導學案數(shù)學第十章103頻率與概率

10.3頻率與概率【學習目標】【素養(yǎng)達成】1.理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.數(shù)學抽象2.能初步利用概率知識解釋現(xiàn)實生活中的概率問題.數(shù)學建模3.了解隨機模擬的含義,會利用隨機模擬估計概率.數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析一、頻率的穩(wěn)定性一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).【教材深化】1.頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化,而概率是一個常數(shù),是客觀存在的,與試驗次數(shù)無關.2.在實際應用中,只要試驗的次數(shù)足夠多,所得的頻率就可以近似地看作隨機事件的概率.3.概率是頻率的穩(wěn)定值.二、隨機數(shù)1.隨機數(shù)的概念:要產(chǎn)生1~n(n∈N*)之間的隨機整數(shù),把n個質(zhì)地和大小相同的小球分別標上1,2,3,…,n,放入一個容器中,充分攪拌后取出一個球,這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù).2.產(chǎn)生隨機數(shù)的方法(1)利用計算器或計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù).(2)構建模擬試驗產(chǎn)生隨機數(shù).3.隨機模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)來做模擬試驗,通過模擬試驗得到的頻率來估計概率,這種用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法.【教材挖掘】(P254探究)問題:重復做同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗,設事件A=“一個正面朝上,一個反面朝上”,統(tǒng)計A出現(xiàn)的次數(shù)并計算頻率,再與概率比較,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?提示:(1)試驗次數(shù)n相同,頻率fn(A)可能不同,這說明隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性.(2)從整體來看,頻率在概率0.5附近波動.當試驗次數(shù)較少時,波動幅度較大;當試驗次數(shù)較多時,波動幅度較小,但試驗次數(shù)多的波動幅度并不全都比次數(shù)少的小,只是波動幅度小的可能性更大.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)隨機事件的頻率和概率不可能相等.(×)提示:二者可能相等.(2)隨機事件的頻率和概率都隨著試驗次數(shù)的變化而變化.(×)提示:頻率會發(fā)生變化,是變量,而概率是不變的,是客觀存在的.(3)概率能反映隨機事件發(fā)生可能性的大小,而頻率則不能.(×)提示:頻率和概率都能反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小.類型一頻率與概率的關系(數(shù)學抽象)【典例1】下列說法一定正確的是()A.一名籃球運動員,號稱“百發(fā)百中”,若罰球三次,不會出現(xiàn)三投都不中的情況B.一枚質(zhì)地均勻的骰子擲一次得到2的概率是16C.由生物學知道生男生女的概率均為0.5,一對夫婦先后生兩個小孩,則一定為一男一女D.隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關【解析】選D.A錯誤,概率小不代表一定不發(fā)生;B錯誤,概率不等同于頻率;C錯誤,概率是預測,不必然出現(xiàn);D正確,隨機事件發(fā)生的概率是頻率的穩(wěn)定值,與試驗次數(shù)無關.【備選例題】有以下說法:①昨天沒有下雨,則說明“昨天氣象局的天氣預報降水概率為95%”是錯誤的;②“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎;③做10次拋硬幣的試驗,結果3次正面朝上,因此正面朝上的概率為310④某廠產(chǎn)品的次品率為2%,但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品.其中錯誤說法的序號是________.

答案:①②③【解析】①中降水概率為95%,仍有不降水的可能,故①錯誤;②中“彩票中獎的概率是1%”表示在設計彩票時,有1%的機會中獎,但不一定買100張彩票一定有1張會中獎,故②錯誤;③中正面朝上的頻率為310,概率仍為12,故③錯誤;④中次品率為2%,但50件產(chǎn)品中可能沒有次品,也可能有1件或2件或3件……次品,故④【總結升華】理解概率與頻率應關注的三個方面(1)概率是隨機事件發(fā)生的可能性大小的度量,是隨機事件A的本質(zhì)屬性,隨機事件A發(fā)生的概率是大量重復試驗中事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值.(2)由頻率的定義我們可以知道隨機事件A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的,但隨機中含有規(guī)律性,而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映.(3)正確理解概率的意義,要清楚與頻率的區(qū)別與聯(lián)系.對具體的問題要從全局和整體上去看待,而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件.【即學即練】已知使用一劑某種藥物治愈某種疾病的概率為90%,則下列說法正確的是()A.如果有100個這種病人各使用一劑這樣的藥物,那么有90人會被治愈B.如果一個患有這種疾病的病人使用兩劑這樣的藥物就一定會被治愈C.使用一劑這種藥物治愈這種疾病的可能性是90%D.以上說法都不對【解析】選C.治愈某種疾病的概率為90%,說明使用一劑這種藥物治愈這種疾病的可能性是90%,但不能說明使用一劑這種藥物一定可以治愈這種疾病,只能說治愈的可能性較大.類型二用頻率估計概率(數(shù)學建模、邏輯推理)【典例2】為了研究某種油菜籽的發(fā)芽率,科研人員在相同條件下做了10批試驗,油菜籽的發(fā)芽試驗相關數(shù)據(jù)如表:批次12345678910每批粒數(shù)2510701307001500200030005000發(fā)芽的粒數(shù)249601166371370178627094490(1)如何計算每批試驗中油菜籽發(fā)芽的頻率?(2)由各批油菜籽發(fā)芽的頻率,可以得到頻率具有怎樣的特征?(3)如何確定該油菜籽發(fā)芽的概率?【解析】(1)利用頻率=發(fā)芽的粒數(shù)每批粒數(shù),可求出每批油菜籽發(fā)芽的頻率(2)批次1的頻率為22=1,批次2的頻率為45=0.8,批次3的頻率為910=0.0.857,批次5的頻率為116130≈0.892,批次6的頻率為637700=0.91,批次7的頻率為13701500≈0.913,批次8的頻率為17862000(3)由(2)可知,當試驗次數(shù)越來越多時,頻率在0.9附近波動,由此估計該油菜籽發(fā)芽的概率為0.9.【總結升華】用頻率估計概率(1)在實際問題中,常用事件發(fā)生的頻率作為概率的估計值.(2)在用頻率估計概率時,要注意試驗次數(shù)n不能太小,只有當n很大時,頻率才會呈現(xiàn)出規(guī)律性,即在某個常數(shù)附近波動,且這個常數(shù)就是概率.【即學即練】對某電視機廠生產(chǎn)的電視機進行抽樣檢測的數(shù)據(jù)如表所示:抽取臺數(shù)501002003005001000優(yōu)等品數(shù)4092192285478954(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別計算6次試驗中抽到優(yōu)等品的頻率;(2)該廠生產(chǎn)的電視機為優(yōu)等品的概率約是多少?【解析】(1)抽到優(yōu)等品的頻率分別為0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.(2)由表中數(shù)據(jù)可估計優(yōu)等品的概率約為0.95.類型三游戲的公平性(數(shù)學運算、邏輯推理)【典例3】某校高二年級(1)(2)班準備聯(lián)合舉行晚會,組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣,策劃整場晚會以轉盤游戲的方式進行,每個節(jié)目開始時,兩班各派一人先進行轉盤游戲,勝者獲得一件獎品,負者表演一個節(jié)目.(1)班的文娛委員利用分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉盤(如圖所示),設計了一種游戲方案:兩人同時各轉動一個轉盤一次,將轉到的數(shù)字相加,和為偶數(shù)時(1)班代表獲勝,否則(2)班代表獲勝.該方案對雙方是否公平?為什么?【解析】該方案是公平的,理由如下,各種情況如表所示,項目45671567826789378910由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種,其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種,為奇數(shù)的也有6種,所以(1)班代表獲勝的概率P1=612=12,(2)班代表獲勝的概率P2=612=12,即P1=【總結升華】游戲規(guī)則公平的判斷標準(1)在各類游戲中,如果每人獲勝的概率相等,那么游戲就是公平的,也就是說是否公平只要看獲勝的概率是否相等.(2)例如:體育比賽中決定發(fā)球權的方法應該保證比賽雙方先發(fā)球的概率相等,這樣才是公平的;每個人購買彩票中獎的概率應該是相等的,這樣才是公平的;抽簽決定某項事務時,任何一支簽被抽到的概率也是相等的,這樣才是公平的等等.【補償訓練】在一個不透明的箱子里裝有5個完全相同的小球,球上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,甲先從箱子中摸出一個小球,記下球上數(shù)字后,再將該小球放回箱子中搖勻,然后乙從該箱子中摸出一個小球.(1)若甲、乙兩人誰摸出的球上標的數(shù)字大,誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局),求甲獲勝的概率;(2)若規(guī)定:兩人摸到的球上所標數(shù)字之和小于6,則甲獲勝,否則乙獲勝,這樣規(guī)定公平嗎?【解析】用(x,y)(x表示甲摸到的數(shù)字,y表示乙摸到的數(shù)字)表示甲、乙各摸一球構成的樣本點,則樣本點有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25個.(1)設甲獲勝的事件為A,則事件A包含的樣本點有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10個.則P(A)=1025=2(2)設甲獲勝的事件為B,乙獲勝的事件為C.事件B所包含的樣本點有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10個.則P(B)=1025=25,所以P(C)=1P(B)=因為P(B)≠P(C),所以這樣規(guī)定不公平.類型四隨機模擬法估計概率(數(shù)學運算、邏輯推理)【典例4】盒中有大小、形狀相同的5個白球、2個黑球,用隨機模擬法求下列事件的概率:(1)任取一球,得到白球;(2)任取三球(分三次,每次放回再取),都是白球.【解析】用計算器或計算機產(chǎn)生1到7之間取整數(shù)值的隨機數(shù),用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑