湖南省岳陽市岳陽縣第一中學2024-2025學年高二下學期開學考試數(shù)學試題

年高二下學期數(shù)學入學試題一、單選題（共分）1.拋物線y2＝x的焦點坐標是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】可以先確定開口方向，再根據(jù)方程得的值，進而得到焦點坐標.【詳解】由y2＝x知拋物線的焦點在軸上，且開口向右，,∴，焦點坐標為，故選:B．【點睛】根據(jù)拋物線的方程求焦點坐標、準線方程時，可以總結如下：的焦點坐標,準線方程；的焦點坐標,準線方程.2.已知，，O為坐標原點，若，則點B的坐標應為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算即可求解.【詳解】,所以,所以,故選：B3.在三角形中，，，，則（）第1頁/共17頁A.10B.12C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得結果.【詳解】記，則，，，．故選：A.4.在三棱柱中，若，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算計算即可.【詳解】由題可知.故選：D5.已知四棱錐中，，，到底面的距離為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出平面的一個法向量，然后求與法向量夾角的余弦值，利用點到面的距離公式即可求解.第2頁/共17頁【詳解】設是平面的一個法向量，則由題設，即令，可得，，所以，，，，，故點到平面的距離為故點到平面的距離為，故選：D．【點睛】方法點睛：向量方法求點到面的距離設是平面的一條斜線，是平面的一個法向量，則點到平面的距離為6.在等比數(shù)列中，是方程兩根，若，則的值為（）A.B.C.3D.9【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質可得,再由根與系數(shù)的關系計算可得結果.第3頁/共17頁【詳解】由是方程兩根可得，由等比數(shù)列性質可得，解得或所以.故選：D7.已知橢圓P為橢圓C上一點，的最小值為1，且的周長為34，則橢圓C的標準方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用焦點三角形的周長為，及，結合橢圓的知識求解出橢圓方程即可.【詳解】因為的最小值為1，所以．因為的周長為34，所以，所以．因為，所以，所以橢圓C的標準方程為．故選：C.8.過拋物線的焦點F的直線l與拋物線交于ABl）A.B.C.D.【答案】C【解析】得到的斜率為0的斜率不為0時，設，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，從而列出方程，得到第4頁/共17頁，求出直線的斜率.【詳解】由題意得：，因為，則，設，則，當直線的斜率為0時，此時直線l與拋物線只有1個交點，不合要求，當直線的斜率不為0時，設，則聯(lián)立與拋物線方程，得，則，因為，故，所以，解得：，故直線l的斜率為.故選：C．二、多選題（共分）9.已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（）A.B.數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列D.【答案】ABC【解析】【分析】利用的關系求出可判斷AD；利用等比數(shù)列的定義可判斷C；由首項及公比可判斷B.【詳解】∵，∴，故A正確；當時，，∴，也適合，第5頁/共17頁∴，故D錯誤；∵，∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，故C正確；∵，公比大于1，∴數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確.故選：ABC.10.下列關于雙曲線的結論中，正確的是（）A.離心率為B.焦距為C.兩條漸近線互相垂直D.焦點到漸近線的距離為1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的基本知識對選項一一驗證即可.【詳解】雙曲線，可得，，，則雙曲線的離線率為，故A正確；焦距，故B錯誤；漸近線為與，且斜率之積為1，即兩條漸近線互相垂直，故C正確；焦點到漸近線的距離為，故D正確；故選：ACD.2的正方體中，，分別是棱，確的是（）A.，，，四點共面B.C.直線與所成角的余弦值為D.點到直線的距離為1【答案】BD第6頁/共17頁【解析】位置關系可判斷AB；根據(jù)空間角的向量求法可判斷C；根據(jù)空間距離的向量求法可判讀D.【詳解】對于A，連接，則平面，平面，平面平面，故不相交；又，,平面，故不平行，否則重合，不合題意，即為異面直線，故，，，四點不共面，A錯誤；對于B，以D為坐標原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，則，則，即，故，B正確；對于C，，則,故，而直線與所成角的范圍為，故直線與所成角的余弦值為，C錯誤；對于D，，則點到直線的距離為，D正確，第7頁/共17頁故選：BD三、填空題（共分）12.雙曲線的漸近線方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線，可得，所以雙曲線的焦點在軸上的漸近線方程為：.故答案：.13.在平面直角坐標系中，已知的頂點，，點在橢圓上，則______．【答案】【解析】【分析】由橢圓的方程可得，，的值，可知為橢圓的焦點，由正弦定理可得，再由橢圓的定義可知，進而求出它的值．【詳解】由橢圓的方程可得，，所以，所以可得為橢圓的焦點，由橢圓的定義可知，在中，由正弦定理可得．故答案為：．第8頁/共17頁14.已知圓，直線，過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的性質，得到四邊形面積，結合圓的弦長公式，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，則四邊形面積，要使得四邊形面積的最小值，只需最小，由圓心到直線的距離為，所以四邊形面積的最小值為.故答案為：.15.若數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關系求得周期為3，運算得解.【詳解】因為，，所以，，，第9頁/共17頁所以是周期為3的數(shù)列，故.故答案為：.16.設是空間中兩兩夾角都為的三條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，若，則把有序數(shù)對叫作向量在坐標系中的坐標.（1）若，且，則__________；（2）若，則三棱錐的表面積為__________.【答案】①.1②.【解析】1）由向量的線性運算和坐標系中坐標的定義，解出即可；（2）由題意，三棱錐為棱長為2的正四面體，利用面積公式求表面積即可.1）若，且，有，則；（2）依題意，，兩兩夾角為，且模都是2，則三棱錐是正四面體，則表面積.故答案為：1；四、解答題（共分）17.100180數(shù)分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，回答下列問題：第10頁/共17頁（1）算出第三組的頻數(shù)，并補全頻率分布直方圖；（2【答案】（1）272）眾數(shù)為75分，中位數(shù)75分，平均數(shù)為73.5分．【解析】1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質結合圖形即可求解；（2）根據(jù)由頻率分布直方圖計算眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的方法求解即可1）因為各組的頻率之和等于1，所以分數(shù)在內(nèi)的頻率為：，所以第三組的頻數(shù)為完整的頻率分布直方圖如圖，（2）因為眾數(shù)的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點，從圖中可看出眾數(shù)的估計值為75分；因為，，所以中位數(shù)位于上，所以中位數(shù)的估計值為：；又根據(jù)頻率分布直方圖，樣本的平均數(shù)的估計值為：所以，樣本的眾數(shù)為75分，中位數(shù)75分，平均數(shù)為73.5分．18.已知命題“存在”，命題“曲線表示焦點在軸上的橢圓”，命題（1）若“且”是真命題，求的取值范圍；第11頁/共17頁（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】1）若p為真：△≥0；若q為真：則，若“p且q”是真命題，求其交集2）由q是r的必要不充分條件，則可得（t，t+1）?（1，21）若為真：解得若為真：則解得若“且”是真命題，則解得（2）由是的必要不充分條件，則可得即（等號不同時成立）解得考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復合命題的真假19.圓的圓心為，且過點.（1）求圓的標準方程；（2）直線：與圓交，兩點，且，求.【答案】（1）（2）1或【解析】【分析】(1)利用兩點間距離公式求出圓的半徑，寫出圓的標準方程；第12頁/共17頁(2)求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列出方程，求出.【小問1詳解】因為圓半徑，所以圓的標準方程為：.【小問2詳解】設圓心到直線：的距離為，則，由垂徑定理可得，即，解得或.20.已知雙曲線的漸近線為，焦點到漸近線的距離是．（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點A、B，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】1可得c即可求得雙曲線方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關于的一元二次方程，寫出韋達定理，然后表示出的中點坐標，代入圓的方程計算．【小問1詳解】第13頁/共17頁解：由題知，，設右焦點，取一條漸近線，則焦點到漸近線的距離，，從而，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】解：設，，由，得，則，，所以，則中點坐標為，代入圓，得，所以．21.已知數(shù)列滿足，且點在直線上.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列前項和為，求能使對恒成立的（）的最小值.【答案】（1）（2）5【解析】1）由題設易得為等差數(shù)列，即可求其通項公式；第14頁/共17頁（2的通項分析可通過裂項相消法求前項和恒成立問題轉化為求的最大值或上界問題即得.【小問1詳解】點在直線上，得，所以數(shù)列是以首項為，公差為2的等差數(shù)列．故，即．【小問2詳解】，所以即，因，故，故要使對恒成立，需使，即，又，所以的最小值為5.22.在三棱臺中，平面，，，，為中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．第15頁/共17頁【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1的中點，證明四邊形為平行四邊形，推出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結論；（2）建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案