2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)35 微專題 幾何圖形的折疊問(wèn)題 學(xué)案（含答案）

微專題35幾何圖形的折疊問(wèn)題

一階基礎(chǔ)技能

1.折疊問(wèn)題常見(jiàn)的類型有：

2.與折疊有關(guān)的計(jì)算常用性質(zhì)

(1)折疊問(wèn)題的本質(zhì)是全等變換，折疊前的部分與折疊后的部分是全等圖形.

①線段相等：C'D＝，BC＝；

②角度相等：∠1＝，∠3＝；

③全等關(guān)系：△BC'D≌.

(2)折痕可看作垂直平分線(對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分，即BD垂直

平分CC')；

(3)折痕可看作角平分線.

二階方法訓(xùn)練

方法解讀

1.利用折疊出現(xiàn)的直角三角形求解

情形：折疊中頂點(diǎn)落在邊上得到直角三角形

結(jié)論：在Rt△CFB'中，利用勾股定理，得x2＝a2＋(b－x)2

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方法總結(jié)：由于矩形的四個(gè)內(nèi)角均為直角，故折疊后易出現(xiàn)與設(shè)問(wèn)相關(guān)聯(lián)的直角

三角形，可利用勾股定理或三角函數(shù)列方程求解

方法一利用折疊出現(xiàn)的直角三角形求解(2020.9)

例1如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，

將四邊形ABFE沿EF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在CD邊的中點(diǎn)處，則BF

的長(zhǎng)為.

例1題圖

變式1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D，E分別是AB，

BC上的點(diǎn).將△ACE沿AE折疊，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)D處，則△BDE的面

積為.

變式1題圖

方法解讀

2.利用折疊出現(xiàn)的等腰三角形求解

情形：折疊中利用角平分線(折痕)性質(zhì)得到等腰三角形

結(jié)論：△BFD為等腰三角形，DF＝BF＝x，AF＝b－x

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方法總結(jié)：當(dāng)折痕過(guò)特殊四邊形對(duì)邊或?qū)蔷€時(shí)，可利用角平分線(折痕)與平行

線(特殊四邊形的對(duì)邊)的性質(zhì)得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)求解

方法二利用折疊出現(xiàn)的等腰三角形求解

例2如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，BC＝8，將△BCD沿BD翻折得到△BED，

BE交AD于點(diǎn)F，則AF＝.

例2題圖

變式2如圖，已知矩形紙片的寬為2，將矩形紙片沿MN折疊，得到重合部分

△AMN，若∠MAN＝45°，則△AMN的面積為.

變式2題圖

方法解讀

3.利用折疊出現(xiàn)的全等、相似求解

情形：折疊中常出現(xiàn)的全等、相似模型

(1)如圖①，正8字、斜A字模型

圖①

結(jié)論：①“正8字”：△AFE∽△CFD；②“斜A字”：△AFE∽△ABC

(2)如圖②，一線三垂直模型

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圖②

結(jié)論：①△BEF∽△CFD；

②△AED≌△FED

方法總結(jié)：結(jié)合折疊的性質(zhì)，找出與設(shè)問(wèn)相關(guān)聯(lián)的全等三角形或相似三角形，再

利用全等、相似三角形的性質(zhì)求解

方法三利用折疊出現(xiàn)的全等、相似求解[6年2考：2024.23(3)，2021.23]

例3如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在AB邊上，把△BCE沿直線CE折疊，使點(diǎn)B

落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF.若點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同一條直線上，AE＝2.

(1)DF＝；

(2)BE＝.

例3題圖

例4如圖，E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，將△BCE沿BE折疊得到△BFE，

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在AD上.若sin∠DFE＝，則tan∠EBC的值為.

2

3

例4題圖

變式3(2024河南)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AB在x軸

上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)E在邊CD上.將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在

點(diǎn)F處.若點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，6)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

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變式3題圖

三階綜合應(yīng)用

1.(2020廣東9題3分)如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，

CD上，∠EFD＝60°.若將四邊形EBCF沿EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上，

則BE的長(zhǎng)度為()

A.1B.C.D.2

23

第1題圖

2.(2024佛山二模)在如圖所示的矩形ABCD中，M為CD中點(diǎn)，將△MBC沿BM

翻折至△MBE，若∠AME＝15°，則∠ABE＝.

第2題圖

3.如圖，在矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)

B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE.

(1)求證：△ADE≌△CED；

(2)求證：△DEF是等腰三角形.

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第3題圖

4.(2021廣東23題8分)如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).

連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點(diǎn)G，求CG的長(zhǎng).

第4題圖

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一階基礎(chǔ)技能

①CD，BC'；②∠2，∠4；③△BCD

二階綜合應(yīng)用

例15【解析】∵AB＝6，且B'是CD邊的中點(diǎn)，∴B'C＝CD＝AB＝3，由

11

折疊可知，B'F＝BF，設(shè)BF＝B'F＝x，則CF＝9－x.在Rt△CF2B'中，2∵B'F2＝CF2

＋B'C2，∴x2＝(9－x)2＋32，解得x＝5，∴BF＝5.

變式16【解析】由折疊可知，CE＝DE，AC＝AD＝6，∠ACB＝∠ADE＝90°，

∴BD＝AB－AD＝10－6＝4，∠BDE＝180°－∠ADE＝180°－90°＝90°，設(shè)

CE＝x，則DE＝x，BE＝8－x，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得，BE2＝BD2＋

2222

DE，∴(8－x)＝x＋4，解得x＝3，∴DE＝3，∴S△BDE＝DE·BD＝×3×4＝6.

11

例23【解析】∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝82，CD＝AB2＝4，AD∥

BC，∠A＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，由折疊性質(zhì)得∠CBD＝∠EBD，∴∠ADB

＝∠EBD，∴BF＝DF，設(shè)AF＝x，則DF＝BF＝AD－AF＝8－x，在Rt△ABF中，

BF2＝AB2＋AF2，即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴AF＝3.

變式22【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AN于點(diǎn)P，∵紙條為矩形，

∴MB∥AN，2∴∠1＝∠ANM，由折疊的性質(zhì)可知∠1＝∠AMN，∴∠AMN＝

∠ANM，∴△AMN是等腰三角形.∵∠MAN＝45°，MP＝2，∴AN＝AM＝

??

sin45°

＝＝2，∴S△AMN＝AN·MP＝×2×2＝2.

211

2

22

2222

變式2題解圖

例3(1)2；【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠B＝∠DAE

＝90°，由折疊的性質(zhì)得，CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，

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∠CFD＝∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠CDF＝∠CDF＋∠FCD＝90°，∴∠ADE

＝∠FCD，∴△ADE≌△FCD(ASA)，∴DF＝AE＝2.

(2)－1【解析】∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE＝∠DAE＝90°，∵∠AEF

＝∠5DEA，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴＝，∴EF＝－1(負(fù)值已舍

????2??

去)，∴BE＝EF＝－1.????2+??25

一題多解法5

(1)∵AB∥CD，∴S△ACD＝S△DCE，∴S△ACD－S△DCF＝S△DCE－S△DCF，∴S△ADF＝S△ECF，

由題意知，BC＝CF，S△ACD＝S△ABC，S△ECF＝S△BCE，∴S△ACD－S△ADF＝S△ABC－S△CEF

＝S△ABC－S△BCE，∴S△DCF＝S△ACE，∴DF·CF＝AE·BC.∵CF＝BC，∴DF＝AE

11

＝2；22

設(shè)＝，∵∥，∴△∽△，∴＝，∴＝，解得＝

(2)BExAECDAEFCDF＋x

????2?

－1(負(fù)值已舍去)，∴BE＝－1.????2?25

例4【解析】∵四邊形5ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝∠D＝90°.

5

由折疊5的性質(zhì)可知，∠BFE＝∠C＝90°，∠EBF＝∠EBC，EF＝EC，∴∠ABF

＋∠AFB＝90°，∠AFB＋∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠ABF，∴△DFE∽△ABF，

∴＝.∵sin∠DFE＝＝，∴設(shè)DE＝2a，則EF＝3a，∴AB＝CD＝5a.在

??????2

Rt△??DE?F?中，由勾股定理??，得3DF＝a，∴＝＝＝，∴tan∠EBC＝

????5?5

tan∠EBF＝＝.5????5?5

??5

變式3(3，??10)5【解析】由折疊的性質(zhì)可知，BC＝BF，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)(－2，

0)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，6)，∴OA＝2，OF＝6，如解圖，設(shè)CD與y軸交于點(diǎn)P，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則OB＝a－2，OP＝BF＝a，在Rt△BOF中，OB2＋OF2

＝BF2，即62＋(a－2)2＝a2，解得a＝10，∴OP＝10，OB＝8，∴PF＝OP－OF

＝4，∵∠EFP＋∠FEP＝90°，∠EFP＋∠BFO＝90°，∴∠FEP＝∠BFO，

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∵∠EPF＝∠FOB＝90°，∴△EFP∽△FBO，∴＝，∴＝，解得PE＝3，

??????4

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3，10).????68

變式3題解圖

三階綜合應(yīng)用

1.D【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB∥CD，∵∠EFD

＝60°，∴∠BEF＝60°，由折疊的性質(zhì)知，∠B'EF＝∠BEF＝60°，∴∠AEB'

＝60°，∴∠AB'E＝30°.設(shè)BE＝B'E＝x，則AE＝3－x，在Rt△AEB'中，3－x

＝x，解得x＝2，∴BE＝2.

1

2.240°【解析】如解圖，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)N，設(shè)BN交AM于點(diǎn)O，∵四

邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC，∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，∴DM＝

MC，∴△ADM≌△BCM，∴∠DAM＝∠CBM，∵△BME是由△BMC翻折得到，

∴∠CBM＝∠EBM＝(90°－∠ABE)，∵∠DAM＝∠CBM＝∠MBE，∠AON＝

1

∠BOM，∴∠OMB＝2∠ANB＝90°－∠ABE，在△MBE中，∠EMB＋∠EBM＝

90°，∴∠AME＋(90°－∠ABE)＋(90°－∠ABE)＝90°，整理得∠ABE＝

13

60°，∴∠ABE＝40°.22

第2題解圖

3.證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝CD，

由折疊的性質(zhì)可得BC＝CE，AB＝AE，

第9頁(yè)共11頁(yè)

∴AD＝CE，AE＝CD，

在△ADE和△CED中，

＝

＝，

????

＝