2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：全等與相似模型之半角模型解讀與提分訓(xùn)練（原卷版+解析）

專(zhuān)題21全等與相似模型之半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類(lèi)問(wèn)題就信心更足了。本專(zhuān)題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型

........................................................................................................................................................1

模型1.半角模型（全等模型）................................................................1

模型2.半角模型（相似模型）................................................................7

習(xí)題練模型］

12

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

例題講模型|］

模型1.半角模型（全等模型）

模型解讀

半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點(diǎn)，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過(guò)旋

轉(zhuǎn)，可將角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等三角形的幾何模型。

模型證明

1）正方形半角模型

條件：四邊形ABC。是正方形，Z￡CF=45°；結(jié)論：①△8CE絲△DCG；②ACEF出ACGF；?EF=BE+

DF-,④AAEP的周長(zhǎng)=2A&⑤CE、CF分別平分乙8￡/和/￡口）。

證明：將ACBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ACDG,即ACBE四△CDG,

/.ZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG；

?.?A8CD是正方形，AZB=ZCDF=ZBCD=90°,BA=DA；：.ZCDG+ZCDF=l80°,故F、D、G共線。

VZECF=45°,：.ZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,：.ZECF=ZGCF=45°,

?：CF=CF,：.ACEF^/\CGF,:.EF=GF,'：GF=DG+DF,:.GF=BE+DF,:.EF=BE+DF,

：.\AEFK-^=EF+AE+AF=BE+DF+AE+AF=AB+AD=2AB,過(guò)點(diǎn)C作CHIEF,貝!|/CHE=90°,

■:XCEF妾XCGF,（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用乩證得：XCBEW4CHE,

：.ZHEC=ZCBE,同理可證：ZHFC=ZDFC,即CE、CF分別平分/8所和NEF。。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AABC是等腰直角三角形（/8AC=90。，AB=AC）,ZDA￡=45O；

結(jié)論：①△BA。gZkCAG；②ADAE咨AGAE；③NECG==90°；?DE2=BD2+EC2；

證明：將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A4CG,即ABADgZkCAG,

ZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG；

ZDAE=45°,ZBAD+ZEAC^45°,：.ZCAG+ZEAC=ZGAE=45°,：.ZDAE=ZGAE=45°,

'：AE=AE,；.ADAEmAGAE,:.ED=EG,：AABC是等腰直角三角形，AZACB=45°,：.ZECG=90°,

：.GE2=GC2+EC2,：.DE2=BD2+EC2；

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

A

條件：AABC是等邊三角形，A8OC是等腰三角形，MBD=CD,ZBDC=120°,Z￡Z)F=60°；

結(jié)論：①4BDE沿ACDG；②AEDFmAGDF；③EF=BE+CF；④A4EP的周長(zhǎng)=242；

⑤DE、DF分別平分和ZEFCo

證明：將ADBE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至ADCG,即△BDE2ZXCDG,

AZEDB=ZGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

VZBDC=nO°,ZEDF=60°,：.ZBDE+ZCDF=60°,：.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,

,:DF=DF,：.4EDF"AGDF,：.EF=GF,,:GF=CG+CF,：.GF=BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF的周長(zhǎng)=EF+AE+AF=JBE+CF+4E+AF=4B+AC=2AB,

過(guò)點(diǎn)D作DM±GF,則/￡＞處'=N￡)MF=90°,

V^EDF^AGDF,(全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等)，再利用HL證得：XDHF”ADMF,

：.ZHFD=ZMFD,同理可證：ZBFD=ZFED,BPDE,￡)/分別平分和NEFC。

4)等邊三角形半角模型(60。-30。型)

條件：AABC是等邊三角形，Z￡A￡)=30°；

結(jié)論：①ZXBDA咨ACFA；②△DAE04FAE；③/ECF=120°；@DE2=(^BD+EC)2+^H-BD

證明：將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AACP,即AR4。絲△◎廠,

/.ZBAD=ZCAF,/B=/FCA=60°,AD=AF,BD=CF；

VZDAE=30°,：.ZBAD+ZEAC=30°,：.ZCAF+ZEAC^ZFAE^3Q°,：.ZDAE=ZFAE^3QO,

'：AE^AE,：.ADAE^/\FAE,；.ED=EF,是等邊三角形，AZACB=60°,/EC尸=120°,

-入11A/3A/3

過(guò)點(diǎn)F作FHJLBC,/.ZFCH=60°,NCFH=30°,；.CH=-CF=—BD,FH=-CF=-BD,

2222

:在直角三角形中：FE2=Ff12+EH2,DE2=（-BD+EC）2+（—BD）2；

22

5）任意角度的半角模型（2a-e型）

條件：ZBAC=2a,AB=AC,

結(jié)論：①△BAO0ZkCAF；②AEAD2EAF；③/ECF=180°-2a。

證明：將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針a。至AACR即

/.ZBAD=ZCAF,ZB=ZBCA=ZFCA^90°-a,AD^AF,BD=CF；：.ZECF=ZBCA+ZFCA^180°-2a0

VZBAC=2a,ZDAE=a,：.ZBAD+ZEAC=a,：.ZCAF+ZEAC=ZFAE=a,：.ZDAE=ZFAE^a,

'：AE=AE,:.ADAE沿△FAE。

模型運(yùn)用

例1.（2023?廣東廣州?二模）在正方形ABCO中，點(diǎn)E、歹分別在邊3C、CD且ZE4F=45。，連接族.

（1）如圖1,若BE=2,DF=3,求E/的長(zhǎng)度；（2）如圖2,連接3。，3。與AF、AE分別相交于點(diǎn)M、N,

若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,BE=2,求Db的長(zhǎng)；（3）判斷線段3N、MN、三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明

你的結(jié)論.

圖1圖2

例2.（23-24八年級(jí)下?四川達(dá)州?階段練習(xí)）倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出

題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑.

（1）【問(wèn)題背景】已知：如圖1,點(diǎn)E、尸分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，ZE4F=45°,連接班，則

EF、BE、。戶(hù)之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（分析：我們把△AZ）/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AASG,點(diǎn)G、B、C在一條直線上.）

于是易證得：AADF=JO_^AEF,所以EF=_.

直接應(yīng)用：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,CF=4,則族的值為

（2）【變式練習(xí)】已知：如圖2,在中，AB^AC,D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且ND4E=45。，請(qǐng)

寫(xiě)出BDDE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，當(dāng)NZME繞著點(diǎn)A逆時(shí)針一定角度后，點(diǎn)。落在線段2C上，點(diǎn)E落

在線段BC的延長(zhǎng)線上，如圖3,此時(shí)（2）的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的結(jié)論.

例3.（23-24九年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期中）如圖，在VABC中，AB=AC,NBAC=120。，點(diǎn)。、E都在邊8c

上，NBAD=15°,ZZ）A￡=60°.若DE=3,則AB的長(zhǎng)為.

例4.（23-24九年級(jí)上?江西南昌?期中）（1）如圖①，在直角VABC中，ABAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。為

邊上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)8不重合），連接AD,將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ACE,那么CE/D之間

的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖②，在VABC中，NA4c=90。，AB^AC,

D,E（點(diǎn)、D,E不與點(diǎn)8,C重合）為BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且NZME=45。.求證：BD2+CE2=DE2.（3）如圖

③，在VA3c中，ZCAB=120°,AB=AC,ZDAE=6O°,BC=3+^,D,E（點(diǎn)，E不與點(diǎn)2,C重

合）為BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若以RD,DEEC為邊長(zhǎng)的三角形是以RD為斜邊的直角三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng).

例5.（2024?江西?九年級(jí)期中）（1）【特例探究】如圖1,在四邊形中，AB=AD,ZABC=ZADC=90°,

ZBAD=100°,ZEAF=50°,猜想并寫(xiě)出線段BE,DF,所之間的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想；

（2）【遷移推廣】如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZABC+ZADC=180°,請(qǐng)寫(xiě)

出線段BE,DF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,在海上軍事演習(xí)時(shí)，艦艇在指揮中心（O處）北偏東20。的A處.艦艇乙在指揮

中心南偏西50。的8處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正西方向以80海

里/時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏西60。的方向以90海里/時(shí)的速度前進(jìn)，半小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、

乙兩艦艇分別到達(dá)C,。處，且指揮中心觀測(cè)兩艦艇視線之間的夾角為75。.請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)兩艦艇之間的

距離.

例6.（2022?湖北十堰?中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形A3CD中，AB=AD,NB+NO=180。，點(diǎn)E,

產(chǎn)分別在3C,CO上，若NBAD=2/EAF,則=

【解決問(wèn)題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形ABCD.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路AZ）,A3上分別有景點(diǎn)M,N,且￡）M=100m,

2N=50（g-l）m,若在M,N之間修一條直路，則路線MfN的長(zhǎng)比路線M->AfN的長(zhǎng)少

m（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：鳳

模型2.半角模型（相似模型）

模型解讀

半角模型特征：①共端點(diǎn)的等線段；②共頂點(diǎn)的倍半角；

半角模型輔助線的作法：由旋轉(zhuǎn)（或翻折）構(gòu)造兩對(duì)全等，從而將邊轉(zhuǎn)化，找到邊與邊的關(guān)系（將分散的

條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)）。

常見(jiàn)的考法包括：90。與45。（正方形、直角三角形）；120。與60。（等邊三角形）等。

模型證明

1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）

條件：已知，如圖，在正方形ABC。中，/EAF的兩邊分別交BC、邊于M、N兩點(diǎn)，且/胡尸=45。

結(jié)論：如圖1,4MDAs4MANsAABN；

圖1

證明：?.?ABC。是正方形，...NADW=45。，\'ZEAF=45°,：.ZADM=ZEAF,

VZAMD=ZNMA,：.^MDA^/\MAN,同理：4MANs^ABN,：.^MDA^AMAN^^ABN；

結(jié)論：如圖2,ABMEsAAMNsADFN.

證明：?.?A8CO是正方形，:.NNDF=45°,,：ZEAF=45°,：,ZNDF=ZEAF,

'：ZDNF=ZANM,：.^AMN^/\DFN,同理：ABMES^AMN,：.ABMES叢AMNS/\DFN；

且喘噬嗡s

結(jié)論：如圖3,連接AC,則△AMBs"FC,AANDS^AEC.

圖3

AC

證明：???ABC。是正方形,ZBAC=ZABC=ZACF=45°,忘，/.ZBAM+ZMAC=45°,

AB

He

VZEAF=45°,：.ZFAC+ZMAC=45°,：.ZBAM=ZFAC,：.^AMB^AAFC,

AMAB

…n人—AEACr-AFAEACr-

同理:△A7VZ)0°/\A.ECf-----=-----=J2；即nn------=-----=-----={2°

ANABAMANAB

結(jié)論:如圖4,AAMNs^AFE且也=些=生=插.

AMANMN

證明:\'ABCD是正方形，；.AB〃CD,:./DFA=NBAN；VZAFE=ZAFD,ZBAN=ZAMD,：.ZAFE=

/AMN；

ApAr.AFAE『3。

又/MAN=/FAE,:?叢AMNsAAFE,由圖3證明知：——二——=——二夜，

AMANABAMANMN

2）半角模型（含120.60。半角模型）

條件：如圖5,已知NBAC=120。，ZADE=ZDAE=60°；

結(jié)論：@LABD^ACAE^ACBA；②絲=笠=生；③AD，AE=BD-CE(DE2=BDCE)o

BDAEAB

證明："：ZADE^ZDAE^60°,：.ZADE=6Q°,：.ZADB=120°,VZBAC=120°,ZADB^ZBAC,

?ADBD日口ADAC

ZABD=ZCBA,：.4ABDs△CBA；>?----------------,0：--------=---------

ACABBDAB

同理：bCAEsbCBA,???烏=空，即：曰=芷，即：AABD^△CAE^△CBA；—=—=

ACABAEABBDAEAB

；?ADAE=BDCE,丁AD=AE=DEf：.DE?=BDCE

模型運(yùn)用

例1.（23-24九年級(jí)上?廣東深圳?期中）如圖,在正方形ABCD中，及尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且NEAF=45。,

AE,AF分別交8。于M、N,連按EMEF,有以下結(jié)論：①LABMsANEM；②△AEN是等腰直角三角

BFr-2

形；③當(dāng)AE=A/時(shí)，—=2-V2；@BE+DF=EF；⑤若點(diǎn)尸是QC的中點(diǎn)，貝|CE=：C8.

EC3

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

例2.（23-24九年級(jí)上.河北唐山?階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，如

圖1所示，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線上，NBAC=ZAED=90°,AB=AE=2也.若將AABC

固定不動(dòng)，把VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0。＜。＜90。），此時(shí)線段A。，射線AE分別與射線BC交于點(diǎn)

N.⑴當(dāng)VADE旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①求證：AABNs^MAN；

②在圖2中除△ABN外還有哪些相似三角形，直接寫(xiě)出；③如圖2,若8M=1，求3N的長(zhǎng)；

（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若=請(qǐng)直接寫(xiě)出CN的長(zhǎng)（用含d的式子表示）.

AA

例3.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖，等腰RtZXABC中，AB=AC,ABAC=90°,D、E在線段BC上,

且NZME=45。，BC=12,BD=3,求OE的長(zhǎng).

（2）如圖，在AABC中，AB=AC,如果NBAC=120。，。在直線8C上，E在5。上，。在E的右側(cè)，

ZZME=60°,若BC=12,CD=2,求DE的長(zhǎng).（3）如圖，在44BC中，若/R4C=2&,D、E是線段BC

上的兩點(diǎn)，ZEAD=a,AC=kAB,AD=&AE,探究8E與8的數(shù)量關(guān)系.

例4.（2023?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考二模）在菱形A8CD中，/3=60。.點(diǎn)E,P分別在邊8C,CD±,且8E=b.連

接AE,AF.（1）如圖1,連接跖，求證：△AEF是等邊三角形；（2）AG平分S4F交8C于點(diǎn)G.

①如圖2,AG交所于點(diǎn)“，點(diǎn)N是8C的中點(diǎn)，當(dāng)8E=4時(shí)，求MN的長(zhǎng).

②如圖3,。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AG上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)H與點(diǎn)A,點(diǎn)G不重合）.當(dāng)AB=12,3E=4時(shí),

是否存在直線OH將"CE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3.若

AJ-I

存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出前的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2圖3

例5.（2024?山東煙臺(tái).一模）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊3C、C￡＞上，連結(jié)AM、AN、

MN./MAN=45°,將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,點(diǎn)。與點(diǎn)8重合,得到&ABE.易證：4ANM經(jīng)4ANE,

從而得DM+BN=MN.

【實(shí)踐探究】⑴在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形ABC￡＞的邊長(zhǎng)是.

(2)如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊C。、A3上，且BN=DM.點(diǎn)、E、尸分別在8M、DN上,ZE4F=45。，

連接所，猜想三條線段砂、BE、叱之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【拓展應(yīng)用】(3)如圖③，在矩形ABC￡＞中，AB=6,AD=8,點(diǎn)M、N分別在邊。C、3C上，連結(jié)AM,

AN,已知NM4N=45。，BN=2,求DM的長(zhǎng).

圖(2)

習(xí)題練模型

1.（2024?福建南平?二模）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,E,尸分別是AB,BC邊上的點(diǎn)，且ZEZ*=45。,

將AZME1繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得至若AE=2,則E似的長(zhǎng)為（）

C.6D.6.5

2.（2024?重慶?一模）如圖，正方形ABCD中，E是8c上一點(diǎn)，尸是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DF,連接

AE,AF,EF,G為E尸中點(diǎn)，連接AGDG.若=則()

A.45°--aB.30°-aC.450-aD.a

2

3.（2023?江蘇宿遷?三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形Q4BC,點(diǎn)A,C分別在y軸，x軸的正半軸上,

OA=6,OC=4,ZDOE=45°,OD、O￡分別交8C,A3于點(diǎn)￡＞、E,且CD=2,則AE的長(zhǎng)為()

A.1B.1.5C.2D.2.5

4.（23-24九年級(jí)下?湖北襄陽(yáng)?期中）如圖所示，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,

E在線段0。上，連接CE,作所，CE交A2于點(diǎn)F連接C尸交于點(diǎn)則下列結(jié)論：①EF=EC；

@CF2=CGCA；③BE-DH=16；④若跖=1,則。石=：點(diǎn)，正確的是（）

AD

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

5.（2024.山東淄博.二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M在CB延長(zhǎng)線上，〃0=1,作

NMAN=45。交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則的長(zhǎng)為

6.（2024吉林?二模）已知：正方形ABCQ中，NM4N=45。，它的兩邊分別交CB,OC于點(diǎn)M,N,

于點(diǎn)H,連結(jié)BH,則下列結(jié)論：①BM+DN=MN；②AABMm&ADN；③

CNr-

ZBAM=ZBHM；④當(dāng)BM=DN時(shí)，—-=V2,其中結(jié)論一定正確的序號(hào)是_______.

DN

7.（2023?山西晉城?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AD=9,AB=6,E,尸分別為，CO邊上

的點(diǎn).若ZE4F=45。，AE=3下,則￡＞尸的長(zhǎng)為.

AT）Q

8.（2023?上海寶山??？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，NDAE=NB=30。,且——=-,

AE2

那么D處F的值是

BC

9.（23-24九年級(jí)上?黑龍江綏化?期中）已知四邊形中，ABLAD,BC1CD,AB=BC,ZABC=120°,

ZMBN=60。，繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E,F.當(dāng)NMBN統(tǒng)B

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)，如圖1,易證=（不用證明）（1）當(dāng)NA仙N繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEwCF時(shí)，

如圖2,（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；（2）當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEwCF時(shí)，如圖3,（1）

中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE,CF,族又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給予證明.

（圖1）（圖2）

10.實(shí)踐與探究：小明在課后研究正方形與等腰直角三角形疊放后各個(gè)線段間的數(shù)量關(guān)系.已知正方形

ABCD的邊長(zhǎng)為6,等腰RMAEF的銳角頂點(diǎn)A與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合,將此三角形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，AE,

AF兩邊分別交直線BC,CD于M,N,旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰心AAEF的邊防與正方形沒(méi)有交點(diǎn).

（1）如圖1,當(dāng)M,N分別在邊3C,CO上時(shí)，小明通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)+=他給出了如下的證明：

過(guò)A作AG,AM交CO延長(zhǎng)線于G,連接AG,如圖2,易證則有3M=OG.請(qǐng)你幫助

小明后續(xù)證明；

（2）如圖3,當(dāng)M,N分別在2C,CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BM,DN,之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰直角三角形的一邊正好經(jīng)過(guò)正方形邊上的中點(diǎn)P,求出此時(shí)的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

11.（2024.重慶市育才中學(xué)二模）回答問(wèn)題

（1）【初步探索】如圖1：在四邊形48CD中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、/分別是BC、CD上的點(diǎn)，

MEF=BE+FD,探究圖中/BAE、ZFAD,2E4/之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)陽(yáng)到點(diǎn)G,使DG=BE.連接AG,先證明"BE絲AWG,再證明AAEF

^AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

（2）【靈活運(yùn)用】如圖2,若在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E、尸分別是BC、C￡）上的點(diǎn)，

且EF=BE+FD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCQ中，ZABC+ZADC=180°,AB=AD,若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸

在C。的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足請(qǐng)直接寫(xiě)出/EAF與/D4B的數(shù)量關(guān)系.

Qc

12.（2024?山西呂梁?九年級(jí)?？计谥校┰诰毩?xí)課上，慧慧同學(xué)遇到了這樣一道數(shù)學(xué)題：如圖，把兩個(gè)全等

的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形ACB。，ZACD=30°,以。為頂點(diǎn)作交邊AC,BC于

點(diǎn)、M,N,/MDN=60°,連接MN.

探究AM,MN,8N三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

慧慧分析：可先利用旋轉(zhuǎn)，把其中的兩條線段“接起來(lái)”，再通過(guò)證明兩三角形全等，從而探究出AM,MN,

BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

慧慧編題：在編題演練環(huán)節(jié)，慧慧編題如下：

如圖(1),把兩個(gè)全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形AC8D,ZACZ)=45°,以。為頂點(diǎn)作/

MDN,交邊AC,BC于點(diǎn)N,ZMDN=-ZADB,連接MN.

2

(1)先猜想AM,MN,BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，再證明.

(2)NMDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),當(dāng)M,N分別在C4,8C的延長(zhǎng)線上，完成圖(2),其余條件不變，直接寫(xiě)出

AM,MN,BN三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

請(qǐng)你解答：請(qǐng)對(duì)慧慧同學(xué)所編制的問(wèn)題進(jìn)行解答.

13.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E、/分另ij是3C、CD上的點(diǎn)，且ZE4F=45。，

AE.Ab分別交3D于點(diǎn)N,連接EN,EF.(1)如圖①，試探究AN和EN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)

如圖②，若點(diǎn)G是跖的中點(diǎn)，連接NG,求證：NG//DF-,(3)在(2)的條件下，若DN=NG,求△但1

的面積.

14.（2024.江西南昌?模擬預(yù)測(cè)）【模型建立】⑴如圖1,在正方形ABCD中，E,P分別是邊BC,CO上的

點(diǎn)，且ZE4F=45。，探究圖中線段所，BE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

小明的探究思路如下：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G,使3G=￡＞尸，連接AG,先證明AADP絲”LBG,再證明

△AEF當(dāng)AAEG.①EF,BE,。歹之間的數(shù)量關(guān)系為；

②小亮發(fā)現(xiàn)這里AABG可以由△A所經(jīng)過(guò)一種圖形變換得到，請(qǐng)你寫(xiě)出這種圖形變換的過(guò)程.像

上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱(chēng)為半角模型.

【類(lèi)比探究】（2）如圖2,在四邊形中，AB=AD,NABC與ND互補(bǔ)，E,尸分別是邊BC,CDh

的點(diǎn)，且=試問(wèn)線段跳B(niǎo)E,之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？判斷并說(shuō)明理由.

【模型應(yīng)用】（3）如圖3,在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，AD=6,AB=4,ZG4E=45°,求CE的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

15.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）在一堂平面幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：

【問(wèn)題情境】如圖1，在AABC中，ZSAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。、E在邊上，且//ME=45。，BD=3,

CE=4,求Z）E的長(zhǎng).

解：如圖2,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△AGO"連接EZX.

由旋轉(zhuǎn)的特征得/BAD=/C4Z7,NB=ZACD,AD=AD'?BD=CD'.

VABAC=90°,ZDAE=45°,：.ZBAD+ZEAC=45°.

,：ZBAD=ZCAD',：.ZCAD'+ZEAC=45°,即/EAD'=45°.ZDAE=ZD'AE.

在A/ME和ADAE中，AD=AD'>ZDAE=ZD'AE,AE=AE,?.:.DE=D'E?

又,?/ECD'=ZECA+ZACD'=ZECA+ZB=90°,；.在RtAECD,中，②.

VCD'=BD=3,CE=4,

圖1圖2

:.DE=D'E=③.

【問(wèn)題解決】上述問(wèn)題情境中，“①”處應(yīng)填：；“②”處應(yīng)填：；“③”處應(yīng)填：.

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以

不變應(yīng)萬(wàn)變.

【知識(shí)遷移】如圖3,在正方形ABC。中，點(diǎn)E、歹分別在邊3C、CD上，滿足△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD

的周長(zhǎng)的一半，連結(jié)AE、AF,分別與對(duì)角線3。交于M、N兩點(diǎn).探究8M、MN、ZW的數(shù)量關(guān)系并證明.

【拓展應(yīng)用】如圖4,在矩形ABCD中，點(diǎn)￡、F分別在邊3C、CD上，且NE4F=NCEF=45。.探究

BE、EF、小的數(shù)量關(guān)系：（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）.

【問(wèn)題再探】如圖5,在443C中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)。、E在邊AC上，且NDBE=45。.設(shè)

AD=x,CE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

A

16.（2024?吉林長(zhǎng)春?一模）【問(wèn)題提出】如圖①，在正方形ABC￡＞中，M、N分別是邊A3和對(duì)角線上

的點(diǎn)，NMCN=45°,從而△ACMs/^DCZV,——=______.

DN

【思考探究】如圖②，在矩形ABCD中，ZS4c=60。，AB=3,M,N分別是邊。C和對(duì)角線3D上的點(diǎn),

ZMAN=60°,若。W=l,求BN的長(zhǎng).

【拓展延伸】如圖③，在菱形ABCD中，AB=13,對(duì)角線AC=10,DEL5c交2C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,M、

N分別是菱形高DE和對(duì)角線AC上的點(diǎn)，tanZMBN=^~,AN=3,直接寫(xiě)出DM的長(zhǎng).

17.（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,歹分別在邊A3和對(duì)

角線AC上，ZEDF=45°,求證：BE=V2CF.

【嘗試應(yīng)用】⑵如圖②，在矩形ABCD中，AB=3,A￡>=4,點(diǎn)E,尸分別在邊A3和對(duì)角線AC上，

NEDF=/BAC,AE=1,求CF的長(zhǎng).

【拓展提高】（3）如圖③，在菱形ABCD中，AB=5,AC=6,點(diǎn)E,尸分別在邊A3和對(duì)角線AC上,

tanZE￡>F=-,CF=1,DE,CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,請(qǐng)直接寫(xiě)出DG的長(zhǎng).

4

18.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個(gè)含有45。角的三

角尺放在正方形A3CD中，使45。角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)C重合，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，45。角的兩

邊CM,CN始終與正方形的邊AO,AB所在直線分別相交于點(diǎn)N,連接MN,可得ACWN.

【探究一】如圖②，把VCDM繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ACB”,同時(shí)得到點(diǎn)H在直線AB上.求證:

ZCNM=ZCNH；

【探究二】在圖②中，連接3。，分別交CM,CN于點(diǎn)E,F.求證：ACEFsMNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線8D與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點(diǎn)E,F.連

接AC交加于點(diǎn)。，求器的值.

圖②圖③

圖①

專(zhuān)題21全等與相似模型之半角模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。全等三角形、相似三角形與其它知

識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，

熟練掌握基本解題模型，再遇到該類(lèi)問(wèn)題就信心更足了。本專(zhuān)題就半角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方

便掌握。

目錄導(dǎo)航］

例題講模型］

1-------------------------1........................................................................................................................................................1

模型1.半角模型（全等模型）.................................................................1

模型2.半角模型（相似模型）.................................................................7

習(xí)題練模型］

.......................................................................................................................................................12

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

例題講模型1

模型1.半角模型（全等模型）

模型解讀

半角模型概念：半角模型是指是指有公共頂點(diǎn)，較小角等于較大角的一半，較大的角的兩邊相等，通過(guò)旋

21

轉(zhuǎn)，可將角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等三角形的幾何模型。

模型證明

1）正方形半角模型

條件：四邊形是正方形，Z￡CF=45°；結(jié)論：①△BCEgZkQCG；②△CEP之ZkCGF；?EF=BE+

DF-,④AAEf的周長(zhǎng)=2A8；⑤CE、C尸分別平分/8EF和/E/*。

證明：將ACBE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至ACOG,BPACBE^ACDG,

/.ZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG；

；ABC。是正方形，；.NB=/CDF=NBCD=90。,BA^DA-,：.ZCDG+ZCDF^1SO°,故尸、D、G共線。

VZ￡CF=45°,：,ZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,：.ZECF=ZGCF=45°,

'：CF=CF,.,.△CEF^ACGF,:.EF=GF,'：GF=DG+DF,：.GF=BE+DF,：.EF=BE+DF,

：.\AEFW^z=EF+AE+AF=BE+DF+AE+AF=AB+AD=2AB,過(guò)點(diǎn)C作CHLEF,貝l|/CHE=90°,

VAC￡F^ACGF,，Cr>=CH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用證得：4CBE冬ACHE,

：.ZHEC=ZCBE,同理可證：ZHFC=ZDFC,即CE、C尸分別平分/8EP和NEED。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AA8C是等腰直角三角形（/BAC=90。，AB=AC）,ZDA￡=45°；

結(jié)論：①△R4。2△CAG；②△ZME之△GAE；③NECG==90°；@DE2^BD2+EC2；

證明：將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AACG,即△BA￡）gZ\C4G,

AZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG；

VZDAE=45°,：,ZBAD+ZEAC=45°,：.ZCAG+ZEAC=ZGAE=45°,：.ZDAE=ZGAE=45°,

'：AE=AE,.?.△DAE^AGAE,：.ED=EG,：AABC是等腰直角三角形，/.ZACB=45°,.,.ZECG=90°,

...GE2^GC2+EC2,：.DE2=B》+EC2；

22

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：A4BC是等邊三角形，A8OC是等腰三角形，S.BD=CD,ZBDC=120°,NEDF=6Q°；

結(jié)論：①ABDE2ACDG；②4EDF學(xué)AGDF；③EF=BE+CF；④AAEF的周長(zhǎng)=2A&

⑤DE、DF分別平分N3EF和NEFC。

證明：將AOBE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至AOCG,即△BDEgZkCZJG,

：./EDB=NGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

VZBDC=nO°,ZEDF=6Q°,：.ZBDE+ZCDF=6Q°,：.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,

?：DF=DF,；.4EDF烏AGDF,：.EF=GF,,：GF=CG+CF,；.GF=BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF^J^-^z=EF+AE+AF=BE+CF+AE+AF=AB+AC=2AB,

過(guò)點(diǎn)。作。DM±GF,貝

?：4EDF沿AGDF,（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），再利用乩證得：ADHFmADMF,

：.ZHFD=ZMFD,同理可證：ZBFD=ZFED,即。E、。/分別平分NBEF和/EFC。

4）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

條件:AABC是等邊三角形，ZEAD=30°；

\2

①ABDA這ACFA；②△ZME會(huì)△/?!￡；③NEC尸=120°；④。仔=（18。+石。2+

結(jié)論:BD

2

證明:將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至AAC尸，即△54。絲△CAR

AZBAD=ZCAF,ZB=ZFCA^6Q°,AD=AF,BD=CF；

23

VZDAE=30°,：.ZBAD+ZEAC^O°,：.ZCAF+ZEAC=ZFAE^Q°,：.ZDAE=ZFAE^30°,

'：AE^AE,；.ADAE咨△FAE,:.ED=EF,:AA8C是等邊三角形，/.ZACB=60°,AZ￡CF=120°,

11

過(guò)點(diǎn)尸作切IBC,ZFCH=60°,NCFH=30°,:.CH=-CF=-BD,所”*

22

:在直角三角形中：FE2=FH2+EH2,：.DE2=（-BD+EC）2+（—BD）2；

22

5）任意角度的半角模型（2e-a型）

結(jié)論：①△54。之△CAB②LEAD絲AEAF；③NECP=180°-2c。

證明：將AABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針a。至AACR即ABA￡)0Z\C4R

ZBAD=ZCAF,ZB=ZBCA=ZFCA^90°-a,AD^AF,BD=C