B.

【點睛】

本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)戶(x)=V/(x),確定其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

4.已知/(無)是定義在(3,0)(0,y)上的奇函數(shù)，且x>0時，/(耳+邛1<0,又/(1)=0,貝U/(x)>0

的解集為()

A.(-l,O)u(O,l)B.(-oo,-l)u(l,+w)

c.S-1)(0,1)D.(-l,0)u(l,+?)

【答案】c

【解析】

【分析】

令g(x)=Y/(x),貝|g'(尤)=x[#'(x)+2f(x)],由題設(shè)易知尤>0上獷'(x)+2f(x)<0,且g(x)在

(F,0)(0,包)上是奇函數(shù)，即g(x)在x>。、x<0都單調(diào)遞減，同時可知g(D=g(T)=。，利用單調(diào)性求

g(x)>0的解集,即為/(x)>0的解集.

【詳解】

令g(x)=X2f(x),則g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=W(x)+2/(%)],

由x>0時，/'(x)+也?<0知：xf'(x)+2f(x)<0,

...在x>0上，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，又(F,0)(0,內(nèi))上/(x)為奇函數(shù)，

:.g(T)=(-X)2f(~X)=-X2f(X)=-g(X),故g(X)也是奇函數(shù),

.??g(x)在x<0上單調(diào)遞減，又/⑴=0,即有g(shù)6=g(-l)=0,

/(x)>0的解集，即g(x)>0的解集為(F,-A1(0,1).

故選：C

5.設(shè)函數(shù)廣⑺是奇函數(shù)〃x)(xeR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-1)=0,當x>0時，一寸⑺―/(x)<。，則使得/(x)<0

成立的x的取值范圍是()

A.(^,-l)u(O,l)B.

C.(-?,-l)U(-l,0)D.(o,i)u(i，H

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)尸(x)=W，求其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出廠(“單調(diào)性，再結(jié)合尸(X)的奇偶性，得出尸(X)的函數(shù)值的符號

情況，從而得出答案.

【詳解】

設(shè)廠（耳=乎，則正（》）=礦（”一”,

*.*當兀>0時，與廣（無）一/（%）<0，

當x>0時，F(xiàn)（x）<0,即/（％）在（0,+功上單調(diào)遞減.

由于“X）是奇函數(shù)，所以*_尤）=上0=/^=尸（外,尸（X）是偶函數(shù)，所以尸（X）在（-8,0）上單調(diào)遞增.

—XX

又/（1）=〃T）=。，所以當x<T或無>1時，月（町=?<0；

當T<x<0或0cx<1時，F(xiàn)（x）=^^>0.

所以當-l<x<0或無>1時，/（x）<0.

故選：B.

題型三：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型解不等式

【例1】（2022?四川省資陽中學(xué)高二期末（理））已知定義域為R的函數(shù)/（X）的導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,且滿足

/⑺>/⑺J（4）=1,則不等式/（/）>e工?的解集為.

【答案】（-2,2）

【解析】

【分析】

令g（x）=/J2,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，則原不等式等價于g（f）>g（4）,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函

數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；

【詳解】

解:令g（尤）=§,xeR,則g，⑺J⑺丁⑺,因為f（x）>>f（x）,即-⑺-〃力<0,

所以g'（x）<0,即g（x）在R上單調(diào)遞減，又/⑷=1,所以g（4）=4Let

所以不等式/（巧>產(chǎn)4,即/（：：）>e"即g（d）>g⑷,

即/<4,解得—2<x<2,所以原不等式的解集為（-2,2）.

故答案為：（-2,2）

【例2】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若對任意的xeR,都有/(">/'(x)+2,

且〃1)=2022,則不等式/⑴-2020ei<2的解集為()

A.(0,+ao)B.C.D.(-?U)

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)函數(shù)g(x)="?-2,根據(jù)題意可判斷且⑴在R上單調(diào)遞減，再求出g⑴=3竺，不等式

ee

/(x)-2020e^<2整理得上土2<3竺，所以g(“<g⑴，利用g(x)單調(diào)性解抽象不等式即可.

ee

【詳解】

設(shè)函數(shù)g(x)=f2,

所以短(x)="""[吉卜2]xe*=/⑺-坐+2,因為>/(耳+2,

eex

所以尸(x)-/(x)+2<。,即g'(x)<0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減，因為/⑴=2022,

所以g⑴J⑴-2=出,因為〃x)_2020exT<2,整理得〃司-2〈迎￡,

eeexe

所以g(x)<g(l)，因為g(無)在R上單調(diào)遞減，所以x>l.

故選：C.

【點睛】

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看

似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能

起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，

這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多

問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

【例3】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(尤)的導(dǎo)函數(shù)為/'W,滿足((無)</(%)且

/(x+3)為偶函數(shù)，/(x+1)為奇函數(shù)，若〃9)+〃8)=1,則不等式/(x)<ex的解集為()

A.(-3,+oo)B.(1,+℃)C.(0,+oo)D.(6,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】

先證明出“X)為周期為8的周期函數(shù)，把/(9)+〃8)=1轉(zhuǎn)化為/(0)=1.記g(尤)=半1,利用導(dǎo)數(shù)判斷出

g(x)在R上單調(diào)遞減，把原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)<g(O),即可求解.

【詳解】

因為/(x+3)為偶函數(shù)，/(尤+1)為奇函數(shù)，

所以〃x+3)=〃f+3),/(x+l)+/(-x+l)=O.

所以=x+6),f(x)+f(-尤+2)=0,所以/(-x+6)+/'(-x+2)=0.

令f=-x+2,則F0+4)+f(f)=0.

令上式中f取f-4,則」(—)—0,所以加+4)=%-4).

令f取什4,則/⑺=/。+8),所以f(x)=/(x+8).

所以/'(X)為周期為8的周期函數(shù).

因為/(元+1)為奇函數(shù)，所以/(x+l)+f(-x+l)=。，

令x=0,得：/(1)+/(1)=0,所以/⑴=0,所以/(9)+/(8)=1,即為"1)+/(0)=1,所以/(0)=1.

記g(x)=/F，所以

因為尸(x)</(x),所以g<x)<0,所以g(x)=#l在R上單調(diào)遞減.

不等式可化為綽<1,即為g(x)<g(。).

e

所以x>0.

故選：C

【點睛】

解不等式的常見類型：

⑴一元二次不等式用因式分解法或圖像法；

(2)指對數(shù)型不等式化為同底的結(jié)構(gòu)，利用單調(diào)性解不等式；

⑶解抽象函數(shù)型不等式利用函數(shù)的單調(diào)性.

【例4】(2022?山西省長治市第二中學(xué)校高二期末)已知可導(dǎo)函數(shù)/(無)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),f(0)=2022,

若對任意的xeR,都有〃x)</'(x),則不等式/(x)<2022e'的解集為()

A.(O,+e)B.C.D.(f0)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g(x)=//,求導(dǎo)可知g(x)在xeR上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性求解即可.

【詳解】

令g(x)=，(：),對任意的xeR,

者B有/(x)<廣⑺J'(x了⑺>0,，g(x)在xeR上單調(diào)遞增,

又“0)=2022,g(0)=2022,.-./(x)<2022exog(x)<g(0),

尤<0,...不等式/(x)<20223的解集(7,0),

故選：D.

【例5】(2022.重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí))已知奇函數(shù)“X)的定義域為R，當x>0討，2〃x)+/'(x)>0,

且"2)=0,則不等式/(x)>0的解集為.

【答案】(一2,0)。(2,內(nèi))

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(尤)=e2"(x),利用導(dǎo)函數(shù)判斷出當x>0時，g(x)單調(diào)遞增,得到當x>2時g(x)>0,從而/(%)>0；

當0<x<2時，g(無)<0,從而/(力<0.由“X)為奇函數(shù)得到不等式/(力>0的解集.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=e2)(x),則當x>0時，g,(x)=e2j[2f(x)+f,(x)]>0,所以當x>0時g(x)單調(diào)遞增.

因為12)=0,所以g(2)=e"(2)=0,所以當x>2時g(x)>0,從而/(x)>0.

當0<x<2時，g(尤)<0,從而y(x)<0.

又奇函數(shù)〃尤)的圖像關(guān)于原點中心對稱，所以〃力>0的解集為(-2,0)52,內(nèi)).

故答案為：(-2,0)。(2,y).

【題型專練】

1.(2022?陜西榆根三模(理))己知“X)是定義在R上的函數(shù)，/(X)是/⑺的導(dǎo)函數(shù)，且/(X)+尤)>1，

"1)=2,則下列結(jié)論一定成立的是()

A./⑵＜今C.〃2)＞匕上D.”2)＞一

B./(2)＜—

eee

【答案】D

【解析】

【分析】

構(gòu)造g(x)=e"(x)-e，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得g(2)>g(l),進而可得答案.

【詳解】

令g(x)=e，y(x)-寸，則g，(x)=e[〃x)+—(x)-l]>0,則g(x)是增函數(shù)，

1_i_p

故g(2)>g⑴，BPe7(2)-e2>ef(l)-e=e,可得〃2)>二.

故選：D

2.(2022.江西?萍鄉(xiāng)市上栗中學(xué)高二階段練習(xí)(理))定義在R上的函數(shù)Ax)滿足了⑺-((尤)+1<0(e為

自然對數(shù)的底數(shù))，其中/'(x)為Ax)的導(dǎo)函數(shù)，若/(3)=3e3,貝U/(x)>xe'的解集為()

A.(-00,2)B.(2,+oo)

C.(-℃,3)D.(3,-H?)

【答案】D

【解析】

【分析】

構(gòu)造新函數(shù)，并利用函數(shù)單調(diào)性把抽象不等式/(x)>xe，轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.

【詳解】

設(shè)g(x)=華一x,貝|g(3)=等一3=0,所以/(x)>無e，等價于g(x)>0=g(3),

ee

由/W-/\x)+ex<0,可得/'(%)—/(%)>e">。

e

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，所以由g(%)>g(3),得了>3.

故選：D

3.(2022.安徽省蚌埠第三中學(xué)高二開學(xué)考試)已知可導(dǎo)函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)為((X),若對任意的xeR,都

有/'(%)-”力<1，且/(0)=2021,則不等式/(x)+l>2022e*的解集為()

A.(-oo,0)B.(0,+ao)

C.1一0°，|]D.(一8,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)I(x)=)(7+1,通過導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)尸(力=駕登，則/(x)=+1]?=r(x)J(x)T,因為/(力_/(力<1,所

eee

以F'(x)<。恒成立，故*x)=〃x)+l單調(diào)遞減，/⑺+1>2022er變形為皿±1>2022，又/⑼=2021,

exex

所以*0)=*±1=2022,所以/(x)>尸(0),解得：x<0,故答案為：(一40).

e

故選：A

4.若在R上可導(dǎo)且"0)=0,其導(dǎo)函數(shù)尸⑺滿足/(x)+》(x)<0,則〃x)<0的解集是

【答案】(0,+力)

【解析】

【分析】

由題意構(gòu)造函數(shù)gG)=e"(x),利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)單調(diào)遞減，利用單調(diào)性解不等式.

【詳解】

設(shè)g⑺=e"(x),則/(x)=e"(元)+e了(%)=ex(/(x)+f(尤))，

因為y(x)+/'(x)<0,所以g'(x)<。在R上恒成立，所以g(x)單調(diào)遞減,

又"0)=0得g(0)=0,由〃“<0等價于g⑺<0,

所以尤>0,即〃x)<o的解集是(。,+8).

故答案為：(0,+e)

5.若定義在R上的函數(shù)“X)滿足/(x)+f'(x)>l,/(0)=4,則不等式/⑺>j+l(e為自然對數(shù)的底數(shù))

的解集為()

A.(0,+8)B.(-8,0)。(3,+00)

C.(-oo,0)_J(0,+<?)D.(3,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

把不等式“X)>三+1化為e"(x)>3+e，,構(gòu)造函數(shù)令F(x)=e"(x)-e，-3,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)尸⑺的

單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.

【詳解】

由題意，不等式/(龍)>j+1,即e"(x)>3+/,

令尸(x)=e"⑺-"一3,可得9(x)=e"⑺+e"，(x)-e，=⑺+/(x)—1],

因為“x)+r(x)>l且e，>0,可知尸'(x)>0,所以尸(x)在R上單調(diào)遞增，

又因為網(wǎng)OLeVeAeO—SreAdnO,

所以/(x)>0的解集為(0,+8).

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的四則運算的逆用，其中解答中結(jié)合題意

構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查構(gòu)造思想，以及推理與運算能力.

題型四：構(gòu)造對數(shù)函數(shù)型解不等式

【例1】(2022.江西?贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)(文))定義在(0,+s)的函數(shù)尤)滿足#'(力-1<0,

/(1)=0,則不等式的解集為()

A.(—co,0)B.(—co,1)

C.(0,+oo)D.(1,+00)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題干條件構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-Inx,%>0,得到其單調(diào)遞減，從而求解不等式.

【詳解】

設(shè)尸(x)=/(x)-lnx,x>0

則F(x)=r(x)-l=V，^~1<0,

所以產(chǎn)(x)=/(x)-lnx在(o,+e)上單調(diào)遞減，

因為/。)=0,所以/。)=/。)一山1=0,

且尸(e')=/(e3_x,

所以由/(e')_x<0得：F(e^)<F(l)

結(jié)合單調(diào)性可得：e，>l,解得：x>0,

故選：C

【例2】已知函數(shù)〃x)的定義域為R,圖象關(guān)于原點對稱，其導(dǎo)函數(shù)為尸(x),若當x>0時

/(x)+xlnx-r(x)<0,則不等式小?/(力>4/(x)的解集為.

【答案】(9,一1)口(0,1)

【解析】

【分析】

依據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性把抽象不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式去求解即可.

【詳解】

當x>0時，/(x)+jclnx-yr(x)<0<=>^^+lnx-yf(x)<0<=>[inx-/(A:)]<0,

故函數(shù)g(x)=lnx-/(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減，易知g⑴=。，

故當xe(O,l)時，g(x)>0,/(x)<0,

當xe(l,y)時，g(x)<0,f(x)<0；

而小"(x)>4/(x)o/(x)?[44]>0,

而Mx)=/(x){4國-可為奇函數(shù),

則當尤>0時，當/(尤)[4國一4]>0的解為

故當xeR時，/(尤){4禺一4]>0的解為x<-l或0<x<l,

故不等式4M,〃x)>4〃x)的解集為(f-I)"。』).

故答案為：(3,-1)。(0,1)

【例3】已知是定義在(-*0)」(0,內(nèi))上的奇函數(shù)，/'(X)是/⑺的導(dǎo)函數(shù)，/⑴4,且滿足：

((無)]nx+△2<0,則不等式(尤-l)"(x)<0的解集為()

X

A.(1,+℃)B.(-°o,-l)ij(0,l)C.(-oo,l)D.(-<?,0)u(l,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)給定含導(dǎo)數(shù)的不等式構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)lnx,由此探求出/(x)在(0,+8)上恒負，在(-叫0)上恒正，再

解給定不等式即可.

【詳解】

令g(x)=f(x)lnx,x>0,貝!|g'(無)=/'(x)lnx+^H<0,g(x)在(0,+<?)上單調(diào)遞減，而g⑴=0,

尤

因此,由g(x)>0得0<彳<1,而In尤<0,則/W<0,由g(x)v。得,而lnx>0,貝！]/(尤)<0,又/(D<0,

于是得在(0,+8)上，/?<0,而/(x)是(f,0))(0,+◎上的奇函數(shù)，則在(-8,0)上，/(%)>0,

%-1>0Jx—1<0\X>1\X<1

由(x-l)"(x)<0得:/(X)<0或If(%)>0即x>?；騲<?！獾谩?lt;?；騒>1，

所以不等式(X-1)?/(X)<0的解集為(-8,0)51,+◎.

故選：D

【題型專練】

1.(2022?陜西漢中?高二期末(文))定義在(0,+刈上的函數(shù)滿足/''(x)+：>0,〃2)=ln；,則不等式

f(ex)+x>0的解集為.

【答案】(In2,y)

【解析】

【分析】

令g(x)=〃x)+lnx(x>0),根據(jù)題意得到函數(shù)g(x)在(0,+8)上為單調(diào)遞增，把不等式〃e，)+x>0,可得

g(e')>g(2),結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)滿足尸(x)+，>0,"2)=111］,

令g(x)=/(x)+lnx(x>。)，可得g'(x)=/'(x)+B>。

所以函數(shù)g(x)在(。,+◎上為單調(diào)遞增，且g⑵=〃2)+ln2=0,

又由不等式/(e,)+x>。，可得g(e，)>g(2),所以e*>2,解得x>ln2,

即不等式/(e，)+x>0的解集為(In2,y).

故答案為：(In2,+8).

2.(2022?河北?石家莊二中高二期末)已知定義域為R的函數(shù)/(x)滿足〃l+x)+/(l-x)=4,且當x>l時

/(%)>0,則不等式［〃尤)一2強(彳-1)>0的解集為()

A.(2,+oo)B.(1,+s)C.(1,2)D.(2,e2)

【答案】A

【解析】

【分析】

In(x-l)>0

由條件得出了(X)關(guān)于(1,2)成中心對稱，進一步得出函數(shù)的單調(diào)性，然后再根據(jù)題意可得或

〃x)>2

In(x-l)<0

,從而可得出答案.

/(x)<2

【詳解】

由〃l+x)+〃l-x)=4得〃尤)關(guān)于(1,2)成中心對稱.

令x=0,可得/■⑴=2

當x>l時廣(司2。，則/(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增.

由關(guān)于(1，2)成中心對稱且，⑴=2,故〃尤)在R上單調(diào)遞增

In(x-l)<0

i[/(x)-2]ln(^-l)>0,則或

〃x)<2

x>2[l<x<2

解得《,，或<,，故x>2

[x>l[X<1

故選：A

3.(多選)已知函數(shù)/■(”的定義域是(O,+e),其導(dǎo)函數(shù)是尸(x),且滿足Inx"'⑺+J"(x)>0,則下列

說法正確的是()

A.B.C./(e)>0D./(e)<0

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，構(gòu)造g(x)=/(x)Jnx,由題意，得到g(x)單調(diào)遞增，進而利用g(x)的單調(diào)性，得到g⑴〉g(3,

e

再整理即可求解

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x)Jnx,可得g<x)=ln無"'(無)+：/(切>0,g(x)單調(diào)遞增，又因為

g(e)=/(e).lne=f(e),g(-)=/(-)-In---/(-),g(l)=/(l)/nl=O,且?.e>1>-,/.g(e)>g(l)>g(-),

eeeeee

得了(e)>0,0>g(-)=-/(-),整理得“3>。，AC正確；

eee

故選：AC

題型五：構(gòu)造三角函數(shù)型解不等式

【例1】已知偶函數(shù)/(尤)的定義域為1宗年，其導(dǎo)函數(shù)為/'(尤)，當0<x/時，有了'(x)cosx+/(x)sinx<0

成立，則關(guān)于x的不等式/。)<?cosX的解集為(

B.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意，設(shè)g（x）=/@,利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）在0,g上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，再把不等式

cosxI2/

/（x）〈扃Qcosx,轉(zhuǎn)化為g（x）<gQ,結(jié)合單調(diào)性，即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)且⑺二.，則g，（x）J⑶c°sx/（x）sinx,

cosXcosX

當0<%后時，因為r（%）cosx+/（%）sin%<0,則有g(shù)r（x）<0,

所以g（x）在卜9上單調(diào)遞減，

又因為/（尤）在上是偶函數(shù)，可得8（-》）=上3=/也=8（尤），

I22Jcos（—x）cosx

所以g（無）是偶函數(shù)，

由/（x）<6V（?。軨OSX,可得“）V也于（二），即"）<-,即g（%）<g（7）

<4Jcosx4cosx冗4

'/cos—

4

又由g（x）為偶函數(shù)，且在（o,3上為減函數(shù)，且定義域為（dj,則有|x|>2，

ATI/口兀幾_p.兀TC

解得一二<工<一:或:<%<彳，

2442

即不等式的解集為卜序。

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)的奇偶性和利用題設(shè)條件和

導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查構(gòu)造思想，以及推理與運算能

力，屬于中檔試題.

【例2】已知函數(shù)的定義域為［與《，其導(dǎo)函數(shù)是八x）.有（（尤）cosx+/（尤）sin無<0,則關(guān)于x的不

等式在/?。）<2/（小3了的解集為（）

【答案】B

【解析】

【分析】

令=根據(jù)題設(shè)條件，求得F(x)<0,得到函數(shù)F(x)=/H在［-彳,事內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，再

COSXCOSXI

把不等式化為工區(qū)

結(jié)合單調(diào)性和定義域,即可求解.

COSX

【詳解】

由題意，函數(shù)了(力滿足尸(x)cosx+/(x)sinx<0,

令打尤人/則尸⑺/‘⑴二二小所晨。

cosXcosX

函數(shù)/(x)="”是定義域『?內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù),

COS%、乙L)

由于cosx>0,關(guān)于尤的不等式后(X)<2/佟］cos無可化為ZH

16/cosx

LLt、17171LTCATI,口兀兀

即F（x）<F所以一二V九且X>~7，解得；7>X>7,

22626

不等式6了(x)<2/cosX的解集為

故選：B

【點睛】

方法點睛：構(gòu)造法求解/'(X)與f(x)共存問題的求解策略:

對于不給出具體函數(shù)的解析式，只給出函數(shù)/(尤)和尸(力滿足的條件，需要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造抽象函數(shù)，

再根據(jù)條件得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用單調(diào)性解決問題，常見類型：(1)/'(x)g(x)±〃x)g'(x)型；(2)

礦(x)+w(x)型;⑶4/(x)±/(x)(九為常數(shù))型.

【題型專練】

1.已知可導(dǎo)函數(shù)“X)是定義在，會燈上的奇函數(shù).當xe(o,￡|時，f(x)+r(x)