2024年高三數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練：圓錐曲線中定比點(diǎn)差法的應(yīng)用十一大題型（原卷版）

重難點(diǎn)專題41圓錐曲線中定比點(diǎn)差法的應(yīng)用十一大題型匯總

dnii

題型1定比點(diǎn)差法求坐標(biāo).............................................................1

題型2定比點(diǎn)差法求離心率...........................................................1

題型3定比點(diǎn)差法求直線（曲線）方程................................................3

題型4定比點(diǎn)差法求弦長(zhǎng).............................................................4

題型5定比點(diǎn)差法與定點(diǎn)問(wèn)題.........................................................6

題型6定比點(diǎn)差法求定值問(wèn)題.........................................................8

題型7定比點(diǎn)差法與定直線問(wèn)題......................................................10

題型8定比點(diǎn)差法與求值問(wèn)題........................................................13

題型9定比點(diǎn)差法求取值范圍問(wèn)題...................................................14

題型10定比點(diǎn)差法求；I問(wèn)題.........................................................15

題型11調(diào)和定比分點(diǎn)...............................................................16

lOKDII

題型1定比點(diǎn)差法求坐標(biāo)

歲型重點(diǎn)

定比點(diǎn)差在處理三點(diǎn)共線、相交弦、定點(diǎn)定值、比例問(wèn)題、調(diào)和點(diǎn)列等問(wèn)題均具有優(yōu)勢(shì)

【例題1]已知&,尸2分別是橢圓9+*=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)a,B在橢圓上，且瓦1=5員后,

則點(diǎn)2的坐標(biāo)是.

2

【變式1-1]1.（2018年高考浙江卷汜知點(diǎn)凡0,1）,橢圓亍+y2=m（m>1）上兩點(diǎn)4

6滿足萬(wàn)=2PB,則當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)6橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

2

【變式1-1]2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)&心分別為橢圓三+*=1的左、右焦點(diǎn)，

點(diǎn)A、B在橢圓上，若瓦5=3序,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

題型2定比點(diǎn)差法求離心率

定比分點(diǎn)

若麗=XPB,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)力，B的4定比分點(diǎn).若4>0,點(diǎn)P在線段4B上,此時(shí)稱點(diǎn)P為內(nèi)

分點(diǎn)；若4<0,點(diǎn)P在線段4B的延長(zhǎng)線上，此時(shí)稱點(diǎn)P為外分點(diǎn).

APBABP

①點(diǎn)在線段AB上（4=霽e（0,1））②點(diǎn)在線段4B的延長(zhǎng)線上（"魯e（-8,-I））

PAB

③點(diǎn)在線段2B的反向延長(zhǎng)線上（2=篝6（-1,0））

補(bǔ)充定義：當(dāng)4=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的定比分點(diǎn)可以認(rèn)為是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).

【例題2]已知橢圓E:2=l（a>b〉0）內(nèi)有一點(diǎn)M（2,l）,過(guò)M的兩條直線4、％分別

與橢圓E交于4,C和B,。兩點(diǎn)，且滿足前=XMC,BM=AMD（其中2>。且4力1）,若2變

化時(shí)直線4B的斜率總為-J則橢圓E的離心率為（）

A1BV5-icV2DV3

2222

【變式2-1]1.已知橢圓《+《=l（a〉6>0）,過(guò)其左焦點(diǎn)F且斜率為舊的直線與橢圓交

于a,B兩點(diǎn)，若力F=2FB,求橢圓的離心率.

【變式2-1]2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓馬+弓=l（a〉b〉0）,過(guò)橢圓的左

焦點(diǎn)F且斜率為8的直線I與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的上方），若有說(shuō)=2FB,

求橢圓的離心率.

【變式2-1]3.（2020下河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓廠，+5=

l（a>6>0）內(nèi)有一定點(diǎn)P（l,l）,過(guò)點(diǎn)P的兩條直線A,I分別與橢圓廠交于A、C和B、D

兩點(diǎn)，且滿足而=APC,BP=APD,若%變化時(shí)，直線CD的斜率總為-1則橢圓廠的離

4

心率為

A.更B.iC.-D.-

2225

【變式2-1]4.（2021上?全國(guó)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓9+《=l（a>6>0）,

點(diǎn)P（a,6）為橢圓外一點(diǎn)，斜率為-扣勺直線與橢圓交于4,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線P4,PB分別

交橢圓于C,。兩點(diǎn).當(dāng)直線C。的斜率為-罡寸，此橢圓的離心率為

題型3定比點(diǎn)差法求直線（曲線）方程

X"-警]f占

f.豐?、、、

線段定比分點(diǎn)向量公式及坐標(biāo)公式

已知而=XPB,設(shè)4（久】，％）,B（久2,y2）,則赤=吟磐，P（喑，暗）.

證明：證法一：設(shè)P（&，yo）,

???AP=APB,.-.OP-OA=A（OB-OP）,.-.OP=，,P,密）.

證法二:設(shè)POo,y0）1貝IMP=（x0-%i,y0-7i），入BP=2（x0-x2,y0-y2），

利用對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等即可推出P（臺(tái)等，號(hào)字）..-.OP=當(dāng)羿.

【例題3]已知橢圓C:捺+5=l（a>b〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為&,F2,焦距為2,過(guò)點(diǎn)心

作直線與橢圓C相交于a,B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為4魚.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若|4B|=4\F2A\,求直線48的方程.

【變式3-1]1.（2022?山東濟(jì)南?二模）已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為&（-1,0）和尸2（1，。），且

橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)G

⑴求橢圓C的方程；

⑵若T(l,l),橢圓C上四點(diǎn)M,N,P,Q滿足祈=3而，而=3喬，求直線例/V的斜

率.

【變式3-1]2.(2021?重慶統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓C:9+《=l(a>b〉0)的右焦點(diǎn)

為尸(1,0),點(diǎn)4,B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中4點(diǎn)在第一象限內(nèi)，射線曲,BF與

橢圓C的交點(diǎn)分別為M,N.

(1)若赤=FM,BF^2FN,求橢圓C的方程；

(2)若直線MN的斜率是直線A8的斜率的2倍，求橢圓C的方程.

題型4定比點(diǎn)差法求弦長(zhǎng)

【例題4】已知斜率為|的直線與拋物線外=3久的交于4,B兩點(diǎn)，與涮交于點(diǎn)P,若而=

3PB,求|4B|.

【變式4-1]1.(2022?上海徐匯?三模)已知橢圓M:g+g=l(a>b>0)焦距為2/，

過(guò)點(diǎn)(VI乎)，斜率為k的直線/與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4B.

(1)求橢圓M的方程；

(2)若k=1,|M|的最大值；

(3)設(shè)。(-2,0),直線P/與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為。.若

C、D和點(diǎn)Q(-：彳)共線，求實(shí)數(shù)k的值.

22—

【變式4-1】2.(2022?山西太原?三模)已知橢圓。++左=1(。>b>0)過(guò)點(diǎn)P(VX1),離

心率為e=

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(4,1)的動(dòng)直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)

N,滿足前=-AMS,AN=%而求線段PN長(zhǎng)的最小值.

22

【變式4-1】3.(2019浙江校聯(lián)考二模)過(guò)點(diǎn)P(l,l)的直線/與橢圓?+與=佼于點(diǎn)4和

B且而=2而點(diǎn)Q滿足而=-AQB若。為坐標(biāo)原點(diǎn)則|OQ|的最小值為.

【變式4-1]4.(2021上?浙江紹興?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓C：?+《=l(a>6>0)的

離心率e=且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1J)，點(diǎn)&尸2為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)6分別作兩條互相垂直的直線口"，且。與橢圓交于不同兩點(diǎn)4與直線久=1交

于點(diǎn)P.若甌=/高,且點(diǎn)Q滿足礪=2證，求△PQ6面積的最小值.

【變式4-1]5.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考二模)已知橢圓C：弓+^=l(a>b>0)的離心率為噂,

短軸長(zhǎng)為4;

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(-3,0)作兩條相互垂直的直線上4和6,直線。與C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)A,B,在線

段上取點(diǎn)Q,滿足黑=黑,直線％交y軸于點(diǎn)R,求仆PQR面積的最小值.

IQ/II產(chǎn)/I

【變式4-1]6.(2020下?廣東深圳?高三統(tǒng)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為直

線：x=-4上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足PQ110,且原點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上.記動(dòng)點(diǎn)Q的

軌跡為曲線C

(1)求曲線C的方程：

(2)過(guò)點(diǎn)E(2,0)的直線4與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)D(異于A,B)在C上，直％1D,

8。分別與X軸交于點(diǎn)M,N,且而=3AM,求4BMN面積的最小值

【變式4-1】7.(2020?河北唐山?統(tǒng)考二模)已知力(久1，%)，8(—巧,—%)是橢圓T.^+y2=1

上的兩點(diǎn)，且A點(diǎn)位于第一象限.過(guò)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C,點(diǎn)D滿足羽=2CD,

延長(zhǎng)8。交T于點(diǎn)E(%2,y2).

(1)設(shè)直線AB,8D的斜率分別為七，k2.

(i)求證：fci=4k2；

(ii)證明：△ABE是直角三角形；

(2)求AABE的面積的最大值.

題型5定比點(diǎn)差法與定點(diǎn)問(wèn)題

2

【例題5]已知過(guò)點(diǎn)P(6,0)的直線與橢圓版+*=1交于A,B兩點(diǎn),C為點(diǎn)4關(guān)于x軸的對(duì)稱

點(diǎn)，求證：直線BC過(guò)定點(diǎn).

【變式5-1J1.已知橢圓E[+1=1斜率為1的直線I與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(4,0),

直線AM與橢圓E交于點(diǎn)C,直線BM與橢圓E交于點(diǎn)D,求證：直線CD恒過(guò)定點(diǎn).

【變式5-1]2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓：+?=1,點(diǎn)P(4,0),過(guò)點(diǎn)P作橢

圓的割線PAB,C為B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn).求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn).

【變式5-1]3.已知橢圓過(guò)點(diǎn)(0,2),其長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距和短軸長(zhǎng)三者的平方依次成等差數(shù)列，

直線/與左軸的正半軸和y軸分別交于點(diǎn)，與橢圓r相交于兩點(diǎn)MN,各點(diǎn)互不重合，且滿足

PM=友麗，麗=42麗■

(1)求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線珀勺方程為y=—x+1,求；+/的值；

(3)若%+%=-3,試證明直線/恒過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo).

【變式5-1]4.(2021上?江西吉安?高三統(tǒng)考期末)已知橢圓C：?+《=l(a>6>0)的

焦距為2,離心率為T.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q,P,與橢圓分別交于點(diǎn)MN,各點(diǎn)均不重合且滿

足兩=XMQ,~PN=fiNQ.若2+〃=-4,證明：直線/恒過(guò)定點(diǎn).

【變式5-1]5.(2021下?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:

g+g=l(a>b>0)的離心率是|,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3.

(2)已知48是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，4在x軸的上方，F(xiàn)(l,0),連接力F、BF并分

別延長(zhǎng)交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，證明：直線OE過(guò)定點(diǎn).

【變式5-1]6.(2021下安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B分

22

別為橢圓C:^+*l(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，△。48的面積為次,且橢圓C的離心

率為也

(1)求橢圓C的方程

(2)設(shè)斜率不為0的直線I經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F,且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,

過(guò)M作直線x=4的垂線，垂足為Q.試問(wèn)：直線QN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)

的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型6定比點(diǎn)差法求定值問(wèn)題

2

【例題6]已知過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線與雙曲線氤-必=1交于a,B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)p,若

PA=AAQ,PB=畫,求證：2+〃為定值.

【變式6-1]1.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓C：9+9=1,F(l,0).過(guò)尸的直線交

橢圓于MN兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)Q(0,t),設(shè)麗=AiMF,QN=%而，求證：%+%為定值

【變式6-1】2.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓C:=+[=1,尸2為其左右焦點(diǎn)，

4D

P為橢圓c上一動(dòng)點(diǎn)，直線尸F(xiàn)1交橢圓于點(diǎn)A，直線尸尸2橢圓交于點(diǎn)B，設(shè)兩=同兩=

liF^B,求證：A+〃為定值.

22

【變式6-113.(2022河北邯鄲?二模)已知橢圓C：J+了=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分

別為6,4，過(guò)點(diǎn)6的直線?交橢圓于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M,若I6F2I=2,△的

周長(zhǎng)為8.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)筋=同，砒=時(shí),試分析2+〃是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，否則，說(shuō)

明理由.

【變式6-1]4.已知橢圓C:[+]=l(a>6>0)的離心率e=1，右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)2(0,1)

在橢圓c上.

(1)求橢圓C的方程；

(2冠點(diǎn)F的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，交直線久=2于點(diǎn)P,設(shè)兩=AMF^N=(iNF,

求證：4+〃為定值.

【變式6-1]5.(2020?全國(guó)?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知拋物線C:y2=軌的焦點(diǎn)為F,。為

坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)F的直線[與拋物線C交于4,B兩點(diǎn).

(1)若直線I與圓。：/+V=捆切，求直線2的方程；

(2)若直線[與y軸的交點(diǎn)為。.且a=AAF,DB=fiBF,試探究：2+〃是否為定值?若

為定值，求出該定值；若不為定值，試說(shuō)明理由.

【變式6-1]6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓「：5+A=l(a>b>0)的離心率為

|,半焦距為c(c>0),且a-c=1.經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,斜率為心(心*0)的直線與橢圓

交于A、B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)前=1時(shí),求SNOB的值；

⑶設(shè)R(l,0)，延長(zhǎng)AR,BR分別與橢圓交于C,D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為七，求證：費(fèi)為

定值.

【變式6-1】7.(2021?湖北武漢統(tǒng)考二模)設(shè)拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F

作直線I交拋物線E于A,B兩點(diǎn)當(dāng)I與x軸垂直時(shí),△4。8面積為8,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若I的斜率存在且為心點(diǎn)P(3,0),直線4P與E的另一交點(diǎn)為C,直線BP與E的另一交

點(diǎn)為D,設(shè)直線CD的斜率為B，證明：意為定值.

【變式6-1]8.(2022?寧夏石嘴山?石嘴山市第一中學(xué)?？既?已知拋物線C：y2=2Px經(jīng)

過(guò)點(diǎn)P(1,m)(m>0),焦點(diǎn)為F,PF=2,過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線1與拋物線C有兩個(gè)不同的

交點(diǎn)a,B,且直線P2交y軸于M,直線PB交y軸于N.

(1)求拋物線C的方程

(2)求直線珀勺斜率的取值范圍；

⑶設(shè)。為原點(diǎn)，麗=2而，麗=〃而，求證：]+工為定值.

題型7定比點(diǎn)差法與定直線問(wèn)題

【例題7](2022安徽省舒城中學(xué)三模)已知點(diǎn)M是圓C：(%-2)2+y2=r2(r>2)與x軸

負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作圓C的弦MN,并使弦MN的中點(diǎn)恰好落在y軸上.

(1)求點(diǎn)N的軌跡E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(0,4)的動(dòng)直線I與軌跡E交于A,B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)D,滿足號(hào)=XPB,

AD^XDB,證明：點(diǎn)D總在定直線上.

【變式7-1]1.已知橢圓+'=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(而1),且離心率為當(dāng).

(1)求橢圓E的方程；

(2)過(guò)右焦點(diǎn)尸且不與x軸重合的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，已知。(3,0),過(guò)M且與y軸垂

直的直線與直線DN交于點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P在一定直線上，并求出此直線的方程.

【變式7-1]2.(2019上?江西吉安?高三統(tǒng)考期末)已知橢圓G：攝+3=l(a>6>0)的

離心率為日,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-芋，日).

(I)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(口)已知拋物線。2的焦點(diǎn)與橢圓C1的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的動(dòng)直線與拋物線C2相交于

A,B兩個(gè)不同的點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足|4P|'\QB\=\AQ\■\PB\,證明：點(diǎn)Q總

在定直線上.

【變式7-1]3.(2020?河北滄州?統(tǒng)考一模)已知橢圓C：《+《=l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(V3,l),離心率為彳.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線交橢圓于4、B兩點(diǎn)，若前=AMB,在線段4B上取點(diǎn)。，使而=

-ADB,求證：點(diǎn)。在定直線上.

【變式7-1]4.(2016?安徽合肥?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，尸是拋物線C：/=

2py(p>0)的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)M,F,0三點(diǎn)的圓的圓心

為N，點(diǎn)N到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為生

(1)求拋物線C的方程；

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,l)的動(dòng)直線/與拋物線C相交于不同點(diǎn)4B時(shí)，在線段48上取點(diǎn)Q，滿足I而I?

\QB\=研畫,證明：點(diǎn)Q總在某定直線上.

【變式7-1]5.(2020上?江蘇南京?高三南京師大附中?？计谥性谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xoy中，

已知橢圓C:?+《=l(a>b>0)的離心率為]以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的

三角形面積最大值為2百

(1)求a,b的值

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(6,0)的動(dòng)直線1與橢圓C交于不同的點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q,

使得|而||的|=|而||前|，問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某條定直線上?若是，求出該直線方程，若不

是，說(shuō)明理由.

【變式7-1]6.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)橢圓C：g+g=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(或,1),

離心率為?.

⑴求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,l)的動(dòng)直線/與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)4,B時(shí)，在線段上取點(diǎn)Q,滿足篙=

黑="證明：點(diǎn)Q的軌跡與灰關(guān).

【變式7-1]7.(2021?廣東肇慶?統(tǒng)考三模)設(shè)拋物線C：y2=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)

P(0,4)的動(dòng)直線I與拋物線C交于4,8兩點(diǎn)，當(dāng)尸在/上時(shí)，直線/的斜率為-2.

(1)求拋物線的方程；

(2)在線段4B上取點(diǎn)D,滿足方=痂，而=痂，證明：點(diǎn)。總在定直線上.

【變式7-1]8.(2022?云南紅河統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M是以原點(diǎn)。

為圓心，半徑為a的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以原點(diǎn)。為圓心,半徑為6(a>b>0)的圓與線段。M交

于點(diǎn)N,作MD1x軸于點(diǎn)。，作NQ1MD于點(diǎn)Q.

(1)令NM。。=a，若a=4,6=l,a=g,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；

⑶設(shè)(2)中的曲線C與x軸的正半軸交于點(diǎn)力，與y軸的正負(fù)半軸分別交于點(diǎn)a,B2，若點(diǎn)比

F分別滿足版=-30E,4AF=3兩，證明直線BiE和的交點(diǎn)K在曲線C上.

題型8定比點(diǎn)差法與求值問(wèn)題

【例題8]已知橢圓C:《+《=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(2,0),離心率e=JA,B是橢圓C上

兩點(diǎn),且直線OA,OB的斜率之積為-|,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若射線OA上的點(diǎn)P滿足|P0|=3|。川，且PB與橢圓交于點(diǎn)Q,求篙的值.

【變式8-1]1.(2020上?重慶沙坪壩?高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí))已知離心率為日的

橢圓《=l(a>6>0)的上頂點(diǎn)為。，右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P(4,2)且|PF|=\DF\.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P作直線/交橢圓C于48兩點(diǎn)(A在P與B之間),與直線DF交于點(diǎn)Q.記成=左麗,

QA=小的,求乙-乙的值.

【變式8-1]2.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:9+5=1(a>b>0)離心率為

日，其短軸長(zhǎng)為2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，P,Q為橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，直線P0交AQ于E,直線

Q0交AP于D,直線0P與直線0Q的斜率分別為ki,k2,且kik2=-^,AD=WP.AE=

MEQ(A,M為非零實(shí)數(shù)),求入2+.2的值.

題型9定比點(diǎn)差法求取值范圍問(wèn)題

【例題9】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓蕃+?=1,過(guò)定點(diǎn)P(0,3)的直線與橢圓交

于兩點(diǎn)A,B(可重合)，求制的取值范圍.

【變式9-1]1.(2020上?江蘇南京?高三南京市秦淮中學(xué)?？计谀?已知斜率為k的直線/與

橢圓C：￡+?=1交于4，8兩點(diǎn)，線段4B的中點(diǎn)為M(l,m)(m>0),那么k的取值范圍

是()

A.k<—[B,C.fc>jD,fc<-1,

【變式9-1]2.(2019?重慶?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí))已知橢圓C：《+《=

l(a>6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為6/2，焦距為2/，直線/：y=x-1與橢圓C相交于4,B兩點(diǎn)，

「(|,-[)為弦48的中點(diǎn)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/：y=依+爪與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,Q(O,m),若OM+AON=3OQ

(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求血的取值范圍.

【變式9-1]3.(2022?山東日照?校聯(lián)考三模)已知橢圓C*+《=l(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)

D(1,日)離心率e=乎，左、右焦點(diǎn)分別為電尸2,P,Q是橢圓C上位于X軸上方的兩點(diǎn).

(1)若P&IIQF2,\PF1\+IQF2I=2,求直線Qa的方程；

⑵延長(zhǎng)P6,PF2分別交橢圓C于點(diǎn)M,N,設(shè)麗=而，麗=nF^P,求加的最小值.

【變式9-1]4.(2017?河南安陽(yáng)?校聯(lián)考一模)已知橢圓+9=l(a>b>0)的兩個(gè)焦

點(diǎn)分別為6,F2,過(guò)點(diǎn)&且與y軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，△MNF2的面積為次,

橢圓C的離心率為當(dāng).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線Z：y=依+爪與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓。交于4,B兩個(gè)不同的點(diǎn)，

若存在實(shí)數(shù)4,使得瓦？+WB^40P,求血的取值范圍.

題型1。定比點(diǎn)差法求a問(wèn)題

【例題10】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))過(guò)點(diǎn)M(l,0)的直線I交橢圓E:1+[=1于A、B

4Z

兩點(diǎn)，若前=AMB,求力的取值范圍.

【變式10-1】1.(2021?上海長(zhǎng)寧統(tǒng)考二模)設(shè)&/2分別為橢圓r：J+必=1的左、右焦

點(diǎn)，點(diǎn)4B在橢圓廠上，且不是橢圓的頂點(diǎn).若端+4可=6,且2>0，則實(shí)數(shù)4的值為

【變式10-112.(2021?上海浦東新?統(tǒng)考二模)已知橢圓C:f+y2=1的左右焦點(diǎn)分別

為見(jiàn)尸2，過(guò)點(diǎn)2(0,2)的直線/交橢圓C于不同的兩點(diǎn)P,Q.

(1)若直線Z經(jīng)過(guò)尸2，求46PQ的周長(zhǎng)；

(2)若以線段PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)F2,求直線/的方程；

(3)若而=XAP,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【變式10-1】3.(2022?重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知a>6>0直線/過(guò)橢圓6吟+g=1

的右焦點(diǎn)尸且與橢圓G交于A6兩點(diǎn)，/與雙曲線金/-署=1的兩條漸近線八％分別交

于M2兩點(diǎn).

(1)若|。/|=V3,且當(dāng)rX軸時(shí)，AMCW的面積為|,求雙曲線。2的方程；

⑵如圖所示，若橢圓6的離心率e=中，？14且市=疝^>0),求實(shí)數(shù)加勺值.

題型11調(diào)和定比分點(diǎn)

1占

.云?、、、

1.定義：若宿=4而且前=-ANB,則稱M,N調(diào)和分割4,B,根據(jù)定義，那么4,B也調(diào)

和分割M,N(其中M在線段4B內(nèi)，稱為內(nèi)分點(diǎn)，N在線段4B外，稱為外分點(diǎn)).

2.調(diào)和定比分點(diǎn)的性質(zhì)

【性質(zhì)1】在橢圓或雙曲線m±《=l(a>0,b>0)中，設(shè)4,B為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn).若

存在M,N調(diào)和分割4,B,即滿足疝=XMB,AN=-ANB,則一定有號(hào)±*=1.

aaoz

證明：由已知點(diǎn)43，%)，802，、2)在橢圓或雙曲線胃±真=l(a>0，匕>。)上，設(shè)

X1+AX2

X

M1+A

MOM,y),N(XN,y).首先前=AMS,則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

MN以+狽

7M=1+A

X1-AX2

XN=

又前=-ANB則由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得1-A

。1一拉2

VN=1-A

‘好Qi①

當(dāng)4A±1時(shí)，持4(乙，%)，B(X,月)代入曲線，有

2觸=i②

②X萬(wàn)得到鬟士警=萬(wàn)③

③和①作差整理可得：

(41+尢七)(01尢Q)I6+。)仇一以)=1,將前式代入整理得冷士智=1

a2(l+A)(l-A)-&2(1+A)(1-A)

【性質(zhì)2］在拋物線y2=2p%中,設(shè)4,8為拋物線上的兩點(diǎn).若存在M,N調(diào)和分割48,即

滿足4M=4MB,AN=一入NB,則一定有ypy。=p(xP+xQ).

證明：設(shè)401,為)，B(X2,y2),由前=4而，得M隹等，陪),

由府=-4而，得N代苧，喑)，

又［=蹩，①一②得：婷T2y?2=p(X1+X1--2T2久2)，

Uy2=2Xp%2⑵

2

即(yi+Ay2)(yi-Ay2)=p(xt+Ax2+%i-Ax2+尢G-Ax2一放i一可心)，

5+核)仇一及2)_P(%I+AX2)(1-A)pCxt-AxzXl+A).__LV、

(1+A)(1-A)一(1-A)(1+A)+(1-A)(1+A)，“VP%-Pl“P+飛)-

定比點(diǎn)差的原理謎題解開(kāi)，就是兩個(gè)互相調(diào)和的定比分點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓錐曲線的特征方程.

3.定比點(diǎn)差轉(zhuǎn)換定理:

在橢圓、雙曲線或拋物線中，設(shè)4(與，%),B3,%)為橢圓或雙曲線上的兩點(diǎn).若存在P,Q

兩點(diǎn)，滿足而=4萬(wàn)，而=一4礪，則一定有/_4+和二和’(重點(diǎn)中的重點(diǎn)?。。?

%2~I■.

‘巧+府2_

XPXQ+yp%=］今11+A-P'(x1+AX2=(1+2)%p，

證明2—2~%1-AX”=

ab21—A%2=(I+A)%Q

122，

_Xp+XQXp—XQ

x2=-；1■

22A

【例題11］已知橢圓C：9+?=1,過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線/交橢圓C于a,B兩點(diǎn),在線段48

上取點(diǎn)<2滿足|45||(2引=\AQ\\PB\,求證：點(diǎn)Q在某條定直線上.

【變式11-1】1.已知&、F2分別為橢圓G：《+盤=1Q>6>0)的上、下焦點(diǎn)，其中&也

是拋物線C2：/=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是G與。2在第二象限的交點(diǎn)，且IMF/=|.

(2)已知點(diǎn)P(l,3)和圓。：/+*=,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線/與圓。相交于不同的兩點(diǎn)48,

在線段48上取一點(diǎn)Q,滿足：AP=-XPB，而=4詼，(4K。且2力±1).求證：點(diǎn)Q總在

某定直線上.

【變式11-1】2.在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，已知橢圓C：捺+'=l(a>6>0)的離心率

為|,以橢圓上的一點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積最大值為2g.

(1)求a,6的值；

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(6,0)的動(dòng)直線］與橢圓C交于不同的點(diǎn)A,B時(shí)，在線段48上取點(diǎn)Q，使得麗?

的+而?前=0,問(wèn)點(diǎn)Q是否總在某條定直線上？若是，求出該直線方程，若不是，說(shuō)明

理由.

2222

【變式11-1]3.橢圓Ci:1+《=l(a>b>0)的焦點(diǎn)A,F2是等軸雙曲線。2：-1

的頂點(diǎn)，若橢圓G與雙曲線Q的一個(gè)交點(diǎn)是P,△P&&的周長(zhǎng)為4+2V2.

(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)M是雙曲線。2上任意不同于其頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線MF1、的斜率分別為自,fc2，

求證心，B的乘積為定值；

(3)過(guò)點(diǎn)Q(-4,0)任作一動(dòng)直線I交橢圓G與A,B兩點(diǎn)，記而=4詼(2eR),若在直線

AB上取一點(diǎn)R，使得赤=(-4)而,試判斷當(dāng)直線I運(yùn)動(dòng)是，點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)

動(dòng)？若是，求出該直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式11-D4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)”1,0)的距離與到定直線X=3

的距離之比為日.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)已知P為定直線久=3上一點(diǎn).

①過(guò)點(diǎn)F作FP的垂線交軌跡C于點(diǎn)G(G不在y軸上)，求證:直線PG與。G的斜率之積是定值；

②若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3),過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線/交軌跡C于不同兩點(diǎn)R、7,線段R7上的點(diǎn)“滿足

霽=黑，求證：點(diǎn)H恒在一條定直線上.

【變式11-1】5.(2022?山東模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到定點(diǎn)F(l,0)

的距離與它到直線=4的距離之比為點(diǎn)

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)點(diǎn)。為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)戶的動(dòng)直線6與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡相交于不同的/,6兩點(diǎn),

在線段48上取點(diǎn)Q,滿足|4P|=A\PB\,\AQ\=X\QB\,求證：點(diǎn)Q總在一條動(dòng)直線上且該

動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn).

1.（2022云南紅河?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M是以原點(diǎn)。為圓心，半徑為a

的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)以原點(diǎn)。為圓心，半徑為b（a>b>0）的圓與線段。M交于點(diǎn)N作MD1x

軸于點(diǎn)。，作NQ1MD于點(diǎn)Q.

Q）令4MOD=a，若a=4,b=l,a=g,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)Q的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；

⑶設(shè)（2）中的曲線C與x軸的正半軸交于點(diǎn)4，與y軸的正負(fù)半軸分別交于點(diǎn)a,B2，若點(diǎn)E、

F分別滿足族=-3OE,4AF=3西，證明直線/￡和的交點(diǎn)K在曲線C上.

2.（2022?湖北武漢統(tǒng)考三模）已知橢圓C：捻+5=l（a>6〉0）的短軸長(zhǎng)為2企,離心

率為冬

⑴求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P為直線％=4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線/與橢圓C相交于不同的4,B兩點(diǎn)，在線段4B

上取點(diǎn)Q,滿足|2P|?|Q8|=MQ|?|P8|,證明：點(diǎn)Q的軌跡過(guò)定點(diǎn)

3.（2022?吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線=2Px（p>0）的焦點(diǎn)尸到其準(zhǔn)線的

距離為4,橢圓。2：《+《=l（a>6〉0）經(jīng)過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)F.

（1）求拋物線Ci的方程及a；

（2）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線/與橢圓。2相交于力，§兩點(diǎn)，若前=mMB,

點(diǎn)/V滿足標(biāo)=-mNB,且|ON|最小值為點(diǎn),求橢圓。2的離心率.

4.（2022?吉林?統(tǒng)考三模）已知拋物線G：V=2Px（p>0）的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為4,

橢圓+《=l（a>b〉0）經(jīng)過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)F.

（1）求拋物線6的方程及a;

（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)MQ1）的直線I與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，若詢=mMB,

點(diǎn)N滿足前=-mNB,且|ON|最小值為點(diǎn),求橢圓C2的離心率.

22

5.(2021?重慶九龍坡?重慶市育才中學(xué)?？级?已知橢圓C曝+琶=l(a>b>0)的左

右焦點(diǎn)分別為6/2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4&,A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),

(MF2|+|B&I)-SAABB的最大值為16vl

(1)求橢圓C的方程；

—>—>

(2)若存在實(shí)數(shù)%使得26=AAB,過(guò)點(diǎn)A作直線久=-4的垂線，垂足為N,直線