Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型2025/3/112Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型2025/3/113Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的基本思路期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價(jià)格波動(dòng)的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化，期權(quán)價(jià)格受到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的影響。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化過程是一個(gè)隨機(jī)過程。因此，期權(quán)價(jià)格變化也是一個(gè)相應(yīng)的隨機(jī)過程。金融學(xué)家發(fā)現(xiàn)，股票價(jià)格的變化可以用Ito過程來描述。而數(shù)學(xué)家Ito發(fā)現(xiàn)的Ito引理可以從股票價(jià)格的Ito過程推導(dǎo)出衍生證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程。在股票價(jià)格遵循的隨機(jī)過程和衍生證券價(jià)格遵循的隨機(jī)過程中，Black-Scholes發(fā)現(xiàn)，由于它們都只受到同一種不確定性的影響，如果通過買入和賣空一定數(shù)量的衍生證券和標(biāo)的證券，建立一定的組合，可以消除這個(gè)不確定性，從而使整個(gè)組合只獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。從而得到一個(gè)重要的方程：Black-Scholes微分方程。求解這一方程，就得到了期權(quán)價(jià)格的解析解。2025/3/114為什么要研究證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程?期權(quán)是衍生工具，使用的是相對(duì)定價(jià)法，即相對(duì)于證券價(jià)格的價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格。期權(quán)的價(jià)值正是來源于簽訂合約時(shí)，未來標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與合約執(zhí)行價(jià)格之間的預(yù)期差異變化，在現(xiàn)實(shí)中，資產(chǎn)價(jià)格總是隨機(jī)變化的。需要了解其所遵循的隨機(jī)過程。研究變量運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)過程，可以幫助我們了解在特定時(shí)刻，變量取值的概率分布情況。2025/3/115隨機(jī)過程隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過程。隨機(jī)過程的分類離散時(shí)間、離散變量離散時(shí)間、連續(xù)變量連續(xù)時(shí)間、離散變量連續(xù)時(shí)間、連續(xù)變量2025/3/116幾種隨機(jī)過程標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過程）起源于物理學(xué)中對(duì)完全浸沒于液體或氣體中，處于大量微小分子撞擊下的的小粒子運(yùn)動(dòng)的描述。設(shè)Δt代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度，Δz代表變量z在Δt時(shí)間內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的Δz具有兩種特征：特征1：其中，ε代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔Δt

，Δz的值相互獨(dú)立。特征的理解特征1：;方差為特征2:馬爾可夫過程：只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測(cè)無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)符合馬爾可夫過程，因此是馬爾可夫過程的一種特殊形式。2025/3/117標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（續(xù)）考察變量z在一段較長時(shí)間T中的變化情形：z（T）－z(0)表示變量z在T中的變化量又可被看作是在N個(gè)長度為Δt的小時(shí)間間隔中z的變化總量，其中N=T/Δt

。很顯然，這是n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的和：因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為NΔt=T，標(biāo)準(zhǔn)差為 。為何定義為：當(dāng)我們需要考察任意時(shí)間長度間隔中的變量變化的情況時(shí)，獨(dú)立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時(shí)間長度成比例，不受時(shí)間劃分方法的影響。相應(yīng)的一個(gè)結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)檫B續(xù)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：當(dāng)Δt

0時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)2025/3/118普通布朗運(yùn)動(dòng)變量x遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)：其中，a和b均為常數(shù)，z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。這里的a為漂移率（DriftRate），是指單位時(shí)間內(nèi)變量x均值的變化值。這里的b2為方差率（VarianceRate），是指單位時(shí)間的方差。這個(gè)過程指出變量x關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過程。其中第一項(xiàng)adt為確定項(xiàng)，它意味著x的期望漂移率是每單位時(shí)間為a。第二項(xiàng)bdz是隨機(jī)項(xiàng)，它表明對(duì)x的動(dòng)態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的?？梢园l(fā)現(xiàn)，任意時(shí)間長度后，x值的變化都具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為,方差為b2T.2025/3/119Ito過程和Ito引理伊藤過程（ItoProcess）：普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，我們就得到 其中，z遵循一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2都隨時(shí)間變化。這就是伊藤過程。Ito引理若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

其中，z遵循一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。由于a和b都是x和t的函數(shù)，因此函數(shù)G也遵循伊藤過程，它的漂移率為方差率為2025/3/1110證券價(jià)格的變化過程目的：找到一個(gè)合適的隨機(jī)過程表達(dá)式，來盡量準(zhǔn)確地描述證券價(jià)格的變動(dòng)過程，同時(shí)盡量實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡(jiǎn)單性。基本假設(shè)：證券價(jià)格所遵循的隨機(jī)過程：其中，S表示證券價(jià)格，μ表示證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率），σ2

表示證券收益率單位時(shí)間的方差，σ表示證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱證券價(jià)格的波動(dòng)率（Volatility），z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。一般μ和σ的單位都是年。很顯然，這是一個(gè)漂移率為μS、方差率為σ2S2的伊藤過程。也被稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)2025/3/1111Black-Scholes微分方程：基本思路思路：由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種不確定性（dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定性就可以相互抵消。因此布萊克和舒爾斯就建立起一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和若干單位標(biāo)的證券多頭的投資組合。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險(xiǎn)的。那么，在無套利機(jī)會(huì)的情況下，該投資組合在短期內(nèi)的收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。

2025/3/1112Black—Scholes微分方程B-S微分方程所需的假設(shè)條件：1、證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且期望收益率μ和波動(dòng)率σ為常數(shù)2、允許賣空標(biāo)的資產(chǎn)3、沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的4、在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付5、不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)6、證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)是連續(xù)的7、在衍生證券的有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)。布萊克——舒爾斯微分方程的推導(dǎo)

我們假設(shè)證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)：則：

（1）假設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則：

(2)

為了消除，我們可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價(jià)值，則：(3)在時(shí)間后：（4）將式（1）和（2）代入式（4），可得：

(5)

在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下：把式（3）和（5）代入上式得：化簡(jiǎn)為：

(6)這就是著名的布萊克——舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的定價(jià)。

2025/3/1116注：此方程有許多解，解方程時(shí)得到的特定衍生證券取決于使用的邊界條件，這些邊界條件確定了在S和t的可能取值的邊界上的衍生證券的價(jià)值。歐式看跌期權(quán)邊界條件為對(duì)于歐式看漲期權(quán)邊界條件為2025/3/1117BS公式的一個(gè)重要結(jié)論

——風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理

從BS微分方程中我們可以發(fā)現(xiàn)：衍生證券的價(jià)值決定公式中出現(xiàn)的變量為標(biāo)的證券當(dāng)前市價(jià)（S）、時(shí)間（t）、證券價(jià)格的波動(dòng)率（σ）和無風(fēng)險(xiǎn)利率r，它們?nèi)际强陀^變量，獨(dú)立于主觀變量——風(fēng)險(xiǎn)收益偏好。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。由此我們可以利用BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡(jiǎn)化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。2025/3/1118風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理所謂風(fēng)險(xiǎn)中性，即無論實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)如何，投資者都只要求無風(fēng)險(xiǎn)利率回報(bào)。風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)的結(jié)果：我們進(jìn)入了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。盡管風(fēng)