2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)3解三角形求距離新人教A版必修5

PAGE1-課時(shí)作業(yè)3解三角形求距離[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．如圖，在高速馬路建設(shè)中須要確定隧道的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A.eq\r(3)kmB.eq\r(2)kmC．1.5kmD．2km解析：在△ABC中，易得A＝30°，由eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝eq\f(1×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝eq\r(3)km.答案：A2．如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出A、C間的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A．50eq\r(3)mB．50eq\r(2)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m解析：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．答案：B3．海上A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()A．10eq\r(3)海里B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里D．5eq\r(6)海里解析：如圖所示，在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理得：eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，所以BC＝eq\f(ABsinA,sinC)＝eq\f(10×sin60°,sin45°)＝5eq\r(6)(海里)．答案：D4．如圖，某海上緝私小分隊(duì)駕駛緝私艇以40km/h的速度由A處動(dòng)身，沿北偏東60°方向進(jìn)行海面巡邏，當(dāng)航行半小時(shí)到達(dá)B處時(shí)，發(fā)覺北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏東30°方向上，則緝私艇所在的B處與船C的距離是()A．5(eq\r(6)＋eq\r(2))kmB．5(eq\r(6)－eq\r(2))kmC．10(eq\r(6)－eq\r(2))kmD．10(eq\r(6)＋eq\r(2))km解析：由題意，得∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×eq\f(1,2)＝20(km)．由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝202＋202－2×20×20×cos30°＝800－400eq\r(3)＝400(2－eq\r(3))，∴BC＝eq\r(4002－\r(3))＝eq\r(200\r(3)－12)＝10eq\r(2)(eq\r(3)－1)＝10(eq\r(6)－eq\r(2))(km)．答案：C5．如圖所示，為了測(cè)量A，B兩處島嶼間的距離，小明在D處觀測(cè)，A，B分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為()A．20eq\r(6)海里B．10eq\r(6)海里C．10(1＋eq\r(3))海里D．20海里解析：連接AB，如圖所示，由題意可知CD＝20，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°.∠ADB＝60°.在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(20,sin45°)，∴AD＝10eq\r(2).在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝eq\r(2)CD＝20eq\r(2).在△ABD中，由余弦定理得AB＝eq\r(200＋800－2×10\r(2)×20\r(2)×cos60°)＝10eq\r(6)(海里)．故選B.答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)6．已知A，B，C三地，其中A，C兩地被一個(gè)湖隔開，測(cè)得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，則A，C兩地的距離為________．解析：依據(jù)題意，由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，代入數(shù)值得eq\f(3,sin30°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得AC＝3eq\r(2)(km)．答案：37．小明爸爸開車以80km/h的速度沿著正北方向的馬路行駛，小明坐在車?yán)锵蛲庖暡?，在點(diǎn)A處望見電視塔P在北偏東30°方向上，15分鐘后到點(diǎn)B處望見電視塔在北偏東75°方向上，則汽車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔P的距離是________km.解析：由題意得，AB＝80×eq\f(15,60)＝20，∠PAB＝30°，∠APB＝75°－30°＝45°，在△ABP中，由正弦定理得eq\f(20,sin45°)＝eq\f(PB,sin30°)，所以PB＝eq\f(20sin30°,sin45°)＝eq\f(20×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)(km)．答案：10eq\r(2)8．湖中有一小島，沿湖有一條南北方向的馬路，在這條馬路上的一輛汽車上測(cè)得小島在南偏西15°方向，汽車向南行駛1km后，又測(cè)得小島在南偏西75°方向，則小島到馬路的距離是________km.解析：如圖，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，BC＝eq\f(sin15°,sin60°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．設(shè)C到直線AB的距離為d，則d＝BCsin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．答案：eq\f(\r(3),6)三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖所示，若小河兩岸平行，為了知道河對(duì)岸兩棵樹C，D(CD與河岸平行)之間的距離，選取岸邊兩點(diǎn)A，B(AB與河岸平行)，測(cè)得數(shù)據(jù)：AB＝6m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°.試求C，D間的距離．解析：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°＋90°＝150°，所以∠C＝180°－150°＝30°，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°.△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴BD＝eq\f(AB·sin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f(6×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝3＋3eq\r(3)，在Rt△BDC中，CD＝eq\f(BD,sin30°)＝6＋6eq\r(3)，即CD的長(zhǎng)為(6＋6eq\r(3))m.10．如圖，某軍艦位于島嶼A的正西方C處，且與島嶼A相距120海里．經(jīng)過偵察發(fā)覺，國(guó)際海盜船以100海里/時(shí)的速度從島嶼A動(dòng)身沿北偏東30°方向逃跑，同時(shí)，該軍艦從C處動(dòng)身沿北偏東α的方向勻速追逐國(guó)際海盜船，恰好用2小時(shí)追上．(1)求該軍艦的速度；(2)求cosα的值．解析：(1)依題意知．∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，在△ABC中，依據(jù)余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos120°＝78400，解得BC＝280.所以該軍艦的速度為eq\f(BC,2)＝140海里/時(shí)．(2)在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin120°)，即sin∠ACB＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(200×\f(\r(3),2),280)＝eq\f(5\r(3),14).∴cosα＝sin∠ACB＝eq\f(5\r(3),14).[實(shí)力提升](20分鐘，40分)11．某海輪以每小時(shí)30海里的速度航行，在點(diǎn)A測(cè)得海面上油井P在其南偏東60°方向上；海輪向北航行40分鐘后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得油井P在其南偏東30°方向上；海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達(dá)點(diǎn)C，則P，C兩點(diǎn)的距離為()A．20eq\r(7)海里B.eq\f(20\r(7),7)海里C．20eq\r(3)海里D.eq\f(20\r(3),3)海里解析：如圖，過點(diǎn)P作AB的垂線，垂足為點(diǎn)E.由題意得∠APB＝∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝30×eq\f(40,60)＝20(海里)．在Rt△PAE中，PE＝APsin60°＝10eq\r(3)(海里)；在Rt△PBE中，PB＝eq\f(PE,sin30°)＝20eq\r(3)(海里)．由已知可得∠PBC＝90°，BC＝30×eq\f(80,60)＝40(海里)，∴在Rt△PBC中，PC＝eq\r(PB2＋BC2)＝eq\r(20\r(3)2＋402)＝20eq\r(7)(海里)．答案：A12．如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測(cè)出角α，再分別測(cè)出AC，BC的長(zhǎng)b，a，則可求出A，B兩點(diǎn)間的距離．即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若測(cè)得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，則A，B兩點(diǎn)的距離為________m.解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB所以AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.所以AB＝200eq\r(7)(m)．即A，B兩點(diǎn)間的距離為200eq\答案：200eq\r(7)13．如圖，已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一座放射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100m和BN＝200m，一測(cè)量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得放射塔頂A的仰角為30°，該測(cè)量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)m后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得放射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測(cè)量tanθ＝2.求兩放射塔頂A，B之間的距離．解析：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100eq\r(3).連接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100eq\r(3)，所以△PQM為等邊三角形，所以QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))2，所以BA＝100eq\r(5).即兩放射塔頂A，B之間的距離是100eq\14．已知海島B在海島A的北偏東45°方向上，A，B相距10海里，小船甲從海島B以2海里/小時(shí)的速度沿直線向海島A移動(dòng)，同時(shí)小船乙從海島A動(dòng)身沿北偏西15°方向也以2海里/小時(shí)的速度移動(dòng)．(1)經(jīng)過1小時(shí)后，甲、乙兩小船相距多少海里？(2)在航行過程中，小船甲是否可能處于小船乙的正東方向？若可能，懇求出所需時(shí)間，若不行能，請(qǐng)說明理由．解析：(1)經(jīng)過1小時(shí)后，甲船到達(dá)M點(diǎn)，乙船到達(dá)N點(diǎn)，AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×eq\f(1,2)＝52.所以MN＝2eq\r(13).所以經(jīng)過1小時(shí)后，甲、乙兩小船相距2eq\(2)設(shè)經(jīng)過t(0<t<5)