利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題（高考高頻考點(diǎn)）（ 3大題型+1大易錯(cuò)）（解析版）-2025年新高考數(shù)學(xué)

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

（高考高頻考點(diǎn)，3大題型+1類(lèi)易錯(cuò)）

目錄

第一部分：題型篇..........................................1

題型一：函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問(wèn)題..................1

題型二：函數(shù)的最值（極值）與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.............11

題型三：函數(shù)的圖象與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.....................19

第二部分：易錯(cuò)篇.........................................31

易錯(cuò)一：借助圖象時(shí)注意結(jié)合極限，畫(huà)更精確的圖象.......31

第一部分：題型篇

題型一：函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問(wèn)題

典型例題

1nY

例題1.（23-24高一下?甘肅天水?階段練習(xí)）已知函數(shù)7'（x）—UX-----Fu-2,IER.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求曲線(xiàn)），=〃”在點(diǎn)（1,/（1））處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；

⑵討論f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】①，

（2）答案見(jiàn)解析.

【分析】（1）把a(bǔ)=2代入，求出函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程即可

求解.

InV-I-9V

（2）由零點(diǎn)的意義分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=:x,利用導(dǎo)數(shù)探討直線(xiàn)與函數(shù)圖象交

X+X

點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)，〃x)=2x——,求導(dǎo)得八無(wú))=2———,則/'(1)=1,而

XX

/⑴=2,

因此曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線(xiàn)方程為y-2=x-l,即y=x+i,

直線(xiàn)y=x+i交X軸于點(diǎn)(-1,0),交V軸于點(diǎn)(0,1),

所以切線(xiàn)y=x+i與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為gxixi=；.

(2)由〃x)=0,得a(x+D-也一2=0,即a=ln：+2x,

XX+X

Iny+9V

令g(x)=——，因此函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為直線(xiàn)>與函數(shù)>=g(x)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù),

X+X

,(2x+l)(x+1)-(2x+l)(lnx+2x)(2x+1)(1-x-Inx)

而g⑴=----------百券----------=—訪(fǎng)亍一，

令〃(無(wú))=l-x-lnx,顯然函數(shù)力(x)單調(diào)遞減,而%(1)=0,

則當(dāng)0<x<l時(shí)，h(x)>0,g'(x)>0,當(dāng)x>l時(shí),h(x)<0,g\x)<0,

因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為在(1,+⑹上單調(diào)遞減，函數(shù)值集

合為(0,1)

且gOXnax=g(D=l，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線(xiàn)>=a與函數(shù)V=g(X)的圖象,

觀察圖象知，當(dāng)或。=1時(shí)，直線(xiàn)了=。與函數(shù)>=g(x)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)0<0<1時(shí)，直線(xiàn)>與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以當(dāng)或。=1時(shí)，函數(shù)/(X)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<°<1時(shí)，函數(shù)/(X)有兩個(gè)零點(diǎn).

例題2.(浙江省L16聯(lián)盟2024-2025學(xué)年7月新高三適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題)已知“為實(shí)數(shù),

〃eN*,設(shè)函數(shù)〃x)=x"-alnx.

(1)討論/(x)的單調(diào)性;

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求”的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)(ne,+oo)

【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和。＞0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值小于0,并且結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理說(shuō)明存

在2個(gè)零點(diǎn).

【詳解】(1)f'(x}=nx'-l--=r^^-x>0,

XX

當(dāng)aWO時(shí),r（x）＞0,/（x）在（0,+。）單調(diào)遞增,

1

當(dāng)。＞0時(shí)，令/''（x）〉。，得

令?。?,得0<x<

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是

綜上可知，時(shí)，/（x）的增區(qū)間是（0,+s）；

（2）

。＞0時(shí)，/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是M",+?

（2）由（1）可知，若“X）有兩個(gè)零點(diǎn)，則。＞0,

且當(dāng)X=］色『時(shí)’/（X）取得最小值，/-tzlnf-r<0,

\7

得〃>〃e,

且x―0時(shí)，—+8,.當(dāng)xf+oo,f(x)+oo,

所以有1個(gè)零點(diǎn),也有1個(gè)零點(diǎn),

\7

所以若八無(wú)）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a＞〃e.

4

例題3.（23-24高二下?安徽蕪湖?期中）已知函數(shù)=-依?+12x+6在x3處取得

極小值-2.

⑴求實(shí)數(shù)6的值；

（2）若函數(shù)了=/（”-彳有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

4

【答案】（1）/（%）=—8—+12%-2

⑵

7'⑶=0

【分析】（1）由已知可得,可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。、。的方程組，解出這兩個(gè)未知

1/(3)=-2

數(shù)的值，即可得出函數(shù)/（X）的解析式；

（2）分析可知，直線(xiàn)>=%與函數(shù)/（無(wú)）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/（無(wú)）的單調(diào)

性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)幾的取值范圍.

【詳解】(1)解：因?yàn)?(x)=g1-G2+12x+b,貝lj/'(x)=4f-2ax+12,

/,(3)=36-6a+12=0Q=8

由題意可得，解得

/⑶=36-9a+36+6=-2b=-2

當(dāng)a=8,6=—2時(shí)，/,（X）=4X2-16X+12=4（X-1）（X-3）,

顯然，函數(shù)/（x）在x=3處可取得極值.

4

因止匕，/（x）=—8%2+12x-2.

（2）解：?jiǎn)栴}等價(jià)于%有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求力的范圍.

由廣（力=4/-16%+12=4伍一1乂工一3）>0,得X<1或X>3,

由=4x~—16x+12=4（x-l）（x-3）<0,得l<x<3,

所以/（x）在（-嗎1）、（3,+力）上單調(diào)遞增,在。,3）上單調(diào)遞減,

則函數(shù)/（x）的極大值為/⑴=],極小值為/⑶=-2,如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)y=2與函數(shù)/（無(wú)）的圖象有3個(gè)交點(diǎn),

因此，實(shí)數(shù)2的取值范圍是

例題4.（23-24高三下?山東青島?階段練習(xí)）已知函數(shù)=

⑴求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)求出方程=。(。eR)的解的個(gè)數(shù).

【答案】⑴(一8,0),

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，即可列出'、/'(力、/(X)的關(guān)系表，從而得

到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)了=/("的圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)(1)分析函數(shù)的取值

情況，即可作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】(1)函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)?-吃1)31,+。).

/'(x)=e,J).令/(x)=o解得工=0或n=：.

則X、/'(X)、/(x)的關(guān)系列表如下:

2

X(-雙0)0(0,1)

2

/‘(X)+0□-0+

小)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

二/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-/⑼,弓，+"?

(2)方程/(x)=a(.eR)的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)了=/(x)的圖象與直線(xiàn)了=。的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

在(1)中可知：f(x)在區(qū)間(-"⑼,上單調(diào)遞增，在(0,1),11,j上單調(diào)遞減,

在x=0處取得極大值/(O)=1,在x=q處取得極小值/=4e，,

令『，得X，

當(dāng)x<0時(shí)，y>0,了的圖像過(guò)點(diǎn)(0,1),g,0).

當(dāng)Xf-8時(shí)，>-0,但始終在X軸上方；

當(dāng)X從1的左側(cè)無(wú)限近于1時(shí)，>當(dāng)X從1的右側(cè)無(wú)限近于1時(shí)，yf+8；

33

當(dāng)X=/時(shí)，y=4e2；當(dāng)x—+8時(shí)，/f+8.

根據(jù)以上性質(zhì)，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示,

,當(dāng)1<.<41時(shí)，V=/(x)與N="沒(méi)有交點(diǎn)，則方程/(x)=°的解為°個(gè)；

當(dāng)"0或"1或時(shí)，尸/3與尸。有1個(gè)交點(diǎn)，則方程/(力=。的解為1個(gè);

當(dāng)0<a<l或.Ml時(shí)，V=/(x)與有2個(gè)交點(diǎn)，則方程/(x)=a的解為2個(gè).

精練高頻考點(diǎn)

1.(23-24高二下?黑龍江?期末)已知函數(shù)/(力=(辦-a+l)e1

⑴若a=l,求/(無(wú))的圖象在點(diǎn)(1J⑴)處的切線(xiàn)方程；

(2)若關(guān)于x的方程/(x)=-L恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求。的取值范圍.

e

【答案】⑴歹=2e%-e

(2)(1,+<?)

【分析】(])利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求斜率，即可得切線(xiàn)方程；

(2)分。=0,。>0和三種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(x)的圖象最值，數(shù)形結(jié)合求解

問(wèn)題.

【詳解】(1)由a=l,得〃x)=xe=則/(x)=(x+l)e:

因?yàn)?6=e,/⑴=2e,

所以/'(x)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為k2ex-e.

(2)顯然。=0不符合題意，

又/'(%)=("+l)e",

當(dāng)Q〉0時(shí)，可知當(dāng)工￡時(shí)，f\x)<o,y(x)在一巴一上單調(diào)遞減,

a)

當(dāng)X時(shí)，f\x)>0,在(-+“]上單調(diào)遞增,

a)

1

a

則〃x)11m=/-ae,

且當(dāng)Z，+aJ時(shí)，/(x)G^-(7e

當(dāng)8,一時(shí)，/(x)e-aefl,0,

'a)v)

所以化簡(jiǎn)可得1_°<0

因?yàn)間(a)=e'-@在(°，+8)上單調(diào)遞減,且g⑴=。，

所以不等式e"_°<o的解集為(1，+功.

當(dāng)好0時(shí)，可知當(dāng)xe,s,|時(shí)，/'(x)>0,/(x)在-皆上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe，：,+“M，r(x)<0,在,上單調(diào)遞減，

則/(**-aea

且當(dāng)x」一，,+<?

時(shí)，/(x)G―。,-aea

Va17

0,-ae°,

7

所以關(guān)于X的方程/(x)=-工不可能有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

e

綜上，a的取值范圍為(1,+8).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最

值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題.

2.(23-24高二下?陜西漢中?期末)已知函數(shù)/(x)=x2-8x+61nx-%.

(1)求〃x)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)；

(2)若方程/⑺=0有三個(gè)不同的根，求整數(shù)加的值.(In3a1.09)

【答案】(l)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3),極大值點(diǎn)為1,

極小值點(diǎn)為3；

⑵-8.

【分析】(1)對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)；

(2)利用(1)中結(jié)論，方程/("=0有三個(gè)不同的根，滿(mǎn)足，;可求出答案.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=x2-8x+61nx-加，所以021+@=2(1)(1),

XX

令/'(x)>0,得x>3或0cx<1,令/''(x)<0,得l<x<3,

所以/(x)在(0,1),(3,+s)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減.

故/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0/)，(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3),極大值點(diǎn)為L(zhǎng)極小值點(diǎn)

為3.

(2)由(1)知/(x)在(0,1),(3,+。)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/(3)=61n3-15-m,

當(dāng)X.0時(shí)，f(X)->-00,當(dāng)Xf+8時(shí)，

且方程行)=。有三個(gè)不同的根,所以圖=6田15.…

所以根的取值范圍是(61n3-15,-7).

因?yàn)閘n3R.O9,所以61n3-15。-8.46,故整數(shù)加的值為-8.

3.(23-24高二下?云南曲靖?期末)已知函數(shù)/(x)=%「.

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并求出的極值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-a(aeR),討論函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴單調(diào)性見(jiàn)解析；極大值為1,無(wú)極小值

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)廣(x)>0nx<0J'(x)<0=>x>0,即可得出的單調(diào)性，結(jié)合極值的概

念即可求解；

(2)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)V與函數(shù)》=/(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由(1)可得〃x)的單調(diào)

性，作出圖形，結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】(1)貝q/(x)=—

ee

令/'(%)>0=>x<0,/'(%)<0=>x>0,

所以/(X)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則/(X)在x=0處取得極大值，且"0)=1,無(wú)極小值.

(2)由題意知g(x)=/(x)-a,

要求函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求方程。=/(幻的根的個(gè)數(shù)，

即求直線(xiàn)了=。與函數(shù)>=/(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

由(1)知/⑺在(-%0)上單調(diào)遞增，在(0,+◎上單調(diào)遞減,

且/(x)s=〃0)=l，/(-l)=0,當(dāng)X--8時(shí)/(X)3-8,當(dāng)x>0時(shí)/(x)>0,

由圖可知當(dāng)或。=1時(shí)，函數(shù)g(x)有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0<°<1時(shí)，函數(shù)g(x)有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)。>1時(shí)，函數(shù)g(x)有。個(gè)零點(diǎn).

4.(24-25高三上?湖北武漢?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=x-：lnx與函數(shù)g(x)=e“'-x,其

中a>0.

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若g(x)>0,求。的取值范圍;

⑶若曲線(xiàn)v=/(x)與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求證：曲線(xiàn)y=〃x)與曲線(xiàn)y=g(x)共有三個(gè)

不同的交點(diǎn).

【答案】①答案見(jiàn)解析

(2)]"

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)研究其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得其單調(diào)區(qū)間；

即構(gòu)造函數(shù)()后借助導(dǎo)數(shù)

(2)若xWO,可得不等式恒成立，若x>0,/!X=￥

求出其最大值即可得解;

(3)根據(jù)題設(shè)先證兩條曲線(xiàn)有(國(guó)⑼，(9，°)兩個(gè)交點(diǎn)，再構(gòu)造函數(shù)8(x)=e"-2x+：向

證明其除了這兩個(gè)交點(diǎn)后還存在第三個(gè)交點(diǎn)即可得.

【詳解】(1).=/(x)的定義域?yàn)椋簕工比>0},

(

又已知q>0,㈢

axax

所以時(shí)，/'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減；

時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

(2)由題意：g(x)=e"-x>0,即es>x,

InV

若xWO,不等式恒成立，若x>0,即?！怠?

x

^/z(x)=-(x>0),h'［x)=^,

當(dāng)xe(0,e)時(shí),/f(x)>O,/z(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，〃(尤)<0,單調(diào)遞減，

故〃(x)max=g，故。的取值范圍為］，+sj；

(3)曲線(xiàn)了=〃X)與X軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)了=〃”有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和馬,

不妨令0<玉<%,由(2)知，。的取值范圍為］o,J,

且由QaXx=再得再=一1叫，

a

同理得曲線(xiàn)y=/(x)與曲線(xiàn)y=g(x)共有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(無(wú)“0),(x2,0),

下面證明這兩條曲線(xiàn)還有一個(gè)交點(diǎn)，

令H(x)=eai-2x+—lux,

八,/、1ca-axe^2ax-l

H,(x)=aeax+——2=-------------，

axaxax

令t=ax,則根。/一2/+1/>0,

加'(/)=Q(l+%)e'一2,令〃(。=加'?)=a(l+，)e'一2,

則=〃(2+。占>0恒成立，則m\t)單調(diào)遞增，

又，⑴=2ae-2<0,

22

令加⑺=°（1+。3-2=0,得e'=4（]+o</，

故存在,使得了=加⑺在（0,%）上單調(diào)遞減，在&,+8）單調(diào)遞增，

a

m（0）=l>0,m（l）=ae-l<0,m^ln—^=1>0,

2

故"7?）=afe'-27+l有兩個(gè)零點(diǎn)小修0</1<1<，2<為一，

a

令a=ax3,t2=ax4,即y=〃（x）有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)了3，匕，

所以了=〃（x）在（0,演）上單調(diào)增，在（覆,看）上單調(diào)減，在（匕,+8）上單調(diào)增，

又才（國(guó)）=辦1+5-220,若理占）=0,叫=1,

由產(chǎn)=占得再=e,a=』與題設(shè)矛盾，所以H'（xJ>0,

e

同理“'（_￥2）>0,占,尤2不可能在同一單調(diào)區(qū)間，0<西<%,匕</，

故有0="（再）<"（不）,"（匕）<"（%2）二°，

所以在（毛，匕）間存在唯一的與使得"（%）=0,即兩條曲線(xiàn)還有一個(gè)交點(diǎn)看,

故曲線(xiàn)y=與曲線(xiàn)y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于先得出曲線(xiàn)y=/（x）與曲線(xiàn)>=g（力共有兩個(gè)不

同的交點(diǎn)（西⑼，（與0）,再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)"（X）=e2x+fnx去證明其除了這兩個(gè)交點(diǎn)

后還存在第三個(gè)交點(diǎn).

題型二：函數(shù)的最值（極值）與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

典型例題

例題1.（23-24高二下?江蘇南京?期中）已知函數(shù)〃x）=e[x2-8）+m.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù).”=〃x）在點(diǎn)（0,〃0））處的切線(xiàn)方程；

⑵若函數(shù)y=/（"有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)膽的取值范圍.

【答案】（l）J=-8x-8

⑵（"0）

【分析】（1）求出/'（o）、r（o）,利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得答案；

⑵轉(zhuǎn)化為e'（/-8）=-加有三個(gè)不同的交點(diǎn)，令g（x）=e?2_8）,利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的

極值可得答案.

【詳解】(1)當(dāng)加=0時(shí)，/(x)=el(x2-8),r(x)=eI(x2+2x-8),

/(0)=e°(0-8)=-8,/,(0)=e°(02+2x0-8)=-8,

所以了=-8x-8:

(2)若函數(shù)V=/(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

即/(x)=(/-8)+%=0,e^x2-8)=-m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

令g(x)=eA-8),g[x)=ex(x2+2x-8)=e*(x—2)(x+4),

由g,(x)>0=>xe(-oo,-4)u(2,+co),g,(x)<0=>xe(-4,2),

所以g(x)在(-。,-4)和(2,+s)上單調(diào)遞增，(-4,2)上單調(diào)遞減，

極大值為g(-4)=廠(16-8)=8「，極小值為g(2)=e2(4-8)=Ye?,

且當(dāng)x<-2亞時(shí)，/(x)>0,當(dāng)-2及<x<2后時(shí)，〃x)<0,

當(dāng)x>2行時(shí)，/(x)>0,

根據(jù)函數(shù)圖象可知，0〈-加<8e<,-Se-4<m<0?

例題2.(23-24高二下?北京海淀?期末)已知函數(shù)./■(%)=(x-l)e-x2.

⑴判斷f(x)在(-a,。)上的單調(diào)性，并證明；

⑵求/'(x)在(0,+功上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】⑴/⑺在(-雙。)上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；

(2)一個(gè).

【分析】(1)先判斷單調(diào)性，再求導(dǎo)函數(shù)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)證明函數(shù)單調(diào)性;

(2)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及極值結(jié)合零點(diǎn)存在定理得出零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】CD/(力在(y,o)上單調(diào)遞增,證明如下：

因?yàn)?(x)=(x-l)e*-x2,

所以尸(無(wú))=ex+(x-l)e"-2x=xex-2x=x(e*-2),

又因?yàn)闊o(wú)€（-8,0）,從而e'-2<l-2<0,

所以/"（x）=x（e=2）>0,

所以/'（x）在（-%。）上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知：/,（x）=x（eI-2）,

因?yàn)閤e（0,+s）,

令/'（x）=0,得x=ln2.

/（x）與/'（X）在區(qū)間（0,+功上的情況如下:

X（O,ln2）In2（ln2,+⑹

/'（X）□0+

/（X）極小/

因?yàn)?（0）=（0_l）e°_（）2=T<0,/（2）=（2-l）e2-22=e2-22>0,

所以由零點(diǎn)存在定理及/（X）單調(diào)性可知，/（X）在（0,+8）上恰有一個(gè)零點(diǎn).

例題3.（23-24高二下?遼寧沈陽(yáng)?期末）已知函數(shù)"月=*+°（--1）.

（1）當(dāng)。=0時(shí),求/（x）的極值;

（2）當(dāng)。=1時(shí),求/（X）在［1,+8）上的最小值;

⑶當(dāng)"0時(shí)，若/（X）在（l,e）上存在零點(diǎn)，求”的取值范圍.

【答案】（1）/（X）極大值=—沒(méi)有極小值

（2）/（尤）皿=。

【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值;

（2）利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值；

（3）求函數(shù)/（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)g（x）,根據(jù)函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)。進(jìn)行分類(lèi)，結(jié)合

函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理和極值即可求解。的取值范圍.

【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，〃x）=等，定義域是（0,+”）,則/⑴/浮,

令/'（力=0,Mx=e,無(wú)變化時(shí)，/'（x）,/（x）的變化情況如下表:

(O'e)e(e,+8)

/'（X）+0—

2

/（X）/

e

7

所以“X)極大值=〃e)=j/(尤)沒(méi)有極小值.

(2)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=^^+x2-1,xe[1,+<?),

則/,(X)=>+2X=2(I：：+X)

令g(x)=l-lnx+x3,xe[l,+8),

則g'(x)=+3x2=———->0,

xx

則g（x）在［L+00）上是增函數(shù)，則8（無(wú)置=g⑴=2,

所以/'（x）＞0,即/（x）在［1,+8）上是增函數(shù),

則小號(hào)=/⑴=o.

故當(dāng)°=1時(shí)，/（x）在上+⑹上的最小值是0；

(3)/(x)=^^+a(x2-l),xe(l,e),

2(l-lnx+Q%3)

2-2Inx.

---------F2ax=

x

令g(x)=&_[nx+l,xe(l,e),g'(x}=3ax2--=1

XX

當(dāng)a<0時(shí)，g'(x)<0,則g(x)在(l,e)上是減函數(shù)，貝I]g(x)<g(l)=。+1.

①當(dāng)。+1?0時(shí)，/'(x)<0,則/(x)在(l,e)上是減函數(shù)，〃x)1mx〈/⑴=0,不合題意;

②當(dāng)a+l>0時(shí)，a>-l,g(l)>0,g(e)=ae3<0,則存在毛e(l,e),使g(x0)=0,

即/''(/)=0,x變化時(shí)，/'(x),f(x)的變化情況如下表：

X(i,%)xo

r(x)+0—

f(x)/極大值/（與）

則/(x)極大值=〃％)>〃1)=。，

因?yàn)閒(x)在(Le)上有零點(diǎn)，

2/\—7

所以/仁)="+0.-1)<0,解得.〈事.

所以，a的取值范圍是1

例題4.(23-24高二下?重慶?期末)已知函數(shù)〃x)=xe*.

⑴若關(guān)于x的方程f(x)=k有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(2)若關(guān)于x的不等式/(力+/(1-力冷對(duì)\/龍€1,2恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴《

(2)~,問(wèn).

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解出函數(shù)的極值和最值從而求解出范圍.

(2)利用抽象函數(shù)求導(dǎo)，分析出函數(shù)的單調(diào)性分析出極值和最值求解出取值范圍.

【詳解】⑴因?yàn)?(尤)的定義域?yàn)镽J'(x)=(l+x)e',

又?4>(),.?.當(dāng)x<-l時(shí)，/'(x)<0,則/'⑺單調(diào)遞減；

當(dāng)x>-l時(shí)，r(x)>o,則/(無(wú))單調(diào)遞增，

所以/"(X)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,-1),單調(diào)增區(qū)間為(-1,+功；

又〃0)=0,x<0時(shí)/(x)<0,/(-1)=--,

e

故片《一:卜他+⑹；

(2)設(shè)g(x)=/(x)+/(l-x),

g，(x)=/(x)1一x)=(l+x)e'-(2-x)e'

令人(x)=g1x),

h\x)=(2+x)e*-(x-3)e-,考查這個(gè)函數(shù)發(fā)現(xiàn)”(x)在;VxW2恒正，

即當(dāng);4x42時(shí)，/(x)>0,g，(x)單調(diào)遞增，

g'(x)2g[g]=(V.g(x)在xe1,2上單調(diào)遞增，

???g(xLn捉，

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為卜叫血］.

精練高頻考點(diǎn)

1.(23-24高二下?貴州畢節(jié)?階段練習(xí))已知函數(shù)=一;/一

⑴當(dāng)6=0時(shí)，求/(x)在［-2,3］上的值域;

(2)若方程/(力=0有三個(gè)不同的解，求6的取值范圍.

……「1。7］

【答案】⑴-V>7

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(X)的單調(diào)性，求出/(-1),/(2),/(-2),/(3),即可求解；

17(-1)>0

(2)由(1)可得函數(shù)/(X)的極值，由方程/(x)=0有3個(gè)不同的解可得;，解之即

［八6<u

可求解.

【詳解】(1)當(dāng)6=0時(shí)，/(x)=gx3—;/-2x,貝lJ/'a)=x2-x-2=(x+l)(x-2),

令/'(%)<0n-1<%<2/(%)1或x〉2,

所以/(X)在(-1,2)上單調(diào)遞減，在(一8,一1)、(2,+8)上單調(diào)遞增，

7

故/(X)在X=-l處取得極大值，且為

6

在工=2處取得極小值，且為/(2)=-

又在［-2,3］上，/(-2)=-1,/(3)=-1,

所以在［-2,3］上的值域?yàn)椤赶龋荩?/p>

36

(2)由(1)知/(x)在(-1,2)上單調(diào)遞減，在(-8,-1)、(2,+8)上單調(diào)遞增,

7

所以/(X)在X=-1處取得極大值，且為/(-1)=(-3

O

在％=2處取得極小值，且為八2)=-

/(-1)>0

若方程/(x)=0有3個(gè)不同的解，則

/(2)<0

7

—b>0

6”010[7

即<,角牛倚----<b<—,

1036

---b<0

.3

所以實(shí)數(shù)6的取值范圍為

2.(23-24高二下?云南玉溪?期中)設(shè)〃x)=a(x-5y+61nx,曲線(xiàn)了=/("在點(diǎn)(1)⑴)處

的切線(xiàn)與了軸相交于點(diǎn)(0,6).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若函數(shù)了=/(x)+6有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

【答案】(l)a=g

9

(2)---61n2<b<-2-61n3

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在(1,了(1))處的切線(xiàn)方程后結(jié)合其過(guò)的點(diǎn)可求實(shí)數(shù)。的值.

(2)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【詳解】(1)由/(x)=a(x-5)2+6hw,得x>0,且/(無(wú))=2a(x-5)+!.

令x=l,貝U/(l)=16aJ'(l)=6-8a,

所以曲線(xiàn)J=/(x)在(1J⑴)處的切線(xiàn)方程為y-16a=(6-&0(尤-1).

代入(0,6)解得。=；.

(2)由(1)知/'(上)=丫_5+￡=(工2)(.3),

XX

令/'(x)=0,解得或x=3,

當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，/'(x)>0,當(dāng)2Vx<3時(shí)，

故y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,3),

a

由此可知在X=2處取得極大值7(2)=5+61n2,

在x=3處取得極小值〃3)=2+61n3,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)+6有三個(gè)零點(diǎn)，即方程/(耳=-6有三個(gè)根，

而當(dāng)x->0時(shí)，/(x)f-OO,當(dāng)Xf+8,/(x)f+co,

99

^2+61n3<-Z)<-+61n2,所以-5-61112<6<-2-61113.

3.(23-24高二下?廣東惠州?期中)已知函數(shù)〃X)=；X3-4X+4.

(1)求曲線(xiàn)V=的圖象在點(diǎn)(1，/⑴)處的切線(xiàn)方程；

(2)若方程"X)=才有3個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

［答案］⑴9x+3y_10=0；

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線(xiàn)y=〃x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線(xiàn)方程.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(X)的極值，并作出其圖象，數(shù)形結(jié)合求出左的范圍.

【詳解】⑴函數(shù)/3=白3-4X+4,求導(dǎo)得r(x)=x2-4,則=而八1)=；,

所以曲線(xiàn))，=/("的圖象在點(diǎn)(1J⑴)處的切線(xiàn)方程為＞-g=-3(x-l),即9為+3y-10=0.

(2)函數(shù)〃X)=$3-4X+4,定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得廣(X)=X2-4=(X-2)(X+2),

當(dāng)工￡(一8,-2)U(2,+8)時(shí),/z(x)＞0,當(dāng)不￡(—2,2)時(shí)，/'(%)＜0,

函數(shù)/(x)在(-a,-2),(2,+。)上單調(diào)遞增；在(-2,2)上單調(diào)遞減，

OOA

則當(dāng)x=-2時(shí)，“X)取得極大值當(dāng)工=2時(shí)，/(X)取得極小值

作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖，

若方程〃X)=上有3個(gè)不同的根，則直線(xiàn)了=左和函數(shù)了=/("的圖象有3個(gè)交點(diǎn),

A98

觀察圖象知，當(dāng)-§＜左＜?■時(shí)，直線(xiàn)了=左和函數(shù)＞=/(力的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為,*g]

4.(23-24高二下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=1+21nx.

(1)求曲線(xiàn)V=/(”在點(diǎn)(1,7(1))處的切線(xiàn)方程；

(2)求函數(shù)/(尤)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)》-了=0

(2)0

【分析】(1)先求切點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程.

(2)求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的極值判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

112

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=、+21nx,可得/(尤)=

所以/'⑴=1且/(1)=1,即切線(xiàn)的斜率為左=1且切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

所以切線(xiàn)方程為夕-l=x-l,即x-y=O.

2r—1

(2)由(1)知,/'(%)=——,x>0,

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減

當(dāng)xe時(shí)，/(%)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)/(X)取得極小值，也為最小值，/Q^=2+21n1=2-21n2>0,

所以〃x)>0,所以函數(shù)“X)沒(méi)有零點(diǎn)，即函數(shù)〃x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.

題型三：函數(shù)的圖象與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

典型例題

例題1.(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=/-x-alnx.

⑴若函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)若函數(shù)/■(》)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴,叱-可；

⑵(O,l)U(l,+8).

【分析】(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為r(x"0恒成立，參變分離后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=q^,xe(O,l)51,+8),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)直線(xiàn)了=。

與g(x)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)可得a的范圍.

【詳解】⑴函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8),r(x)=2x-l-p

因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)單調(diào)遞增，所以2x-l-在區(qū)間(0,+到上恒成立，

即aW2/-x在區(qū)間(0,+。)上恒成立，

因?yàn)?/一x=2(x」［二，所以當(dāng)x=J時(shí)，(2x2-x),=-：，

I4J84'8

所以aV-g,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為

O

(2)因?yàn)?⑴=0,所以、=1是/(%)的一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)XW1時(shí)，由/(x)=、2—x—alnx=0,得aX-x

(2x-l)lnx-(x-l)

記g(%)=彳一-,XG(0,l)u(l,+a?),則g'(x)=

(inx)2

I己人(x)=(2x—1)Inx—(x—1),貝lj/(x)=21nx--+1,

io1

記加(尤)=2如x--+1,則加'(無(wú))=一+二＞0,所以加(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又加⑴=0,所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，加(x)＜0,當(dāng)xe(L+oo)時(shí),m(x)＞0,

所以，”x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+句上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)x=l時(shí)，有最小值〃(1)=0,

所以,當(dāng)xe(O,l)u(l,+8)時(shí),/z(x)＞0,即g'(x)＞0,

所以，g(x)在區(qū)間(0,1)和(1,+功上單調(diào)遞增，

因?yàn)閄趨近于1時(shí)，g(x)趨近于1,X趨近于0時(shí)，g(x)趨近于0,X趨近于.時(shí)，g(x)

趨近于+00,

作出函數(shù)g(x)的圖象如圖：

尸g(x)

由圖可知，當(dāng)0＜。＜1或。＞1時(shí)，直線(xiàn)＞與g(x)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，

即/'(X)在區(qū)間(0,1)"1,+。)上有一個(gè)零點(diǎn),

所以，當(dāng)0＜。＜1或。＞1時(shí)，/(x)在(0,+“)有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以，實(shí)數(shù)°的取值范圍為(。,1)。(1,+8).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:第二問(wèn)關(guān)鍵在于當(dāng)xe(O,l)31，+s)時(shí)，參變分離，構(gòu)造函數(shù)g(x)=^^

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解.

例題2.(23-24高二下?山東聊城?期末)已知函數(shù)/(x)=(ae，-b)x-e*+b.

(1)當(dāng)6=0時(shí),求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若/'⑺的導(dǎo)函數(shù);(x)滿(mǎn)足人勸“一)恒成立.

(I)求。的值；

<n)討論/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)(I)a=2(口)見(jiàn)解析

【分析】(1)分類(lèi)討論a>0,a=0,a<0,結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)區(qū)間；

(2)(I)根據(jù)極值的定義確定彳=-；是/'(x)的極小值點(diǎn)，進(jìn)而得出”的值；(II)分離

參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)〃(》)=生生0,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出其圖像，數(shù)形結(jié)合得出/卜)零點(diǎn)的個(gè)

x-1

數(shù).

【詳解】(1)6=0時(shí)，/(x)=ex(ax-1),xeR,f\x)=ex(ax-\+a),

當(dāng)Q=0時(shí)，f\x)=-ex<0J(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)aW0時(shí)，/'(x)=ae，(x---1］，

若Q〉0,則時(shí)，/O)<0,/(x)單調(diào)遞減；

a

i時(shí)，/a)>oja)單調(diào)遞增；

a

若"0,則％<工-1時(shí)，/'(x)〉0J(x)單調(diào)遞增；

a

x>,一1時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

a

綜上，。=0時(shí)，/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(-叫+8),無(wú)單調(diào)增區(qū)間；

a>0時(shí)，"X)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為匕-1,+"］；

°<0時(shí)，/(X)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為(：T,+")；

(2)(I)由/(x)=(ae--b)x-e"+b,f(x)=ex(ax+a-l)-b,xeR,

因?yàn)?‘(X)恒成立，所以/'(-|)是/(X)的最小值，

即％=-；是/⑴的極小值點(diǎn).

令g(x)=f(x)=e"(ax+tz-1)-b,g'(x)=ex(ax+2a-1),

且g'||=屋5(^_1]=0,解得a=2.

此時(shí)8。)=爐(2*+3)6<-：時(shí)，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，即/'(X)單調(diào)遞減;

3

時(shí)，g'(x)〉o,g(x)單調(diào)遞增，即/'(X)單調(diào)遞增，

所以''(》)2/(-卞,符合題意.

故”2.

(II)由(I)知/(%)=(2e*—e”+6=e*(2x—1)—6(x—1),

因?yàn)?⑴=ew0,所以/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程6=e”(2xf實(shí)根的個(gè)數(shù).

X—1

廿(21)xex(2x-3)

令h(x)=則h\x)=

x-1(I),

3

所以當(dāng)x<0或、>：時(shí)，/'(x)〉0;

3

當(dāng)0<x<l或l<x<3時(shí)，/'(x)<0,

即〃(x)在(-叱0)和《，+金上單調(diào)遞增，在(0,1)和上單調(diào)遞減,

當(dāng)Xf-oo時(shí)，x-1^-00,e"-0,2x—l-—8,所以/z(x)-O,

3

又h(O)=l,h4靛，所以〃(無(wú))的大致圖象如圖所示:

所以當(dāng)640或6=1或6=40時(shí)，

方程6=4(2"-1)恰有一個(gè)實(shí)根,/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；

x—\

3

當(dāng)0<6<1或6>4”時(shí)，

eI(2x-l).

方程6=恰有兩個(gè)實(shí)根，/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；

X-]

當(dāng)l<6<4e，時(shí)，方程6=e'(二］)無(wú)實(shí)根,/")零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題(H)時(shí)，關(guān)鍵在于分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)

性，進(jìn)而由圖像判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

例題3.(2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))已知a>0且函數(shù)/(x)=H(x>0),若曲線(xiàn)

ax

y=/(x)與直線(xiàn)y=i有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求”的取值范圍.

【答案】(l,e)U(e,+a))

【分析】由題意得方程l(X>0)有兩個(gè)不同的解，方程變形得兩邊取對(duì)數(shù)整理

得皿=皿，令8(幻=止@>0),分析g(x)的單調(diào)性和值域可得。的取值范圍.

XaX

【詳解】曲線(xiàn)y=〃x)與直線(xiàn)了=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，

可轉(zhuǎn)化為方程二=1(》>0)有兩個(gè)不同的解，

a

方程h=l(X>0),化為4=x"，兩邊取對(duì)數(shù)得xlna=〃lnx,即也=皿，

axxa

即方程—=—有兩個(gè)不同的解.

xa

令g(x)=也二(%>。)，貝!Jg'(x)=lT：，(x>。)，

X%

令g'(x)=上半=0,解得x=e,

X

當(dāng)xe(0,e)時(shí),g'(x)>0,此時(shí)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，g'(x)<0,此時(shí)g。)單調(diào)遞減.

故g(x)max=g(e)=,，且當(dāng)X>e時(shí)，g(x)e(0」)，

ee

又g(l)=0,所以。〈啊<L解得l<a<e或a>e,

ae

故。的取值范圍是(l,e)U(e,+s).

例題4.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/■(元的圖象在點(diǎn)(0,7(0))處的切線(xiàn)方程為

ax+b

2x+y+1=0,