人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-6.2.3第1課時-組合與組合數(shù)-同步練習(xí)【含答案】

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-6.2.3第1課時-組合與組合數(shù)-同步練習(xí)1．(多選)下列問題中是組合問題的是()A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2022個不同點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條直線C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三個元素的子集有多少個D．從高二(6)班的50名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法2．若Ceq\o\al(2,n)＝36，則n的值為()A．7B．8C．9D．103．某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個自然村，且這些村莊分布零散，沒有任何三個村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，則共需建公路的條數(shù)為()A．4B．8C．28D．644．從2,3，…，8中任意取三個不同的數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，要求個位數(shù)最大，百位數(shù)最小，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為()A．35B．42C．105D．2105．現(xiàn)有6個白球，4個黑球，任取4個，則至少有兩個黑球的取法種數(shù)是()A．90B．115C．210D．3856．第24屆冬季奧運會于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市舉行．現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都要有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為()A．12B．14C．16D．187．10個人分成甲、乙兩組，甲組4人，乙組6人，則不同的分組種數(shù)為__________．(用數(shù)字作答)8．若Aeq\o\al(4,2n)＝120Ceq\o\al(2,n)，則n＝________.9．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差數(shù)列，求Ceq\o\al(12,n)的值．10.現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選出2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？11．身高各不相同的7名同學(xué)排成一排照相，要求正中間的同學(xué)最高，左右兩邊分別順次一個比一個低，則這樣的排法種數(shù)是()A．5040B．36C．18D．2012．(多選)下列等式正確的是()A．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n) B．2018！·Ceq\o\al(2018,2023)＝2023Aeq\o\al(2017,2022)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),n！) D．Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)13．已知圓上有9個點，每兩點連一線段，若任意兩條線的交點不同，則所有線段在圓內(nèi)的交點有()A．36個 B．72個C．63個 D．126個14．4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去1名，則不同的保送方案有___種．15．某城市縱向有6條道路，橫向有5條道路，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng)(圖中黑線表示道路)，則從西南角A地到東北角B地的最短路線共有____條．16．某次足球比賽共12支球隊參加，分三個階段進行．(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊進行單循環(huán)比賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場交叉淘汰賽(每兩隊主客場各賽一場)決出勝者；(3)決賽：兩個勝隊參加決賽一場，決出勝負．問：全部賽程共需比賽多少場？參考答案與詳細解析1．ABC[選項A，B，C與順序無關(guān)，是組合問題；選項D與順序有關(guān)，是排列問題．]2．C[∵Ceq\o\al(2,n)＝36，∴eq\f(nn－1,2×1)＝36，即n2－n－72＝0，∴(n－9)(n＋8)＝0.∵n∈N*，∴n＝9.]3．C[由于“村村通”公路的修建，是組合問題，故共需要建Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(A\o\al(2,8),A\o\al(2,2))＝eq\f(8×7,2×1)＝28(條)公路．]4．A[由于取出三個數(shù)字后大小次序已確定，只需把最小的數(shù)字放在百位，最大的數(shù)字放在個位，剩下的數(shù)字放在十位，因此滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.]5．B[依題意，根據(jù)取法可分為三類：兩個黑球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝90(種)；三個黑球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＝24(種)；四個黑球，有Ceq\o\al(4,4)＝1(種)．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，至少有兩個黑球的取法種數(shù)是90＋24＋1＝115.]6．B[因為甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺，計算安排種數(shù)有兩類方法：若有兩個人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)；若有一個人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有Ceq\o\al(1,2)＝2(種)，然后剩下的一個人和甲、乙被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(種)，則共有2×6＝12(種)，綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為12＋2＝14.]7．210解析從10人中任選出4人作為甲組，則剩下的人即為乙組，這是組合問題，共有Ceq\o\al(4,10)＝210(種)分法．8．3解析2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝eq\f(120nn－1,2)，化簡得，n2－2n－3＝0，解得n＝3或n＝－1(舍去)，所以n＝3.9．解由已知得2Ceq\o\al(5,n)＝Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)，所以2·eq\f(n！,5！n－5！)＝eq\f(n！,4！n－4！)＋eq\f(n！,6！n－6！)，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求Ceq\o\al(12,n)的值，故n≥12，所以n＝14，所以Ceq\o\al(12,14)＝eq\f(14！,12！×2！)＝eq\f(14×13,2×1)＝91.10．解(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)從6名男教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,6)種，從4名女教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,4)種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，因此共有不同的選法Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(種)．11．D[最高的同學(xué)站中間，從余下6人中選3人在一側(cè)只有一種站法，另3人在另一側(cè)也只有一種站法，所以排法有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)．]12．ABD[對于A，Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)，Ceq\o\al(n－m,n)＝eq\f(n！,n－m！n－n＋m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)，所以Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，故A正確；對于B,2018！·Ceq\o\al(2018,2023)＝Aeq\o\al(2018,2018)·Ceq\o\al(2018,2023)＝Aeq\o\al(2018,2023)＝2023Aeq\o\al(2017,2022)，原式成立，故B正確；對于C，左邊Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)，右邊eq\f(A\o\al(m,n),n！)＝eq\f(n！,n－m！n！)＝eq\f(1,n－m！)，左邊≠右邊，故C錯誤；對于D，左邊Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝eq\f(n！,n－m！)＋eq\f(m×n！,n－m＋1！)＝eq\f(n－m＋1×n！,n－m＋1！)＋eq\f(m×n！,n－m＋1！)＝eq\f(n＋1×n！,n－m＋1！)＝eq\f(n＋1！,n－m＋1！)，右邊Aeq\o\al(m,n＋1)＝eq\f(n＋1！,n－m＋1！)，左邊＝右邊，故D正確．]13．D[此題可化歸為圓上9個點可組成多少個四邊形，所有四邊形的對角線交點個數(shù)即為所求，所以交點為Ceq\o\al(4,9)＝126(個)．]14．36解析把4名學(xué)生分成3組有Ceq\o\al(2,4)種方法，再把3組學(xué)生分配到3所學(xué)校有Aeq\o\al(3,3)種方法，故共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)保送方案．15．126解析要使路線最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，從A地到B地歸結(jié)為走完5條橫線段和4條縱線段．設(shè)每走一段橫線段或縱線段為一個行走時段，從9個行走時段中任取4個時段走縱線段，其余5個時段走橫線段，共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(5,5)＝126(種)走法，故從A地到B地的最短路線