2024-2025學年試題數學三十一平面與平面平行的判定定理

三十一平面與平面平行的判定定理(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)已知a,b,c,d是四條直線,α,β是兩個不重合的平面,若a∥b∥c∥d,a?α,b?α,c?β,d?β,則α與β的位置關系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.以上都不對【解析】選C.由圖1和圖2可知,α與β平行或相交.2.(5分)(多選)下列命題正確的是()A.如果兩個平面(不重合)不相交,那么它們平行B.如果一個平面內有無數條直線都平行于另一平面,那么這兩個平面平行C.空間兩個相等的角所在的平面平行.D.一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面,那么該三角形所在的平面與這個平面平行【解析】選AD.由兩個平面平行的定義可知A正確;對B,若這無數條直線都平行,則這兩個平面可能相交,B錯誤;對C,這兩個角可能在同一平面內,故C錯誤;一個三角形有兩條邊所在的直線平行于一個平面,由面面平行的判定定理可知,該三角形所在的平面與這個平面平行,故D正確.3.(5分)設α,β是兩個不同的平面,m是直線且m?α,m∥β,若使α∥β成立,則需增加的條件是()A.n是直線且n?α,n∥βB.n,m是異面直線且n∥βC.n,m是相交直線且n?α,n∥βD.n,m是平行直線且n?α,n∥β【解析】選C.要使α∥β成立,需要其中一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,n,m是相交直線且n?α,n∥β,m?α,m∥β,由平面與平面平行的判定定理可得α∥β.4.(5分)在長方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點,則下列結論中正確的是()A.AD1∥平面EFGHB.BD1∥GHC.BD∥EFD.平面EFGH∥平面A1BCD1【解析】選D.在長方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點,在A中,AD1與BC1平行,而BC1與平面EFGH相交,故AD1不平行于平面EFGH,故A錯誤;在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,故BD1不可能平行于GH,故B錯誤;在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD與EF不可能平行,故C錯誤;在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正確.【補償訓練】如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E在B1D1上,F在A1B1上,且B1EB1F=B1D1B1A1,過E作EH∥B1B交BD于A.平行 B.相交C.垂直 D.以上都有可能【解析】選A.在平面A1B1C1D1中,因為B1EB1F=B1D1B1A1,所以EF∥A1D1,由正方體ABCDA1B1C1D1得,B1C1∥A1D1,所以EF∥B1C1,又因為EF?平面BB1C1C,B1C1?平面BB1C同理可得,EH∥平面BB1C1C,又因為EF∩EH=E.EF,EH?平面EFH,所以平面EFH∥平面BB1C1C.5.(5分)(多選)對于不重合的兩個平面α與β,給定下列條件中,可以判定α與β平行的條件有()A.存在平面γ,使得α,β都平行于γB.存在平面γ,使得α,β都垂直于γC.α內有不共線的三點到β的距離相等D.存在異面直線l,m,使得l∥α,l∥β,m∥α,m∥β【解析】選AD.對于A,存在平面γ,使得α,β都平行于γ,所以兩個平面平行,所以A正確;對于B,設正方體的一個底面為γ,兩個相鄰側面分別為α,β,滿足α⊥γ,β⊥γ,但α⊥β,所以B不正確.對于C,不能判定α與β平行,如α內不共線的三點不在β的同一側時,α與β相交,所以C不正確;對于D,可以判定α與β平行,可在平面α內作l'∥l,m'∥m,則l'與m'必相交.又因為l∥β,m∥β,所以l'∥β,m'∥β,所以α∥β,所以D正確.6.(5分)已知在正三棱柱ABCA1B1C1中,G是A1C1的中點,過點G的截面與側面ABB1A1平行,若側面ABB1A1是邊長為4的正方形,則截面的周長為()A.6 B.8 C.10 D.12【解析】選D.如圖,取B1C1的中點M,BC的中點N,AC的中點H,連接GM,MN,HN,GH,則GM∥HN∥AB,MN∥GH∥AA1,所以有GM∥平面ABB1A1,MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN=M,所以平面GMNH∥平面ABB1A1,即四邊形GMNH為過點G且與側面ABB1A1平行的截面.易得此截面的周長為4+4+2+2=12.7.(5分)正方體的六個面中相互平行的平面有__________對.

【解析】由正方體模型可知,六個面中共有3對相對的面互相平行.答案:38.(5分)如圖所示,在長方體ABCDA'B'C'D'中,P,Q,R分別為BC,CD,CC'的中點.(1)直線B'D'與平面PQR的位置關系是________;

(2)平面AB'D'與平面PQR的位置關系是________.

【解析】(1)如圖所示,連接BD,則BD∥B'D',因為P,Q分別為BC,CD的中點,所以PQ∥BD,所以B'D'∥PQ.因為B'D'?平面PQR,PQ?平面PQR,所以B'D'∥平面PQR.(2)如圖所示,連接BC'.因為P,R分別為BC,CC'的中點,所以PR∥BC'.又因為AD'∥BC',所以AD'∥PR.因為AD'?平面PQR,PR?平面PQR,所以AD'∥平面PQR.由(1)可知B'D'∥平面PQR,又因為B'D'∩AD'=D',B'D',AD'?平面AB'D',所以平面AB'D'∥平面PQR.答案:(1)平行(2)平行【補償訓練】如圖所示,設E,F,E1,F1分別是長方體ABCDA1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中點,則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關系是__________.

【解析】由題意得A1E∥BE1,A1E?平面BCF1E1,BE1?平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.同理,A1D1∥平面BCF1E1.又因為A1E∩A1D1=A1,A1E,A1D1?平面EFD1A1,所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.答案:平行9.(5分)a,b,c為三條不重合的直線,α,β,γ為三個不重合的平面,現給出六個命題.①a∥cb∥c?a∥b;②a③α∥cβ∥c?α∥β;④α⑤α∥ca∥c?a∥α;⑥其中正確的命題是________.(填序號)

【解析】①是平行公理,正確;②中a,b還可能異面或相交;③中α,β還可能相交;④是平面平行的傳遞性,正確;⑤還有可能a?α;⑥也是忽略了a?α的情形.答案:①④10.(10分)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,P,Q分別是平面AA1D1D,平面A1B1C1D1的中心,證明:(1)D1Q∥平面C1DB;(2)平面D1PQ∥平面C1DB.【證明】(1)由題可知D1Q∥DB.因為D1Q?平面C1DB,DB?平面C1DB,所以D1Q∥平面C1DB.(2)由題可知D1P∥C1B.因為D1P?平面C1DB,C1B?平面C1DB,所以D1P∥平面C1DB.由(1)知,D1Q∥平面C1DB,又因為D1Q∩D1P=D1,D1Q,D1P?平面D1PQ,所以平面D1PQ∥平面C1DB.【綜合應用練】11.(5分)已知直線l,m,平面α,β,下列敘述正確的是()A.l∥β,l?α?α∥βB.l∥β,m∥β,l?α,m?α?α∥βC.l∥m,l?α,m?β?α∥βD.l∥β,m∥β,l?α,m?α,l∩m=M?α∥β【解析】選D.如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,直線AB∥平面DC1,直線AB?平面AC,但是平面AC與平面DC1不平行,所以選項A錯誤.取BB1的中點E,CC1的中點F,連接EF,則EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又因為EF?平面BC1,B1C1?平面BC1,但是平面AC與平面BC1不平行,所以選項B錯誤.直線AD∥B1C1,AD?平面AC,B1C1?平面BC1,但平面AC與平面BC1不平行,所以選項C錯誤.選項D是兩個平面平行的判定定理,所以選項D正確.12.(5分)(多選)如圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,下列結論正確的有()A.BM∥平面DEB.BM∥平面AFDC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCF【解析】選ACD.展開圖可以折成如圖①所示的正方體.在正方體中,連接AN,如圖②所示.因為AB∥MN,且AB=MN,所以四邊形ABMN是平行四邊形.所以BM∥AN.所以BM∥平面DE.而BM∩平面AFMD=M,所以A正確,B錯誤;如圖③所示,連接NF,BE,BD,DM,CF,可以證明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,則平面BDM∥平面AFN,同理可證平面BDE∥平面NCF,所以C,D正確.13.(5分)如圖,在下列四個正方體中,P,R,Q,M,N,G,H為所在棱的中點,則在這四個正方體中,陰影平面與P,R,Q三點所在平面平行的是________.

【解析】由題意可知,經過P,Q,R三點的平面如圖:截面為六邊形PQEFRS(E,F,S為所在棱的中點),可知N在經過P,Q,R三點的平面上,所以②③錯誤;MC1與QE是相交直線,所以①不正確,只有④正確.答案:④14.(10分)如圖,AB是圓柱OO1底面的直徑,PA是圓柱OO1的母線,C是圓O上的點(異于A,B兩點),Q為PA的中點,G為△AOC的重心,求證:QG∥平面PBC.【證明】連接OG并延長交AC于M,連接QM,QO.由G為△AOC的重心,得M為AC中點,由Q為PA中點,得QM∥PC.又因為O為AB中點,得OM∥BC.因為QM∩MO=M,所以平面OMQ∥平面PBC,因為QG?平面OMQ,所以QG∥平面PBC.15.(10分)(2024·天津高一期中)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,E,F分別是PC,AD的中點.(1)求證:DE∥平面PFB;(2)若M為BC的中點,求證平面EMD∥平面PFB.【證明】(1)取PB的中點N,連接NE,FN,因為底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,且E,F分別是PC,AD的中點,所以NE∥BC,且NE=12BC,FD=