2023七年級數(shù)學下冊 第9章 分式9.3 分式方程第1課時 分式方程的概念和解法教學實錄 （新版）滬科版

2023七年級數(shù)學下冊第9章分式9.3分式方程第1課時分式方程的概念和解法教學實錄（新版）滬科版授課內容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學內容分析1.本節(jié)課的主要教學內容：本節(jié)課主要講解分式方程的概念和解法，包括分式方程的定義、解分式方程的基本步驟和方法。

2.教學內容與學生已有知識的聯(lián)系：本節(jié)課與七年級上冊學習的分式和方程知識緊密相關，學生需要回顧分式的概念和方程的解法，以便更好地理解和掌握分式方程的解法。教材內容涉及滬科版七年級數(shù)學下冊第9章分式9.3節(jié)。核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，通過分式方程的概念和解法的學習，使學生能夠運用數(shù)學語言表達數(shù)學問題，形成嚴密的邏輯思維。

2.提升學生的數(shù)學建模能力，讓學生能夠將實際問題轉化為分式方程，學會運用數(shù)學模型解決實際問題。

3.增強學生的數(shù)學運算能力，通過解分式方程的練習，提高學生準確、快速進行數(shù)學運算的能力。重點難點及解決辦法重點：

1.分式方程的概念：理解分式方程的定義，識別分式方程的形式。

2.分式方程的解法：掌握分式方程的解法步驟，能夠正確求解分式方程。

難點：

1.分式方程的變形：在解分式方程時，對分母的處理和化簡可能對學生造成困難。

2.解分式方程的準確性：在求解過程中，學生可能因為計算失誤而無法得到正確答案。

解決辦法：

1.通過實例講解和練習，幫助學生理解分式方程的定義和形式，強化概念。

2.采用逐步分解的方法，引導學生逐步完成分式方程的變形，包括通分、去分母等步驟。

3.強化計算訓練，通過大量的練習題，提高學生的計算準確性和速度。

4.采用小組合作學習，讓學生在互相討論中解決問題，共同突破難點。教學方法與策略1.采用講授法結合例題分析，引導學生理解分式方程的概念和解法步驟。

2.設計小組討論活動，讓學生通過合作解決實際問題，加深對分式方程解法的理解。

3.利用多媒體展示分式方程的圖形變化，幫助學生直觀理解分式方程的解法過程。

4.設計“分式方程挑戰(zhàn)賽”游戲，激發(fā)學生的學習興趣，提高課堂參與度。教學過程1.導入新課

（教師）：同學們，我們已經學習了分式的概念和性質，今天我們要進一步探討分式方程。請大家打開課本第9章分式9.3節(jié)，我們先來回顧一下分式的概念。

（學生）：分式是由分子和分母組成的，分母不能為零。

（教師）：很好，分式的概念我們已經很熟悉了。那么，什么是分式方程呢？今天我們就來探究這個問題。

2.探究分式方程的概念

（教師）：請大家閱讀課本中的定義，并嘗試用自己的話來解釋一下分式方程。

（學生）：分式方程是指含有分式的方程，其中至少有一個分母不為零。

（教師）：非常好，大家已經能夠用自己的語言來描述分式方程了。接下來，我們來看一些具體的例子。

（教師）：請看這個例子：$\frac{2}{x}+1=3$。這是一個分式方程，因為它包含了分式$\frac{2}{x}$。

（學生）：是的，這個方程中分母$x$不能為零。

（教師）：很好，我們再來舉一個例子：$\frac{x-1}{x+2}=\frac{3}{4}$。這個方程也是分式方程。

（學生）：我明白了，分式方程的關鍵是有分式存在。

3.分式方程的解法步驟

（教師）：現(xiàn)在我們已經了解了分式方程的概念，接下來我們來學習解分式方程的步驟。

（教師）：首先，我們要去分母，將分式方程轉化為整式方程。這個過程通常是通過乘以分母的公倍數(shù)來實現(xiàn)的。

（學生）：哦，我明白了，就是找到一個分母的公倍數(shù)，然后兩邊都乘以這個公倍數(shù)。

（教師）：是的，這樣就可以消去分母，得到一個整式方程。

（教師）：然后，我們要解這個整式方程，得到未知數(shù)的值。

（學生）：然后我們檢驗一下這個值是否滿足原方程。

（教師）：對，檢驗是非常重要的步驟，它確保我們的解是正確的。

4.實例解析

（教師）：現(xiàn)在我們來解析一個具體的例子。

（教師）：請看這個例子：$\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x-2}$。

（學生）：我們需要先去分母，然后解方程。

（教師）：很好，我們先找到分母的公倍數(shù)，這里是$x(x-2)$。然后兩邊都乘以$x(x-2)$。

（學生）：$\frac{3x}{x-2}-\frac{x-2}{x}=\frac{x}{x-2}$。

（教師）：接下來，我們化簡這個方程。

（學生）：$3x^2-3x-(x^2-2x)=x$。

（教師）：很好，繼續(xù)化簡。

（學生）：$2x^2-x=x$。

（教師）：現(xiàn)在我們得到一個一元二次方程，我們可以解這個方程。

（學生）：$2x^2-2x=0$。

（教師）：這是一個簡單的一元二次方程，我們可以通過因式分解來解它。

（學生）：$2x(x-1)=0$。

（教師）：所以，$x=0$或$x=1$。

（教師）：現(xiàn)在我們需要檢驗這兩個解是否滿足原方程。

（學生）：當$x=0$時，原方程的分母為零，所以$x=0$不是方程的解。

（學生）：當$x=1$時，原方程的分母不為零，我們可以將$x=1$代入原方程檢驗。

（教師）：很好，我們代入$x=1$，原方程成立。

（學生）：所以，方程的解是$x=1$。

5.練習鞏固

（教師）：現(xiàn)在請大家完成課本中的練習題，鞏固我們今天學習的知識。

（學生）：好的，我會認真完成練習題。

6.總結

（教師）：今天我們學習了分式方程的概念和解法，大家能夠熟練地解分式方程了嗎？

（學生）：是的，我學會了。

（教師）：很好，希望大家能夠在課后繼續(xù)練習，不斷提高自己的數(shù)學能力。

（教師）：今天的課就上到這里，下課！教學資源拓展1.拓展資源：

-分式方程的應用：介紹分式方程在實際生活中的應用，如工程計算、經濟問題、物理問題等，讓學生了解數(shù)學知識的應用價值。

-分式方程的歷史背景：簡要介紹分式方程的發(fā)展歷史，讓學生了解數(shù)學知識的傳承和發(fā)展。

-分式方程的數(shù)學性質：探討分式方程的數(shù)學性質，如分式方程的解的個數(shù)、解的范圍等，幫助學生深入理解分式方程。

2.拓展建議：

-閱讀相關書籍：《初中數(shù)學競賽輔導》、《數(shù)學思維訓練》等書籍，幫助學生拓展數(shù)學思維，提高解題能力。

-參加數(shù)學競賽：鼓勵學生參加數(shù)學競賽，通過競賽提高自己的數(shù)學水平，培養(yǎng)團隊合作精神。

-觀看數(shù)學視頻：推薦學生觀看一些數(shù)學教育視頻，如《數(shù)學之美》、《數(shù)學思維訓練》等，幫助學生更好地理解數(shù)學知識。

-實踐活動：組織學生參與實踐活動，如數(shù)學實驗、數(shù)學建模等，讓學生在實際操作中提高數(shù)學應用能力。

-交流學習：鼓勵學生之間進行交流學習，分享解題心得，共同進步。

-家庭作業(yè)拓展：布置一些拓展性的家庭作業(yè)，如解決實際問題、探究數(shù)學規(guī)律等，讓學生在課后繼續(xù)學習。

-利用網絡資源：指導學生合理利用網絡資源，如在線教育平臺、數(shù)學論壇等，拓寬學習渠道，提高學習效果。

-閱讀數(shù)學故事：推薦學生閱讀一些數(shù)學故事，如《數(shù)學家的故事》、《數(shù)學趣聞》等，激發(fā)學生對數(shù)學的興趣。

-參觀數(shù)學博物館：組織學生參觀數(shù)學博物館，了解數(shù)學的發(fā)展歷程，感受數(shù)學的魅力。重點題型整理1.題型一：分式方程的定義識別

-題目：判斷下列方程是否為分式方程。

$$

(1)\quad2x+3=5\\

(2)\quad\frac{3}{x-2}=2\\

(3)\quadx^2-4=0\\

(4)\quad\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=1

$$

-答案：$$(1)\quad\text{不是分式方程}\\

(2)\quad\text{是分式方程}\\

(3)\quad\text{不是分式方程}\\

(4)\quad\text{是分式方程}$$

2.題型二：分式方程的解法步驟

-題目：解下列分式方程。

$$

\frac{2}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}

$$

-答案：首先，找到分母的公倍數(shù)$2x(x+1)$，然后兩邊都乘以這個公倍數(shù)，得到$4(x+1)-2x=x(x+1)$?；喓蟮玫?4x+4-2x=x^2+x$，進一步化簡得到$x^2-x-4=0$。這是一個一元二次方程，我們可以通過因式分解或使用求根公式來解它。因式分解得到$(x-2)(x+2)=0$，所以$x=2$或$x=-2$。最后，我們需要檢驗這兩個解是否滿足原方程。檢驗后我們發(fā)現(xiàn)$x=2$和$x=-2$都是原方程的解。

3.題型三：分式方程的解的檢驗

-題目：解下列分式方程，并檢驗解的正確性。

$$

\frac{x-1}{x+2}=\frac{3}{4}

$$

-答案：首先，我們解這個方程。找到分母的公倍數(shù)$4(x+2)$，然后兩邊都乘以這個公倍數(shù)，得到$4(x-1)=3(x+2)$。化簡后得到$4x-4=3x+6$，進一步化簡得到$x=10$。現(xiàn)在我們需要檢驗$x=10$是否滿足原方程。代入原方程得到$\frac{10-1}{10+2}=\frac{3}{4}$，化簡后得到$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，這是正確的。所以$x=10$是原方程的解。

4.題型四：分式方程的解的個數(shù)

-題目：解下列分式方程，并確定解的個數(shù)。

$$

\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}

$$

-答案：首先，我們解這個方程。找到分母的公倍數(shù)$(x-1)(x+1)$，然后兩邊都乘以這個公倍數(shù)，得到$1(x+1)+1(x-1)=2$?；喓蟮玫?2x=2$，進一步化簡得到$x=1$。但是，我們需要檢驗$x=1$是否滿足原方程。代入原方程得到$\frac{1}{1-1}+\frac{1}{1+1}=\frac{2}{1^2-1}$，我們發(fā)現(xiàn)分母為零，所以原方程無解。

5.題型五：分式方程的應用

-題目：一個長方形的長是寬的兩倍，如果長方形的周長是40厘米，求長方形的面積。

-答案：設長方形的寬為$x$厘米，則長為$2x$厘米。根據(jù)周長的定義，我們有$2(x+2x)=40$。解這個方程得到$x=5$，所以寬是5厘米，長是10厘米。長方形的面積是寬乘以長，即$5\times10=50$平方厘米。所以長方形的面積是50平方厘米。教學評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

學生們在課堂上積極參與，對于分式方程的概念和解法表現(xiàn)出較高的興趣。大部分學生能夠跟隨老師的講解，對分式方程的定義和解法步驟有了一定的理解。在課堂練習中，學生們能夠獨立完成基本的分式方程求解，但在一些復雜的問題上，部分學生表現(xiàn)出一定的困難。

2.小組討論成果展示：

在小組討論環(huán)節(jié)，學生們能夠積極交流，共同探討分式方程的解法。通過小組合作，學生們不僅學會了如何解決分式方程，還學會了如何表達自己的思路和傾聽他人的觀點。在成果展示環(huán)節(jié)，每個小組都能夠清晰地陳述自己的解題過程，其他同學也能夠從中受益。

3.隨堂測試：

隨堂測試旨在檢驗學生對本節(jié)課所學知識的掌握程度。測試結果顯示，大部分學生能夠正確回答分式方程的基本概念和解法步驟，但在解決實際問題時，部分學生的表現(xiàn)不夠理想。這表明學生在應用知識解決實際問題的能力上還有待提高。

4.學生自評與互評：

學生們通過自評和互評，對自己在課堂上的表現(xiàn)進行了反思。他們在自評中認識到自己在分式方程求解中的不足，如計算錯誤、概念理解不透徹等。在互評中，學生們能夠客觀地評價同伴的表現(xiàn)，并提出改進建議。

5.教師評價與反饋：

針對學生在課堂上的表現(xiàn)，教師進行了以下評價與反饋：

-針對課堂表現(xiàn)：教師鼓勵學生積極參與課堂討論，對于積極舉手回答問題的學生給予肯定，對于回答錯誤的學生給予耐心指導，幫助他們找到錯誤的原因并糾正。

-針對小組討論成果展示：教師強調小組合作的重要性，鼓勵學生在討論中發(fā)揮自己的優(yōu)勢，同時學會傾聽他人意見。對于在展示中表現(xiàn)出色的學生，教師給予了表揚，并建議他們在今后的學習中繼續(xù)保持。

-針對隨堂測試：教師針對學生在測試中存在的問題進行了詳細的分析，并提供了相應的解決方案。對于計算錯誤，教師建議學生在解題過程中仔細檢查；對于概念理解不透徹，教師建議學生加強基礎知識的學習。

-針對學生自評與互評：教師肯定了學生自我反思和評價的能力，鼓勵他們在今后的學習中繼續(xù)發(fā)揚這種精神。同時，教師提醒學生在互評時要保持客觀和友善，尊重他人的意見。

總體而言，本次教學評價與反饋旨在幫助學生更好地掌握分式方程的知識，提高他們的數(shù)學思維能力。教師將根據(jù)評價結果，調整教學方法，為學生提供更有針對性的指導。板書設計①分式方程的概念

-分式方程的定義：含有分式的方程，且至少有一個分母不為零。

-分式方程的一般形式：$\frac{A}{B}=C$，其中$A$、$B$、$C$是關于未知數(shù)$x$的代數(shù)式，$B\neq0$。

②分式方程的解法步驟

-第一步：去分母：找到分母